Ecuación diferencial de Bernoulli

Tipo de ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas , una ecuación diferencial ordinaria se llama ecuación diferencial de Bernoulli si tiene la forma

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n},}$

donde es un número real Algunos autores permiten cualquier real , ^{[1] [2]} mientras que otros requieren que no sea 0 o 1. ^{[3] [4]} La ecuación fue discutida por primera vez en una obra de 1695 por Jacob Bernoulli , de quien lleva el nombre. La primera solución, sin embargo, la ofreció Gottfried Leibniz , quien publicó su resultado ese mismo año y cuyo método es el que todavía se utiliza en la actualidad. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Las ecuaciones de Bernoulli son especiales porque son ecuaciones diferenciales no lineales con soluciones exactas conocidas. Un caso especial notable de la ecuación de Bernoulli es la ecuación diferencial logística .

Transformación a una ecuación diferencial lineal.

Cuando , la ecuación diferencial es lineal . Cuando , es separable . En estos casos, se pueden aplicar técnicas estándar para resolver ecuaciones de esas formas. Para y , la sustitución reduce cualquier ecuación de Bernoulli a una ecuación diferencial lineal ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle n\neq 1}$ ${\displaystyle u=y^{1-n}}$

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).}$

Por ejemplo, en el caso , al realizar la sustitución en la ecuación diferencial se produce la ecuación , que es una ecuación diferencial lineal. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle u=y^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$

Solución

dejar y ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$

${\displaystyle {\begin{cases}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty ),&{\text{if }}\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \{1,2\},\\[4pt]z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \{0\},&{\text{if }}\alpha =2,\end{cases}}}$

ser una solución de la ecuación diferencial lineal

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}$

Entonces tenemos que es una solución de ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{1/(1-\alpha )}}$

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{1/(1-\alpha )}.}$

Y para cada una de esas ecuaciones diferenciales, para todas tenemos como solución . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle y\equiv 0}$ ${\displaystyle y_{0}=0}$

Ejemplo

Considere la ecuación de Bernoulli

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

(en este caso, más concretamente una ecuación de Riccati ). La función constante es una solución. División por rendimientos ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Al cambiar las variables se obtienen las ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\[5pt]-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\[5pt]u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}}$

que se puede resolver usando el factor integrante

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

Multiplicando por , ${\displaystyle M(x)}$

${\displaystyle u'x^{2}+2xu=x^{4}.}$

El lado izquierdo se puede representar como la derivada de invirtiendo la regla del producto . Aplicar la regla de la cadena e integrar ambos lados con respecto a los resultados en las ecuaciones. ${\displaystyle ux^{2}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\[5pt]ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\[5pt]{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}}$

La solución para es ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}$

Notas

1. Zill, Dennis G. (2013). Un primer curso de ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (10ª ed.). Boston, Massachusetts: Aprendizaje Cengage . pag. 73.ISBN​ 9780357088364.
2. Stewart, James (2015). Cálculo: primeros trascendentales (8ª ed.). Boston, Massachusetts: Aprendizaje Cengage . pag. 625.ISBN​ 9781305482463.
3. Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Bernoulli", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
4. Teschl, Gerald (2012). "1.4. Encontrar soluciones explícitas" (PDF) . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Estudios de Posgrado en Matemáticas . Providence, Rhode Island : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 15. eISSN  2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN  1065-7339. Zbl  1263.34002.
5. Parker, Adam E. (2013). "¿Quién resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli y cómo lo hicieron?" (PDF) . La revista universitaria de matemáticas . 44 (2): 89–97. ISSN  2159-8118 - vía Asociación Matemática de América .

Referencias

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Citado en Hairer, Nørsett y Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Norsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.

enlaces externos

• Índice de ecuaciones diferenciales.