Órbita (dinámica)

En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función de evolución del sistema dinámico. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fase cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Como una trayectoria del espacio de fases está determinada de forma única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fases, no es posible que diferentes órbitas se crucen en el espacio de fases, por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico es una partición del espacio de fases. Comprender las propiedades de las órbitas mediante el uso de métodos topológicos es uno de los objetivos de la teoría moderna de los sistemas dinámicos.

Para los sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para los sistemas dinámicos holomorfos , las órbitas son superficies de Riemann .

Definición

Diagrama que muestra la órbita periódica de un sistema masa-resorte en movimiento armónico simple . (Aquí los ejes de velocidad y posición se han invertido con respecto a la convención estándar para alinear los dos diagramas)

Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución

${\displaystyle \Phi :U\to M}$donde con ${\displaystyle U\subset T\times M}$ ${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

definimos

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

entonces el conjunto

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

se llama órbita a través de x . Una órbita que consta de un solo punto se llama órbita constante . Una órbita no constante se llama cerrada o periódica si existe una órbita tal que ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$.

Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decir . Para cualquier x en M ${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

se llama semiórbita positiva a través de x y

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

se llama semiórbita negativa que pasa por x .

Sistema dinámico de tiempo discreto.

Para un sistema dinámico en tiempo discreto con una función de evolución invariante en el tiempo : ${\displaystyle f}$

La órbita directa de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}$

Si la función es invertible, la órbita hacia atrás de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}$

y la órbita de x es el conjunto:

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

dónde :

• ${\displaystyle f}$es la función de evolución ${\displaystyle f:X\to X}$
• set es el espacio dinámico , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle t}$es el número de iteraciones, que es el número natural y ${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$es el estado inicial del sistema y ${\displaystyle x\in X}$

Sistema dinámico general

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando uno tiene un grupo "bueno" que actúa sobre un espacio de probabilidad preservando la medida, una órbita se llamará periódica (o equivalentemente, cerrada) si el estabilizador es una red en su interior. . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.x\subset X}$ ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ ${\displaystyle G}$

Además, un término relacionado es órbita acotada, cuando el conjunto es precompacto en su interior . ${\displaystyle G.x}$ ${\displaystyle X}$

La clasificación de órbitas puede conducir a preguntas interesantes con relaciones con otras áreas matemáticas, por ejemplo, la conjetura de Oppenheim (probada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (parcialmente probada por Lindenstrauss) abordan la cuestión de si toda órbita acotada de alguna acción natural sobre el espacio homogéneo es efectivamente periódico, esta observación se debe a Raghunathan y en lenguaje diferente a Cassels y Swinnerton-Dyer. Estas preguntas están íntimamente relacionadas con teoremas profundos de clasificación de medidas. ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Notas

A menudo ocurre que se puede entender que la función de evolución compone los elementos de un grupo , en cuyo caso las órbitas teóricas de grupo de la acción del grupo son lo mismo que las órbitas dinámicas.

Ejemplos

• 
  Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en un polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente el punto fijo con multiplicador = 0,99993612384259
• 
  La órbita crítica tiende a ser un punto de atracción débil. Se puede ver una espiral desde un punto fijo de atracción hasta un punto fijo de repulsión (z = 0), que es un lugar con alta densidad de curvas de nivel.

• La órbita de un punto de equilibrio es una órbita constante.

Estabilidad de las órbitas.

Una clasificación básica de órbitas es

• órbitas constantes o puntos fijos
• órbitas periódicas
• órbitas no constantes y no periódicas

Una órbita puede no cerrarse de dos maneras. Podría ser una órbita asintóticamente periódica si converge a una órbita periódica. Estas órbitas no están cerradas porque nunca se repiten realmente, sino que se acercan arbitrariamente a una órbita repetida. Una órbita también puede ser caótica . Estas órbitas se acercan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca convergen a una órbita periódica. Exhiben una dependencia sensible de las condiciones iniciales , lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial provocarán grandes diferencias en puntos futuros de la órbita.

Existen otras propiedades de las órbitas que permiten diferentes clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si los puntos cercanos se acercan o divergen de la órbita exponencialmente rápido.

Ver también

• conjunto errante
• Método del espacio de fase
• Diagrama de telaraña o diagrama de Verhulst
• Puntos periódicos de mapeos cuadráticos complejos y multiplicador de órbita.
• retrato orbital

Referencias

• Hale, Jack K .; Koçak, Hüseyin (1991). "Órbitas periódicas". Dinámica y Bifurcaciones . Nueva York: Springer. págs. 365–388. ISBN 0-387-97141-6.
• Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
• Perko, Lawrence (2001). "Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos de separatriz". Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera ed.). Nueva York: Springer. págs. 202-211. ISBN 0-387-95116-4.