El cálculo , originalmente llamado cálculo infinitesimal , es una disciplina matemática centrada en los límites , la continuidad , las derivadas , las integrales y las series infinitas . Muchos elementos del cálculo aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y Oriente Medio, y aún más tarde nuevamente en la Europa medieval y en la India. El cálculo infinitesimal fue desarrollado a fines del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz de forma independiente. Una discusión sobre la prioridad condujo a la controversia del cálculo Leibniz-Newton que continuó hasta la muerte de Leibniz en 1716. El desarrollo del cálculo y sus usos dentro de las ciencias han continuado hasta el presente.
En la enseñanza de las matemáticas , el término cálculo designa los cursos de análisis matemático elemental , que se dedican principalmente al estudio de funciones y límites. La palabra cálculo proviene del latín y significa "piedra pequeña" (el diminutivo de calx, que significa "piedra"), un significado que todavía persiste en la medicina . Debido a que estas piedras se usaban para contar distancias, [1] contar votos y hacer cálculos con el ábaco , la palabra llegó a significar un método de cálculo. En este sentido, se utilizó en inglés al menos desde 1672, varios años antes de las publicaciones de Leibniz y Newton. [2]
Además del cálculo diferencial y el cálculo integral, el término también se utiliza ampliamente para nombrar métodos específicos de cálculo. Algunos ejemplos de esto incluyen el cálculo proposicional en lógica, el cálculo de variaciones en matemáticas, el cálculo de procesos en informática y el cálculo felicífico en filosofía.
El período antiguo introdujo algunas de las ideas que condujeron al cálculo integral , pero no parece haberlas desarrollado de forma rigurosa y sistemática. Los cálculos de volúmenes y áreas, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú ( c. 1820 a. C. ), pero las fórmulas solo se dan para números concretos, algunas son solo aproximadamente verdaderas y no se derivan mediante razonamiento deductivo. [3] Es posible que los babilonios descubrieran la regla del trapezoide mientras realizaban observaciones astronómicas de Júpiter . [4] [5]
Desde la época de las matemáticas griegas , Eudoxo (c. 408-355 a. C.) utilizó el método de exhaución , que prefigura el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (c. 287-212 a. C.) desarrolló aún más esta idea , inventando heurísticas que se asemejan a los métodos del cálculo integral. [6] A los matemáticos griegos también se les atribuye un uso significativo de los infinitesimales . Demócrito es la primera persona registrada que consideró seriamente la división de objetos en un número infinito de secciones transversales, pero su incapacidad para racionalizar secciones transversales discretas con la pendiente suave de un cono le impidió aceptar la idea. Aproximadamente al mismo tiempo, Zenón de Elea desacreditó aún más los infinitesimales con su articulación de las paradojas que aparentemente crean.
Arquímedes desarrolló este método aún más, al tiempo que inventó métodos heurísticos que se asemejan un poco a los conceptos actuales en su Cuadratura de la parábola , El método y Sobre la esfera y el cilindro . [7] Sin embargo, no debe pensarse que los infinitesimales se pusieron sobre una base rigurosa durante esta época. Solo cuando se complementaba con una prueba geométrica adecuada, los matemáticos griegos aceptaban una proposición como verdadera. No fue hasta el siglo XVII que el método fue formalizado por Cavalieri como el método de los indivisibles y finalmente incorporado por Newton en un marco general de cálculo integral . Arquímedes fue el primero en encontrar la tangente a una curva que no fuera un círculo, en un método similar al cálculo diferencial. Mientras estudiaba la espiral, separó el movimiento de un punto en dos componentes, un componente de movimiento radial y un componente de movimiento circular, y luego continuó sumando los dos movimientos de los componentes, encontrando así la tangente a la curva. [8]
El método de agotamiento fue inventado independientemente en China por Liu Hui en el siglo IV d. C. para encontrar el área de un círculo. [9] En el siglo V, Zu Chongzhi estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera . [10]
En Oriente Medio, Hasan Ibn al-Haytham , latinizado como Alhazen ( c. 965 – c. 1040 d. C.) derivó una fórmula para la suma de cuartas potencias . Utilizó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración , donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . [11] Roshdi Rashed ha argumentado que el matemático del siglo XII Sharaf al-Dīn al-Tūsī debe haber utilizado la derivada de polinomios cúbicos en su Tratado de ecuaciones . La conclusión de Rashed ha sido cuestionada por otros académicos, que argumentan que podría haber obtenido sus resultados por otros métodos que no requieren que se conozca la derivada de la función. [12]
La evidencia sugiere que Bhāskara II estaba familiarizado con algunas ideas de cálculo diferencial. [13] Bhāskara también profundiza en el "cálculo diferencial" y sugiere que el coeficiente diferencial se desvanece en un valor extremo de la función, lo que indica conocimiento del concepto de " infinitesimales ". [14] Hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle en su trabajo. La formulación moderna del teorema de Rolle establece que si , entonces para algunos con . En su trabajo astronómico, Bhāskara da un resultado que parece un precursor de los métodos infinitesimales: si entonces . Esto conduce a la derivada de la función seno, aunque no desarrolló la noción de derivada. [15]
Algunas ideas sobre el cálculo aparecieron más tarde en las matemáticas indias, en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala . [11] Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, y matemáticos posteriores de la escuela de Kerala, enunciaron componentes del cálculo como la serie de Taylor y las aproximaciones de series infinitas . [16] Sin embargo, no combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , no mostraron la conexión entre las dos y convirtieron el cálculo en la poderosa herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy. [11]
El estudio matemático de la continuidad fue retomado en el siglo XIV por los Calculadores de Oxford y colaboradores franceses como Nicole Oresme . Demostraron el « teorema de la velocidad media de Merton »: un cuerpo uniformemente acelerado recorre la misma distancia que un cuerpo con velocidad uniforme cuya velocidad es la mitad de la velocidad final del cuerpo acelerado. [17]
La obra Stereometrica Doliorum de Johannes Kepler publicada en 1615 formó la base del cálculo integral. [18] Kepler desarrolló un método para calcular el área de una elipse sumando las longitudes de muchos radios dibujados desde un foco de la elipse. [19]
Un trabajo significativo fue un tratado inspirado en los métodos de Kepler [19] publicado en 1635 por Bonaventura Cavalieri sobre su método de indivisibles . Argumentó que los volúmenes y las áreas deberían calcularse como las sumas de los volúmenes y áreas de secciones transversales infinitesimalmente delgadas. Descubrió la fórmula de cuadratura de Cavalieri que daba el área bajo las curvas x n de grado superior. Esto había sido calculado previamente de manera similar para la parábola por Arquímedes en El método , pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII y solo fue redescubierto a principios del siglo XX, por lo que habría sido desconocido para Cavalieri. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían llevar a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo fueron desacreditadas al principio.
Torricelli extendió el trabajo de Cavalieri a otras curvas como la cicloide , y luego la fórmula fue generalizada a potencias fraccionarias y negativas por Wallis en 1656. En un tratado de 1659, se le atribuye a Fermat un ingenioso truco para evaluar la integral de cualquier función de potencia directamente. [20] Fermat también obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que influyó en el trabajo posterior en cuadratura.
En el siglo XVII, los matemáticos europeos Isaac Barrow , René Descartes , Pierre de Fermat , Blaise Pascal , John Wallis y otros discutieron la idea de una derivada . En particular, en Methodus ad disquirendam maximam et minima y en De tangentibus linearum curvarum distribuido en 1636, Fermat introdujo el concepto de adecuación , que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. [21] Este método podía usarse para determinar los máximos, mínimos y tangentes a varias curvas y estaba estrechamente relacionado con la diferenciación. [22]
Isaac Newton escribiría más tarde que sus primeras ideas sobre el cálculo provenían directamente de "la forma de Fermat de dibujar tangentes". [23]
El estudio formal del cálculo unió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa en la misma época y la adecuación de Fermat. La combinación fue lograda por John Wallis , Isaac Barrow y James Gregory , los dos últimos precursores del segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670. [24] [25]
James Gregory , influenciado por las contribuciones de Fermat tanto a la tangencia como a la cuadratura, pudo entonces demostrar una versión restringida del segundo teorema fundamental del cálculo, según el cual las integrales se pueden calcular utilizando cualquiera de las antiderivadas de una función. [26] [27]
La primera demostración completa del teorema fundamental del cálculo fue dada por Isaac Barrow . [28] : p.61 cuando el arco ME ~ arco NH en el punto de tangencia F fig.26 [29]
Un requisito previo para el establecimiento de un cálculo de funciones de una variable real implicaba encontrar una antiderivada para la función racional. Este problema puede expresarse como la cuadratura de la hipérbola rectangular xy = 1. En 1647, Gregoire de Saint-Vincent observó que la función requerida F satisfacía de modo que una secuencia geométrica se convertía, bajo F , en una secuencia aritmética . AA de Sarasa asoció esta característica con algoritmos contemporáneos llamados logaritmos que economizaban la aritmética al convertir las multiplicaciones en adiciones. Por lo tanto, F se conoció primero como el logaritmo hiperbólico . Después de que Euler explotara e = 2,71828..., y F se identificara como la función inversa de la función exponencial , se convirtió en el logaritmo natural , satisfaciendo
La primera demostración del teorema de Rolle fue dada por Michel Rolle en 1691 utilizando métodos desarrollados por el matemático holandés Johann van Waveren Hudde . [30] El teorema del valor medio en su forma moderna fue enunciado por Bernard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) también después de la fundación del cálculo moderno. Barrow , Huygens y muchos otros también hicieron contribuciones importantes .
Antes de Newton y Leibniz , la palabra "cálculo" se refería a cualquier cuerpo de matemáticas, pero en los años siguientes, "cálculo" se convirtió en un término popular para un campo de las matemáticas basado en sus ideas. [31] Newton y Leibniz, basándose en este trabajo, desarrollaron de forma independiente la teoría circundante del cálculo infinitesimal a fines del siglo XVII. Además, Leibniz realizó una gran cantidad de trabajo en el desarrollo de notación y conceptos consistentes y útiles. Newton proporcionó algunas de las aplicaciones más importantes a la física, especialmente del cálculo integral .
A mediados del siglo XVII, las matemáticas europeas habían cambiado su principal fuente de conocimiento. En comparación con el siglo pasado, que mantuvo las matemáticas helenísticas como punto de partida para la investigación, Newton, Leibniz y sus contemporáneos recurrieron cada vez más a las obras de pensadores más modernos. [32]
Newton llegó al cálculo como parte de sus investigaciones en física y geometría . Consideró el cálculo como la descripción científica de la generación del movimiento y las magnitudes . En comparación, Leibniz se centró en el problema de la tangente y llegó a creer que el cálculo era una explicación metafísica del cambio. Es importante destacar que el núcleo de su idea fue la formalización de las propiedades inversas entre la integral y la diferencial de una función . Esta idea había sido anticipada por sus predecesores, pero ellos fueron los primeros en concebir el cálculo como un sistema en el que se crearon nuevos términos retóricos y descriptivos. [33]
Newton no completó ninguna publicación definitiva que formalizase su cálculo fluxional ; más bien, muchos de sus descubrimientos matemáticos fueron transmitidos a través de correspondencia, artículos más pequeños o como aspectos integrados en sus otras compilaciones definitivas, como los Principia y Opticks . Newton comenzaría su formación matemática como el heredero elegido de Isaac Barrow en Cambridge . Su aptitud fue reconocida tempranamente y rápidamente aprendió las teorías actuales. En 1664, Newton había hecho su primera contribución importante al avanzar el teorema del binomio , que había extendido para incluir exponentes fraccionarios y negativos . Newton logró expandir la aplicabilidad del teorema del binomio al aplicar el álgebra de cantidades finitas en un análisis de series infinitas . Mostró una voluntad de ver las series infinitas no solo como dispositivos aproximados, sino también como formas alternativas de expresar un término. [34]
Muchas de las ideas críticas de Newton ocurrieron durante los años de la plaga de 1665-1666, [35] que más tarde describió como "el mejor momento de mi era para la invención y la matemática y la filosofía [natural] más inteligentes que en cualquier otro momento desde entonces". Fue durante su aislamiento inducido por la plaga que se registró la primera concepción escrita del cálculo fluxionario en el inédito De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . En este artículo, Newton determinó el área bajo una curva calculando primero una tasa momentánea de cambio y luego extrapolando el área total. Comenzó razonando sobre un triángulo indefinidamente pequeño cuya área es una función de x e y . Luego razonó que el aumento infinitesimal en la abscisa creará una nueva fórmula donde x = x + o (es importante destacar que o es la letra, no el dígito 0). Luego, recalculó el área con la ayuda del teorema del binomio, eliminó todas las cantidades que contenían la letra o y reformuló una expresión algebraica para el área. Es significativo que Newton "eliminara" las cantidades que contenían o porque los términos "multiplicados por ella no serán nada con respecto al resto".
En ese momento, Newton había comenzado a comprender la propiedad central de la inversión. Había creado una expresión para el área bajo una curva considerando un aumento momentáneo en un punto. En efecto, el teorema fundamental del cálculo estaba incorporado a sus cálculos. Si bien su nueva formulación ofrecía un potencial increíble, Newton era muy consciente de sus limitaciones lógicas en ese momento. Admite que "los errores no deben ignorarse en matemáticas, sin importar cuán pequeños sean" y que lo que había logrado fue "explicado brevemente en lugar de demostrarse con precisión".
En un esfuerzo por dar al cálculo una explicación y un marco más rigurosos, Newton compiló en 1671 el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . En este libro, el estricto empirismo de Newton dio forma y definió su cálculo fluxional. Explotó el movimiento instantáneo y los infinitesimales de manera informal. Utilizó las matemáticas como una herramienta metodológica para explicar el mundo físico. La base del cálculo revisado de Newton se convirtió en la continuidad; como tal, redefinió sus cálculos en términos de movimiento continuo y fluido. Para Newton, las magnitudes variables no son agregados de elementos infinitesimales, sino que son generadas por el hecho indiscutible del movimiento. Como con muchas de sus obras, Newton retrasó la publicación. Methodus Fluxionum no se publicó hasta 1736. [36]
Newton intentó evitar el uso del infinitesimal formulando cálculos basados en proporciones de cambios. En el Methodus Fluxionum definió la tasa de cambio generado como una fluxión , que representó con una letra punteada, y la cantidad generada la definió como un fluido . Por ejemplo, si y son fluidos, entonces y son sus respectivas fluxiones. Este cálculo revisado de proporciones continuó desarrollándose y se expresó de manera madura en el texto de 1676 De Quadratura Curvarum , donde Newton llegó a definir la derivada actual como la proporción última de cambio, que definió como la proporción entre incrementos evanescentes (la proporción de fluxiones) puramente en el momento en cuestión. Esencialmente, la proporción última es la proporción a medida que los incrementos se desvanecen en la nada. Es importante destacar que Newton explicó la existencia de la proporción última apelando al movimiento: [37]
Pues por velocidad última se entiende aquella con la que el cuerpo se mueve, ni antes de llegar a su último lugar, cuando cesa el movimiento, ni después, sino en el mismo instante en que llega... se debe entender la relación última de las cantidades evanescentes, la relación de las cantidades no antes de que desaparezcan, ni después, sino con la que desaparecen.
Newton desarrolló su cálculo fluxional en un intento de evadir el uso informal de infinitesimales en sus cálculos.
Aunque Newton comenzó a desarrollar su cálculo fluxional en 1665-1666, sus hallazgos no se difundieron ampliamente hasta más tarde. En los años intermedios, Leibniz también se esforzó por crear su cálculo. En comparación con Newton, que se acercó a las matemáticas a una edad temprana, Leibniz comenzó sus rigurosos estudios de matemáticas con un intelecto maduro. Era un polímata y sus intereses y logros intelectuales involucraban la metafísica , el derecho , la economía , la política , la lógica y las matemáticas . Para comprender el razonamiento de Leibniz en el cálculo, se debe tener en cuenta su trasfondo. En particular, su metafísica que describía el universo como una Monadología , y sus planes de crear una lógica formal precisa mediante la cual, "un método general en el que todas las verdades de la razón se reducirían a una especie de cálculo". [38]
En 1672, Leibniz conoció al matemático Huygens , quien lo convenció de dedicar un tiempo significativo al estudio de las matemáticas. En 1673, había avanzado hasta la lectura del Traité des Sinus du Quarte Cercle de Pascal y fue durante su investigación, en gran parte autodidacta , que Leibniz dijo que "se encendió una luz". Al igual que Newton, Leibniz vio la tangente como una razón, pero la declaró simplemente como la razón entre ordenadas y abscisas . Continuó este razonamiento para argumentar que la integral era de hecho la suma de las ordenadas para intervalos infinitesimales en la abscisa; en efecto, la suma de un número infinito de rectángulos. A partir de estas definiciones, la relación inversa o diferencial se hizo evidente y Leibniz rápidamente se dio cuenta del potencial para formar un sistema completamente nuevo de matemáticas. Mientras que Newton a lo largo de su carrera utilizó varios enfoques además de un enfoque que utiliza infinitesimales , Leibniz hizo de esto la piedra angular de su notación y cálculo. [39] [40]
En los manuscritos del 25 de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz registró sus descubrimientos y experimentos con diversas formas de notación. Era muy consciente de los términos de notación utilizados y sus planes anteriores para formar un simbolismo lógico preciso se hicieron evidentes. Finalmente, Leibniz denotó los incrementos infinitesimales de abscisas y ordenadas dx y dy , y la suma de infinitos rectángulos infinitesimalmente delgados como una s larga (∫ ), que se convirtió en el símbolo integral actual .
Aunque la notación de Leibniz es utilizada por las matemáticas modernas, su base lógica era diferente a la nuestra actual. Leibniz adoptó los infinitesimales y escribió extensamente para "no hacer de lo infinitamente pequeño un misterio, como lo había hecho Pascal". [41] Según Gilles Deleuze , los ceros de Leibniz "son nadas, pero no son nadas absolutas, son nadas respectivamente" (citando el texto de Leibniz "Justificación del cálculo de infinitesimales por el cálculo del álgebra ordinaria"). [42] Alternativamente, los define como "menores que cualquier cantidad dada". Para Leibniz, el mundo era un agregado de puntos infinitesimales y la falta de prueba científica de su existencia no lo preocupaba. Los infinitesimales para Leibniz eran cantidades ideales de un tipo diferente de los números apreciables. La verdad de la continuidad estaba probada por la existencia misma. Para Leibniz, el principio de continuidad y, por lo tanto, la validez de su cálculo estaban asegurados. Trescientos años después del trabajo de Leibniz, Abraham Robinson demostró que el uso de cantidades infinitesimales en el cálculo podía tener una base sólida. [43]
El surgimiento del cálculo destaca como un momento único en las matemáticas. El cálculo es la matemática del movimiento y el cambio y, como tal, su invención requirió la creación de un nuevo sistema matemático. Es importante destacar que Newton y Leibniz no crearon el mismo cálculo ni concibieron el cálculo moderno. Si bien ambos participaron en el proceso de creación de un sistema matemático para tratar cantidades variables, su base elemental era diferente. Para Newton, el cambio era una cantidad variable a lo largo del tiempo y para Leibniz era la diferencia que se extendía a lo largo de una secuencia de valores infinitamente cercanos. Cabe destacar que los términos descriptivos que cada sistema creó para describir el cambio eran diferentes.
Históricamente, hubo mucho debate sobre si fue Newton o Leibniz quien primero "inventó" el cálculo. Esta discusión, la controversia del cálculo entre Leibniz y Newton , que involucró a Leibniz, que era alemán, y al inglés Newton, condujo a una división en la comunidad matemática europea que duró más de un siglo. Leibniz fue el primero en publicar sus investigaciones; sin embargo, está bien establecido que Newton había comenzado su trabajo varios años antes que Leibniz y ya había desarrollado una teoría de las tangentes cuando Leibniz se interesó en la cuestión. No se sabe cuánto pudo haber influido esto en Leibniz. Las acusaciones iniciales fueron hechas por estudiantes y partidarios de los dos grandes científicos a principios del siglo, pero después de 1711 ambos se involucraron personalmente, acusándose mutuamente de plagio .
La disputa sobre la prioridad tuvo el efecto de separar a los matemáticos de habla inglesa de los de la Europa continental durante muchos años. Recién en la década de 1820, gracias a los esfuerzos de la Sociedad Analítica , el cálculo analítico leibniziano fue aceptado en Inglaterra. Hoy, tanto Newton como Leibniz reciben el crédito por desarrollar de forma independiente los fundamentos del cálculo. Sin embargo, es a Leibniz a quien se le atribuye el mérito de dar a la nueva disciplina el nombre con el que se la conoce hoy: "cálculo". El nombre que Newton le dio fue "la ciencia de los fluidos y fluxiones ".
El trabajo de Newton y Leibniz se refleja en la notación que se utiliza hoy en día. Newton introdujo la notación para la derivada de una función f . [44] Leibniz introdujo el símbolo para la integral y escribió la derivada de una función y de la variable x como , ambas notaciones que todavía se utilizan.
Desde la época de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. Una de las primeras y más completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrita en 1748 por Maria Gaetana Agnesi . [45] [46]
Se puede decir que el cálculo de variaciones comenzó con un problema de Johann Bernoulli (1696), que inmediatamente atrajo la atención de Jakob Bernoulli, pero Leonhard Euler fue el primero en elaborar el tema. Sus contribuciones comenzaron en 1733 y su Elementa Calculi Variationum dio a la ciencia su nombre. Joseph Louis Lagrange contribuyó ampliamente a la teoría y Adrien-Marie Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. A esta discriminación contribuyeron Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) y Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Una obra general importante es la de Sarrus (1842), que fue condensada y mejorada por Augustin Louis Cauchy (1844). Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885) escribieron otros tratados y memorias valiosos , pero quizá la obra más importante del siglo sea la de Karl Weierstrass . Se puede afirmar que su curso sobre la teoría fue el primero en colocar el cálculo sobre una base firme y rigurosa.
Antoine Arbogast (1800) fue el primero en separar el símbolo de operación del de cantidad en una ecuación diferencial. Francois-Joseph Servois (1814) parece haber sido el primero en dar reglas correctas sobre el tema. Charles James Hargreave (1848) aplicó estos métodos en sus memorias sobre ecuaciones diferenciales, y George Boole los empleó libremente. Hermann Grassmann y Hermann Hankel hicieron un gran uso de la teoría, el primero en el estudio de ecuaciones , el segundo en su teoría de números complejos .
Niels Henrik Abel parece haber sido el primero en considerar de manera general la cuestión de qué ecuaciones diferenciales pueden integrarse en una forma finita con la ayuda de funciones ordinarias, una investigación ampliada por Liouville . Cauchy emprendió tempranamente la teoría general de la determinación de integrales definidas , y el tema ha sido prominente durante el siglo XIX. Las integrales de Frullani , el trabajo de David Bierens de Haan sobre la teoría y sus elaboradas tablas, las conferencias de Lejeune Dirichlet incorporadas en el tratado de Meyer y numerosas memorias de Legendre , Poisson , Plana , Raabe , Sohncke , Schlömilch , Elliott , Leudesdorf y Kronecker se encuentran entre las contribuciones notables.
Las integrales eulerianas fueron estudiadas por primera vez por Euler y luego investigadas por Legendre, quien las clasificó como integrales eulerianas de primera y segunda especie, de la siguiente manera:
aunque éstas no fueron las formas exactas del estudio de Euler.
Si n es un entero positivo :
pero la integral converge para todos los reales positivos y define una continuación analítica de la función factorial para todo el plano complejo excepto para los polos en cero y los enteros negativos. A ella Legendre le asignó el símbolo , y ahora se llama función gamma . Además de ser analítica sobre reales positivos , también disfruta de la propiedad definitoria única de que es convexa , lo que justifica estéticamente esta continuación analítica de la función factorial sobre cualquier otra continuación analítica. Para el tema Lejeune Dirichlet ha contribuido con un teorema importante (Liouville, 1839), que ha sido elaborado por Liouville , Catalan , Leslie Ellis y otros. Raabe (1843–44), Bauer (1859) y Gudermann (1845) han escrito sobre la evaluación de y . La gran tabla de Legendre apareció en 1816.
La aplicación del cálculo infinitesimal a problemas de física y astronomía fue contemporánea al origen de la ciencia. A lo largo del siglo XVIII estas aplicaciones se multiplicaron, hasta que a finales del mismo Laplace y Lagrange habían llevado todo el espectro del estudio de las fuerzas al ámbito del análisis. A Lagrange (1773) debemos la introducción de la teoría del potencial en la dinámica, aunque el nombre de " función potencial " y la memoria fundamental del tema se deben a Green (1827, impreso en 1828). El nombre de " potencial " se debe a Gauss (1840), y la distinción entre potencial y función potencial a Clausius . Con su desarrollo están relacionados los nombres de Lejeune Dirichlet , Riemann , von Neumann , Heine , Kronecker , Lipschitz , Christoffel , Kirchhoff , Beltrami y muchos de los físicos más destacados del siglo.
En este artículo es imposible entrar en la gran variedad de otras aplicaciones del análisis a los problemas físicos. Entre ellas están las investigaciones de Euler sobre cuerdas vibrantes; Sophie Germain sobre membranas elásticas; Poisson, Lamé , Saint-Venant y Clebsch sobre la elasticidad de los cuerpos tridimensionales; Fourier sobre la difusión del calor ; Fresnel sobre la luz ; Maxwell , Helmholtz y Hertz sobre la electricidad ; Hansen, Hill y Gyldén sobre astronomía ; Maxwell sobre armónicos esféricos ; Lord Rayleigh sobre acústica ; y las contribuciones de Lejeune Dirichlet, Weber , Kirchhoff , F. Neumann , Lord Kelvin , Clausius , Bjerknes , MacCullagh y Fuhrmann a la física en general. Cabe mencionar especialmente los trabajos de Helmholtz, quien contribuyó a las teorías de la dinámica, la electricidad, etc., y aplicó sus grandes poderes analíticos a los axiomas fundamentales de la mecánica así como a los de las matemáticas puras.
Además, el cálculo infinitesimal se introdujo en las ciencias sociales, a partir de la economía neoclásica . Hoy en día, es una herramienta valiosa en la economía convencional.
Las matemáticas griegas a veces han sido descritas como esencialmente estáticas, con poca consideración por la noción de variabilidad; pero Arquímedes, en su estudio de la espiral, parece haber encontrado la tangente a una curva a través de consideraciones cinemáticas similares al cálculo diferencial. Pensando en un punto en la espiral 1 = r = aθ como sujeto a un doble movimiento —un movimiento radial uniforme alejándose del origen de coordenadas y un movimiento circular alrededor del origen— parece haber encontrado (a través del paralelogramo de velocidades) la dirección del movimiento (y por lo tanto de la tangente a la curva) al notar la resultante de los dos movimientos componentes. Este parece ser el primer caso en el que se encontró una tangente a una curva que no era un círculo.
El estudio de Arquímedes de la espiral, una curva que atribuyó a su amigo Conón de Alejandría , fue parte de la búsqueda griega de la solución de los tres famosos problemas.
Las más interesantes para nosotros son las Lecciones X-XII, en las que Barrow se acerca a proporcionar una demostración geométrica del teorema fundamental del cálculo... Sin embargo, no se dio cuenta de la importancia total de sus resultados, y su rechazo del álgebra significa que su trabajo debe seguir siendo una pieza de análisis geométrico de mediados del siglo XVII de interés principalmente histórico.
