Existencia y suavidad de Navier-Stokes

Problema del premio del milenio

Visualización del flujo de un chorro turbulento, realizada mediante fluorescencia inducida por láser . El chorro presenta una amplia gama de escalas de longitud, una característica importante de los flujos turbulentos.

El problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes se refiere a las propiedades matemáticas de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes , un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describe el movimiento de un fluido en el espacio. Las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas. Sin embargo, la comprensión teórica de las soluciones de estas ecuaciones es incompleta. En particular, las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes a menudo incluyen la turbulencia , que sigue siendo uno de los mayores problemas sin resolver en física , a pesar de su inmensa importancia en la ciencia y la ingeniería.

Incluso las propiedades más básicas (y aparentemente intuitivas) de las soluciones de Navier-Stokes nunca han sido demostradas. Para el sistema tridimensional de ecuaciones, y dadas algunas condiciones iniciales , los matemáticos no han demostrado que siempre existan soluciones suaves , ni han encontrado ningún contraejemplo. Esto se llama el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .

Dado que la comprensión de las ecuaciones de Navier-Stokes se considera el primer paso para comprender el esquivo fenómeno de la turbulencia , en mayo de 2000 el Instituto de Matemáticas Clay convirtió este problema en uno de sus siete problemas del Premio del Milenio en matemáticas. Ofreció un premio de 1.000.000 de dólares estadounidenses a la primera persona que proporcionara una solución para un enunciado específico del problema: ^[1]

Pruebe o dé un contraejemplo de la siguiente afirmación:

En tres dimensiones espaciales y temporales, dado un campo de velocidad inicial, existe un campo vectorial de velocidad y un campo de presión escalar, ambos suaves y definidos globalmente, que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes

En matemáticas, las ecuaciones de Navier-Stokes son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para campos vectoriales abstractos de cualquier tamaño. En física e ingeniería, son un sistema de ecuaciones que modelan el movimiento de líquidos o gases no enrarecidos (en los que el camino libre medio es lo suficientemente corto como para que pueda considerarse como una media continua en lugar de una colección de partículas) utilizando la mecánica de medios continuos . Las ecuaciones son un enunciado de la segunda ley de Newton , con las fuerzas modeladas de acuerdo con las de un fluido newtoniano viscoso , como la suma de las contribuciones de la presión, la tensión viscosa y una fuerza corporal externa. Dado que el entorno del problema propuesto por el Clay Mathematics Institute es en tres dimensiones, para un fluido incompresible y homogéneo, solo se considera ese caso a continuación.

Sea un campo vectorial tridimensional, la velocidad del fluido y sea la presión del fluido. ^{[nota 1]} Las ecuaciones de Navier-Stokes son: ${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

donde es la viscosidad cinemática , la fuerza volumétrica externa, es el operador de gradiente y es el operador laplaciano , que también se denota por o . Nótese que esta es una ecuación vectorial, es decir, tiene tres ecuaciones escalares. Escribiendo las coordenadas de la velocidad y la fuerza externa ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$

entonces para cada uno existe la ecuación escalar de Navier-Stokes correspondiente: ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

Las incógnitas son la velocidad y la presión . Como en tres dimensiones hay tres ecuaciones y cuatro incógnitas (tres velocidades escalares y la presión), se necesita una ecuación complementaria. Esta ecuación adicional es la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles que describe la conservación de la masa del fluido: ${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$

Debido a esta última propiedad, las soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes se buscan en el conjunto de funciones solenoidales (" libres de divergencia "). Para este flujo de un medio homogéneo, la densidad y la viscosidad son constantes.

Como solo aparece su gradiente, la presión p se puede eliminar tomando el rotacional de ambos lados de las ecuaciones de Navier-Stokes. En este caso, las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a las ecuaciones de transporte de vorticidad .

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales porque los términos de las ecuaciones no tienen una relación lineal simple entre sí. Esto significa que las ecuaciones no se pueden resolver utilizando técnicas lineales tradicionales y, en su lugar, se deben utilizar métodos más avanzados. La no linealidad es importante en las ecuaciones de Navier-Stokes porque permite que las ecuaciones describan una amplia gama de fenómenos de dinámica de fluidos, incluida la formación de ondas de choque y otros patrones de flujo complejos. Sin embargo, la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes también las hace más difíciles de resolver, ya que los métodos lineales tradicionales pueden no funcionar.

Una forma de entender la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes es considerar el término (v · ∇)v en las ecuaciones. Este término representa la aceleración del fluido y es un producto del vector de velocidad v y el operador de gradiente ∇. Debido a que el operador de gradiente es un operador lineal, el término (v · ∇)v es no lineal en el vector de velocidad v. Esto significa que la aceleración del fluido depende de la magnitud y la dirección de la velocidad, así como de la distribución espacial de la velocidad dentro del fluido.

La naturaleza no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes se puede apreciar en el término , que representa la aceleración del fluido debido a su propia velocidad. Este término es no lineal porque implica el producto de dos vectores de velocidad y, por lo tanto, la aceleración resultante depende de la magnitud y la dirección de ambos vectores. ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Otra fuente de no linealidad en las ecuaciones de Navier-Stokes es el término de presión . La presión en un fluido depende de la densidad y del gradiente de presión, y por lo tanto, este término es no lineal en la presión. Un ejemplo de la naturaleza no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes se puede ver en el caso de un fluido que fluye alrededor de un obstáculo circular. En este caso, la velocidad del fluido cerca del obstáculo será mayor que la velocidad del fluido más alejado del obstáculo. Esto da como resultado un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos. ${\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}\nabla p}$

Para ver esto más explícitamente, considere el caso de un obstáculo circular de radio colocado en un flujo uniforme con velocidad y densidad . Sea la velocidad del fluido en la posición y tiempo , y sea la presión en la misma posición y tiempo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$

Las ecuaciones de Navier-Stokes en este caso son:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

donde es la viscosidad cinemática del fluido. ${\displaystyle \nu }$

Suponiendo que el flujo es constante (lo que significa que la velocidad y la presión no varían con el tiempo), podemos establecer los términos de la derivada del tiempo iguales a cero:

${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

Ahora podemos considerar el flujo cerca del obstáculo circular. En esta región, la velocidad del fluido será mayor que la velocidad del flujo uniforme debido a la presencia del obstáculo. Esto da como resultado un término no lineal en las ecuaciones de Navier-Stokes que es proporcional a la velocidad del fluido. ${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$ ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Al mismo tiempo, la presencia del obstáculo también dará lugar a un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos. Esto se puede ver considerando la ecuación de continuidad, que establece que el caudal másico a través de cualquier superficie debe ser constante. Dado que la velocidad es mayor cerca del obstáculo, el caudal másico a través de una superficie cercana al obstáculo será mayor que el caudal másico a través de una superficie más alejada del obstáculo. Esto se puede compensar con un gradiente de presión, con una presión más alta cerca del obstáculo y una presión más baja más lejos.

Como resultado de estos efectos no lineales, las ecuaciones de Navier-Stokes en este caso se vuelven difíciles de resolver, y se deben utilizar aproximaciones o métodos numéricos para encontrar los campos de velocidad y presión en el flujo. Consideremos el caso de un flujo de fluido bidimensional en un dominio rectangular, con un campo de velocidad y un campo de presión . Podemos utilizar un método de elementos finitos para resolver la ecuación de Navier-Stokes para el campo de velocidad: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

Para ello, dividimos el dominio en una serie de elementos más pequeños y representamos el campo de velocidad como:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

donde es el número de elementos y son las funciones de forma asociadas a cada elemento. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Navier-Stokes y aplicando el método de elementos finitos, podemos derivar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {dU_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

donde es el dominio y las integrales son sobre el dominio. Este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias se puede resolver utilizando técnicas como el método de elementos finitos o métodos espectrales. ${\displaystyle \Omega }$

Aquí, utilizaremos el método de diferencias finitas. Para ello, podemos dividir el intervalo de tiempo en una serie de pasos de tiempo más pequeños y aproximar la derivada en cada paso de tiempo utilizando una fórmula de diferencias finitas: ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$

${\displaystyle {\frac {U_{i+1}-U_{i}}{\Delta t}}\approx -{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)j\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

donde es el tamaño del paso de tiempo, y y son los valores de y en el paso de tiempo . ${\displaystyle \Delta t=t_{i+1}-t_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle i}$

Con esta aproximación, podemos iterar a través de los pasos de tiempo y calcular el valor de en cada paso de tiempo. Por ejemplo, comenzando en el paso de tiempo y utilizando la aproximación anterior, podemos calcular el valor de en el paso de tiempo : ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle U_{i+1}=U_{i}+\Delta t\cdot \left(-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega \right)}$

Este proceso se puede repetir hasta llegar al paso de tiempo final . ${\displaystyle t_{f}}$

Existen muchos otros enfoques para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, cada uno con sus propias ventajas y desventajas. La elección del enfoque depende de la ecuación específica que se esté resolviendo y de la precisión y eficiencia deseadas de la solución.

Dos configuraciones: espacio ilimitado y periódico

Existen dos configuraciones diferentes para el problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes, que ha costado un millón de dólares. El problema original se encuentra en todo el espacio , lo que requiere condiciones adicionales en el comportamiento de crecimiento de la condición inicial y las soluciones. Para descartar los problemas en el infinito, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden establecer en un marco periódico, lo que implica que ya no funcionan en todo el espacio sino en el toro tridimensional . Cada caso se tratará por separado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

Planteamiento del problema en todo el espacio

Hipótesis y condiciones de crecimiento

Se supone que la condición inicial es una función suave y sin divergencias (ver función suave ) tal que, para cada índice múltiple (ver notación de índice múltiple ) y cualquier , existe una constante tal que ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$a pesar de ${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Se supone que la fuerza externa también es una función suave y satisface una desigualdad muy análoga (ahora el índice múltiple también incluye derivadas del tiempo): ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$a pesar de ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

En condiciones físicamente razonables, el tipo de soluciones esperadas son funciones suaves que no crecen a medida que . Más precisamente, se hacen las siguientes suposiciones: ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Existe una constante tal que para todos ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$ ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

La condición 1 implica que las funciones son suaves y definidas globalmente y la condición 2 significa que la energía cinética de la solución está globalmente limitada.

Las conjeturas del Premio del Milenio en todo el espacio

(A) Existencia y suavidad de las soluciones de Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sea . Para cualquier condición inicial que satisfaga las hipótesis anteriores existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector de velocidad y una presión que satisfacen las condiciones 1 y 2 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

(B) Desglose de las soluciones de Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Existe una condición inicial y una fuerza externa tales que no existen soluciones y que satisfagan las condiciones 1 y 2 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Las conjeturas del Premio del Milenio son dos problemas matemáticos que fueron elegidos por el Instituto de Matemáticas Clay como los problemas no resueltos más importantes en matemáticas. La primera conjetura, conocida como la conjetura de la "suavidad", afirma que siempre deberían existir soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio tridimensional. La segunda conjetura, conocida como la conjetura de la "ruptura", afirma que debería haber al menos un conjunto de condiciones iniciales y fuerzas externas para las cuales no haya soluciones suaves para las ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de fluidos. Están dadas por:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

donde es el campo de velocidad del fluido, es la presión, es la densidad, es la viscosidad cinemática y es una fuerza externa. La primera ecuación se conoce como ecuación de momento y la segunda ecuación se conoce como ecuación de continuidad. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

Estas ecuaciones suelen ir acompañadas de condiciones de contorno, que describen el comportamiento del fluido en los bordes del dominio. Por ejemplo, en el caso de un fluido que fluye por una tubería, las condiciones de contorno pueden especificar que la velocidad y la presión son fijas en las paredes de la tubería.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales y están altamente acopladas, lo que las hace difíciles de resolver en general. En particular, la dificultad de resolver estas ecuaciones radica en el término , que representa la advección no lineal del campo de velocidad por sí mismo. Este término hace que las ecuaciones de Navier-Stokes sean altamente sensibles a las condiciones iniciales, y es la razón principal por la que las conjeturas del Premio del Milenio son tan desafiantes. ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Además de los desafíos matemáticos que implica resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, también existen muchos desafíos prácticos en la aplicación de estas ecuaciones a situaciones del mundo real. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan a menudo para modelar flujos de fluidos que son turbulentos, lo que significa que el fluido es altamente caótico e impredecible. La turbulencia es un fenómeno difícil de modelar y comprender, y agrega otra capa de complejidad al problema de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, necesitamos encontrar un campo de velocidad y un campo de presión que satisfagan las ecuaciones y las condiciones de contorno dadas. Esto se puede hacer utilizando una variedad de técnicas numéricas, como métodos de elementos finitos, métodos espectrales o métodos de diferencias finitas. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Por ejemplo, considere el caso de un flujo de fluido bidimensional en un dominio rectangular, con campos de velocidad y presión y un campo de presión , respectivamente. Las ecuaciones de Navier-Stokes pueden escribirse como: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{y}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=0}$

donde es la densidad, es la viscosidad cinemática y es una fuerza externa. Las condiciones de contorno pueden especificar que la velocidad es fija en las paredes del dominio, o que la presión es fija en ciertos puntos. La última identidad se produce porque el flujo es solenoidal . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,y,t)=(f_{x}(x,y,t),f_{y}(x,y,t))}$

Para resolver numéricamente estas ecuaciones, podemos dividir el dominio en una serie de elementos más pequeños y resolver las ecuaciones localmente dentro de cada elemento. Por ejemplo, utilizando un método de elementos finitos, podríamos representar los campos de velocidad y presión como:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle v(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle p(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}P_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

donde es el número de elementos y son las funciones de forma asociadas a cada elemento. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de Navier-Stokes y aplicando el método de elementos finitos, podemos derivar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

Planteamiento del problema periódico

Hipótesis

Las funciones buscadas ahora son periódicas en las variables espaciales de periodo 1. Más precisamente, sea el vector unitario en la dirección i : ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

Entonces es periódico en las variables espaciales si para cualquier , entonces: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Obsérvese que esto considera las coordenadas módulo 1. Esto permite trabajar no sobre todo el espacio sino sobre el espacio cociente , que resulta ser el toro tridimensional: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

Ahora las hipótesis pueden enunciarse correctamente. Se supone que la condición inicial es una función suave y sin divergencias y que la fuerza externa también es una función suave. Los tipos de soluciones que son físicamente relevantes son aquellos que satisfacen estas condiciones: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

3. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}$
4. Existe una constante tal que para todos ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$ ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

Al igual que en el caso anterior, la condición 3 implica que las funciones son suaves y definidas globalmente y la condición 4 significa que la energía cinética de la solución está acotada globalmente.

Los teoremas periódicos del Premio del Milenio

(C) Existencia y suavidad de las soluciones de Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Sea . Para cualquier condición inicial que satisfaga las hipótesis anteriores existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, hay un vector de velocidad y una presión que satisfacen las condiciones 3 y 4 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

(D) Desglose de las soluciones de Navier-Stokes en ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Existe una condición inicial y una fuerza externa tales que no existen soluciones y que satisfagan las condiciones 3 y 4 anteriores. ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

Resultados parciales

1. El método de diferencias finitas demostró ser convergente para las ecuaciones de Navier-Stokes y las ecuaciones se resolvieron numéricamente en la década de 1960. Se demostró que existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes en 2 dimensiones. ^[2]
2. Si la velocidad inicial es suficientemente pequeña, entonces la afirmación es verdadera: existen soluciones suaves y globalmente definidas para las ecuaciones de Navier-Stokes. ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$
3. Dada una velocidad inicial existe un tiempo finito T , que depende de tal manera que las ecuaciones de Navier-Stokes en tienen soluciones uniformes y . No se sabe si las soluciones existen más allá de ese "tiempo de explosión" T . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$ ${\displaystyle p(x,t)}$
4. Jean Leray en 1934 demostró la existencia de las llamadas soluciones débiles a las ecuaciones de Navier-Stokes, que satisfacen las ecuaciones en valor medio, no puntualmente. ^[3]
5. En 2016, Terence Tao publicó un resultado de explosión en tiempo finito para una versión promediada de la ecuación tridimensional de Navier-Stokes. Escribe que el resultado formaliza una "barrera de supercriticidad" para el problema de regularidad global para las ecuaciones de Navier-Stokes verdaderas, y afirma que el método de prueba sugiere una posible ruta para establecer la explosión para las ecuaciones verdaderas. ^[4]

En la cultura popular

Los problemas no resueltos se han utilizado para indicar un talento matemático poco común en la ficción. El problema de Navier-Stokes aparece en The Mathematician's Shiva (2014), un libro sobre una prestigiosa matemática ficticia fallecida llamada Rachela Karnokovitch que se lleva la prueba a la tumba en protesta contra la academia. ^{[5] [6]} La película Gifted (2017) hizo referencia a los problemas del Premio del Milenio y abordó el potencial de una niña de 7 años y su madre matemática fallecida para resolver el problema de Navier-Stokes. ^[7]

Véase también

• Portal de física
• Portal de matemáticas

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas
• Lista de problemas sin resolver en física

Notas

1. Más precisamente, p ( x , t ) es la presión dividida por la densidad del fluido , y la densidad es constante para este fluido incompresible y homogéneo.

Referencias

1. "Declaración oficial del problema" (PDF) . Instituto de Matemáticas Clay.
2. Ladyzhenskaya, Olʹga Aleksandrovna (1969). La teoría matemática de los flujos viscosos incompresibles . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 2. Traducido del ruso por Richard A. Silverman y John Chu. (2.ª ed.). Nueva York-Londres-París: Gordon and Breach, Science Publishers. MR  0254401.
3. Leray, Jean (1934). "Sobre el movimiento de un líquido viscoso que ocupa el espacio". Acta Mathematica (en francés). 63 (1): 193–248. doi : 10.1007/BF02547354 . SEÑOR  1555394.
4. Tao, Terence (2016). "Explosión de tiempo finito para una ecuación de Navier-Stokes tridimensional promediada". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 29 (3): 601–674. arXiv : 1402.0290 . doi :10.1090/jams/838. MR  3486169. S2CID  119650746.
5. DeTurck, Dennis (octubre de 2017). "El Shiva del matemático" (PDF) . Avisos de la AMS . 64 (9): 1043–1045.
6. "MathFiction: El Shiva del matemático (Stuart Rojstaczer)". kasmana.people.cofc.edu . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .
7. Chang, Justin (6 de abril de 2017). "Chris Evans cría a un joven prodigio de las matemáticas en la inteligente pero excesivamente calculadora 'Gifted'". Los Angeles Times . Consultado el 11 de septiembre de 2018 .

Lectura adicional

• Constantin, Peter (2001). "Algunos problemas abiertos y direcciones de investigación en el estudio matemático de la dinámica de fluidos". Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond . Berlín: Springer. págs. 353–360. doi :10.1007/978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.

Enlaces externos

• Aizenman, Michael . "Las ecuaciones de Navier Stokes sobre la existencia global y la singularidad".Contribuido por: Yakov Sinai
• Premio de la ecuación Navier-Stokes del Instituto de Matemáticas Clay
• Por qué es difícil la regularidad global para Navier–Stokes: Terence Tao analiza posibles vías para su resolución .
• Existencia y suavidad de Navier-Stokes (Problema del Premio del Milenio) Conferencia sobre el problema por Luis Caffarelli .
• «Ecuación de Navier-Stokes: una pregunta del millón en mecánica de fluidos». Aleph Zero . 3 de junio de 2020. Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2021 – vía YouTube .