Estructura de regularidad

Marco para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas

La teoría de estructuras de regularidad de Martin Hairer proporciona un marco para estudiar una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas parabólicas subcríticas que surgen de la teoría cuántica de campos . ^[1] El marco cubre la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang , la ecuación y el modelo parabólico de Anderson, todos los cuales requieren renormalización para tener una noción bien definida de solución. ${\displaystyle \Phi _{3}^{4}}$

Hairer ganó el Premio Breakthrough 2021 en matemáticas por introducir estructuras de regularidad. ^[2]

Definición

Una estructura de regularidad es una tripleta que consta de: ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$

• un subconjunto (conjunto índice) de que está acotado desde abajo y no tiene puntos de acumulación ; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el espacio modelo: un espacio vectorial graduado , donde cada uno es un espacio de Banach ; y ${\displaystyle T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$
• el grupo de estructura: un grupo de operadores lineales continuos tales que, para cada y cada , tenemos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \colon T\to T}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$ ${\displaystyle (\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }}$

Otra noción clave en la teoría de las estructuras de regularidad es la de un modelo para una estructura de regularidad, que es una forma concreta de asociar a cualquier y un "polinomio de Taylor" basado en y representado por , sujeto a algunos requisitos de consistencia. Más precisamente, un modelo para en , con consta de dos mapas ${\displaystyle \tau \in T}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}=(A,T,G)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 1}$

${\displaystyle \Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))}$,

${\displaystyle \Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G}$.

Por lo tanto, asigna a cada punto una función lineal , que es una función lineal de en el espacio de distribuciones en ; asigna a dos puntos cualesquiera y un operador acotado , que tiene la función de convertir una expansión basada en en en una basada en . Estas funciones y son necesarias para satisfacer las condiciones algebraicas ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pi _{x}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}}$,

${\displaystyle \Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}}$,

y las condiciones analíticas de que, dado cualquier , cualquier conjunto compacto , y cualquier , existe una constante tal que los límites ${\displaystyle r>|\inf A|}$ ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle |(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

${\displaystyle \|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|x-y|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}}$,

Se cumplen de manera uniforme para todos los tiempos las funciones de prueba continuamente diferenciables con norma unitaria, apoyadas en la bola unitaria sobre el origen en , para todos los puntos , todos , y todos con . Aquí denota la versión desplazada y escalada de dada por ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x,y\in K}$ ${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$ ${\displaystyle \tau \in T_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beta <\alpha \leq \gamma }$ ${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{x}^{\lambda }(y)=\lambda ^{-d}\varphi \left({\frac {y-x}{\lambda }}\right)}$.

Referencias

1. Hairer, Martin (2014). "Una teoría de las estructuras de regularidad". Inventiones Mathematicae . 198 (2): 269–504. arXiv : 1303.5113 . Código Bibliográfico :2014InMat.198..269H. doi :10.1007/s00222-014-0505-4. S2CID  119138901.
2. Sample, Ian (10 de septiembre de 2020). «Un matemático del Reino Unido gana el premio más importante del mundo académico». The Guardian . ISSN  0261-3077 . Consultado el 13 de septiembre de 2020 .