Ecuación diferencial homogénea

Tipo de ecuación diferencial ordinaria

Una ecuación diferencial puede ser homogénea en cualquiera de dos aspectos.

Una ecuación diferencial de primer orden se dice homogénea si se puede escribir

${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$

donde f y g son funciones homogéneas del mismo grado de x e y . ^[1] En este caso, el cambio de variable y = ux conduce a una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$

lo cual es fácil de resolver mediante la integración de los dos miembros.

De lo contrario, una ecuación diferencial es homogénea si es una función homogénea de la función desconocida y sus derivadas. En el caso de las ecuaciones diferenciales lineales , esto significa que no existen términos constantes. Las soluciones de cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de cualquier orden pueden deducirse por integración de la solución de la ecuación homogénea obtenida eliminando el término constante.

Historia

El término homogéneo fue aplicado por primera vez a ecuaciones diferenciales por Johann Bernoulli en la sección 9 de su artículo de 1726 De integraionibus aequationum diferencialium (Sobre la integración de ecuaciones diferenciales). ^[2]

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

es de tipo homogéneo si ambas funciones M ( x , y ) y N ( x , y ) son funciones homogéneas del mismo grado n . ^[3] Es decir, multiplicando cada variable por un parámetro λ , encontramos

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$

De este modo,

${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$

Método de solución

En el cociente , podemos dejar t = ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$1/Xsimplificar este cociente a una función f de la variable únicay/X:

${\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.}$

Eso es

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).}$

Introducir el cambio de variables y = ux ; diferenciar usando la regla del producto :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.}$

Esto transforma la ecuación diferencial original a la forma separable

${\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},}$

que ahora se puede integrar directamente: ln x es igual a la antiderivada del lado derecho (ver ecuación diferencial ordinaria ).

Caso especial

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma ( a , b , c , e , f , g son todas constantes)

${\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0}$

donde af ≠ be se puede transformar en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ( α y β son constantes):

${\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.}$

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Una ecuación diferencial lineal es homogénea si es una ecuación lineal homogénea en la función desconocida y sus derivadas. De ello se deduce que, si φ ( x ) es una solución, también lo es cφ ( x ) , para cualquier constante c (distinta de cero) . Para que se cumpla esta condición, cada término distinto de cero de la ecuación diferencial lineal debe depender de la función desconocida o de cualquier derivada de la misma. Una ecuación diferencial lineal que no cumple esta condición se llama no homogénea.

Una ecuación diferencial lineal se puede representar como un operador lineal que actúa sobre y ( x ) , donde x suele ser la variable independiente e y es la variable dependiente. Por lo tanto, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es

${\displaystyle L(y)=0}$

donde L es un operador diferencial , una suma de derivadas (que define la "derivada 0" como la función original no diferenciada), cada una multiplicada por una función f _i de x :

${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$

donde f _i pueden ser constantes, pero no todos f _i pueden ser cero.

Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial lineal es homogénea:

${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$

mientras que los dos siguientes son no homogéneos:

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$

${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$

La existencia de un término constante es condición suficiente para que una ecuación sea no homogénea, como en el ejemplo anterior.

Ver también

• Separación de variables

Notas

1. Dennis G. Zill (15 de marzo de 2012). Un primer curso en ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-285-40110-2.
2. "De integraionibus aequationum diferencialium". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 1 : 167–184. Junio ​​de 1726.
3. Desde 1956, p. 18

Referencias

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10.a ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (Ésta es una buena referencia introductoria a las ecuaciones diferenciales).
• Ince, EL (1956), Ecuaciones diferenciales ordinarias, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (Ésta es una referencia clásica sobre las EDO, publicada por primera vez en 1926.)
• Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 de noviembre de 2017). Manual de ecuaciones diferenciales ordinarias: soluciones, métodos y problemas exactos. Prensa CRC. ISBN 978-1-4665-6940-9.
• Mateo R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 de noviembre de 2009). Ecuaciones diferenciales con álgebra lineal. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9.

enlaces externos

• Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld
• Wikilibros: Ecuaciones diferenciales ordinarias/Sustitución 1