Ecuación integro-diferencial

Ecuación que involucra integrales y derivadas de una función.

En matemáticas , una ecuación integro-diferencial es una ecuación que involucra tanto integrales como derivadas de una función .

Ecuaciones lineales generales de primer orden.

La ecuación integrodiferencial general de primer orden, lineal (sólo con respecto al término que involucra derivada) tiene la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

Como suele ocurrir con las ecuaciones diferenciales , obtener una solución en forma cerrada a menudo puede resultar difícil. En los relativamente pocos casos en los que se puede encontrar una solución, suele ser mediante algún tipo de transformación integral, donde el problema se transforma primero en un escenario algebraico. En tales situaciones, la solución del problema se puede derivar aplicando la transformada inversa a la solución de esta ecuación algebraica.

Ejemplo

Considere el siguiente problema de segundo orden,

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,}$

dónde

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

es la función de paso de Heaviside . La transformada de Laplace se define por,

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

Al tomar las transformadas de Laplace término por término y utilizar las reglas para derivadas e integrales, la ecuación integrodiferencial se convierte en la siguiente ecuación algebraica,

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

De este modo,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Invertir la transformada de Laplace usando métodos de integral de contorno da

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Alternativamente, se puede completar el cuadrado y usar una tabla de transformadas de Laplace ("onda sinusoidal en decadencia exponencial") o recordar de memoria para continuar:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Aplicaciones

Las ecuaciones integrodiferenciales modelan muchas situaciones de la ciencia y la ingeniería , como en el análisis de circuitos. Según la segunda ley de Kirchhoff , la caída neta de voltaje a través de un circuito cerrado es igual al voltaje aplicado . (Es esencialmente una aplicación de conservación de energía ). Por lo tanto, un circuito RLC obedece ${\displaystyle E(t)}$

$${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$$

^[1] ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$

La actividad de las neuronas inhibidoras y excitadoras que interactúan se puede describir mediante un sistema de ecuaciones integrodiferenciales, véase, por ejemplo, el modelo de Wilson-Cowan .

La ecuación de Whitham se utiliza para modelar ondas dispersivas no lineales en dinámica de fluidos. ^[2]

Epidemiología

Las ecuaciones integrodiferenciales han encontrado aplicaciones en epidemiología , el modelado matemático de epidemias , particularmente cuando los modelos contienen estructura de edad ^[3] o describen epidemias espaciales. ^[4] La teoría de Kermack-McKendrick sobre la transmisión de enfermedades infecciosas es un ejemplo particular en el que la estructura de edad de la población se incorpora al marco del modelo.

Ver también

• Ecuación diferencial de retardo
• Ecuación diferencial
• ecuación integral
• Ecuación de integrodiferencia

Referencias

1. Zill, Dennis G. y Warren S. Wright. “Sección 7.4: Propiedades Operacionales II.” Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera , 8.ª ed., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013, pág. 305. ISBN  978-1-111-82706-9 . El capítulo 7 trata de la transformada de Laplace.
2. Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-94090-9.
3. Brauer, Fred; van den Driessche, Paulina ; Wu, Jianhong, eds. (2008). Epidemiología Matemática . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1945, págs. 205–227. doi :10.1007/978-3-540-78911-6. ISBN 978-3-540-78910-9. ISSN  0075-8434.
4. Medlock, enero (16 de marzo de 2005). "Modelos de ecuaciones integrales diferenciales para enfermedades infecciosas" (PDF) . Universidad de Yale . Archivado desde el original (PDF) el 21 de marzo de 2020.

Otras lecturas

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Teoría de las ecuaciones integrodiferenciales”, CRC Press, 1995

enlaces externos

• Matemáticas interactivas
• Solución numérica del ejemplo usando Chebfun