Teoría del caos

Campo de las matemáticas y las ciencias basadas en sistemas no lineales y condiciones iniciales.

Un gráfico del atractor de Lorenz para valores r = 28 , σ = 10 , b =8/3

Animación de un péndulo de doble varilla con energía intermedia que muestra un comportamiento caótico. Comenzar el péndulo desde una condición inicial ligeramente diferente daría como resultado una trayectoria muy diferente . El péndulo de doble varilla es uno de los sistemas dinámicos más simples con soluciones caóticas.

La teoría del caos es un área interdisciplinaria de estudio científico y una rama de las matemáticas centrada en patrones subyacentes y leyes deterministas de sistemas dinámicos que son altamente sensibles a las condiciones iniciales y que alguna vez se pensó que tenían estados de desorden e irregularidades completamente aleatorios. ^[1] La teoría del caos afirma que dentro de la aparente aleatoriedad de los sistemas complejos caóticos , hay patrones subyacentes, interconexión, bucles de retroalimentación constante , repetición, autosemejanza , fractales y autoorganización . ^[2] El efecto mariposa , un principio subyacente del caos, describe cómo un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior (lo que significa que existe una dependencia sensible de las condiciones iniciales). ^[3] Una metáfora de este comportamiento es que una mariposa batiendo sus alas en Texas puede provocar un tornado en Brasil . ^{[4] [5] [6]}

Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales, como las debidas a errores en las mediciones o a errores de redondeo en el cálculo numérico , pueden producir resultados muy divergentes para tales sistemas dinámicos, haciendo imposible la predicción a largo plazo de su comportamiento en general. ^[7] Esto puede suceder incluso aunque estos sistemas sean deterministas , lo que significa que su comportamiento futuro sigue una evolución única ^[8] y está completamente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. ^[9] En otras palabras, la naturaleza determinista de estos sistemas no los hace predecibles. ^{[10] [11]} Este comportamiento se conoce como caos determinista , o simplemente caos . La teoría fue resumida por Edward Lorenz como: ^[12]

Caos: Cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro.

El comportamiento caótico existe en muchos sistemas naturales, incluido el flujo de fluidos, las irregularidades de los latidos del corazón, el tiempo y el clima. ^{[13] [14] [8]} También ocurre de forma espontánea en algunos sistemas con componentes artificiales, como el tráfico rodado . ^[2] Este comportamiento puede estudiarse mediante el análisis de un modelo matemático caótico , o mediante técnicas analíticas como gráficos de recurrencia y mapas de Poincaré . La teoría del caos tiene aplicaciones en una variedad de disciplinas, incluida la meteorología , ^[8] antropología , ^[15] sociología , ciencias ambientales , informática , ingeniería , economía , ecología y gestión de crisis pandémicas . ^{[16] [17]} La ​​teoría formó la base para campos de estudio como los sistemas dinámicos complejos , la teoría del borde del caos y los procesos de autoensamblaje .

Introducción

La teoría del caos se refiere a sistemas deterministas cuyo comportamiento puede, en principio, predecirse. Los sistemas caóticos son predecibles por un tiempo y luego "parecen" volverse aleatorios. La cantidad de tiempo durante el cual se puede predecir eficazmente el comportamiento de un sistema caótico depende de tres cosas: cuánta incertidumbre se puede tolerar en el pronóstico, con qué precisión se puede medir su estado actual y una escala de tiempo que depende de la dinámica del sistema. sistema, llamado tiempo de Lyapunov . Algunos ejemplos de tiempos de Lyapunov son: circuitos eléctricos caóticos, de aproximadamente 1 milisegundo; sistemas meteorológicos, unos días (no probados); el sistema solar interior, de 4 a 5 millones de años. ^[18] En sistemas caóticos, la incertidumbre en un pronóstico aumenta exponencialmente con el tiempo transcurrido. Por lo tanto, matemáticamente, duplicar el tiempo de pronóstico es más que el cuadrado de la incertidumbre proporcional en el pronóstico. Esto significa que, en la práctica, no se puede hacer una predicción significativa en un intervalo de más de dos o tres veces el tiempo de Lyapunov. Cuando no se pueden hacer predicciones significativas, el sistema parece aleatorio. ^[19]

La teoría del caos es un método de análisis cualitativo y cuantitativo para investigar el comportamiento de sistemas dinámicos que no pueden explicarse ni predecirse mediante relaciones de datos únicas, sino que deben explicarse y predecirse mediante relaciones de datos completas y continuas.

Dinámica caótica

El mapa definido por x → 4 x (1 – x ) e y → ( x + y) mod 1 muestra la sensibilidad a las posiciones x iniciales. Aquí, dos series de valores de xey divergen marcadamente con el tiempo a partir de una pequeña diferencia inicial.

En el uso común, "caos" significa "un estado de desorden". ^{[20] [21]} Sin embargo, en la teoría del caos, el término se define con mayor precisión. Aunque no existe una definición matemática universalmente aceptada de caos, una definición comúnmente utilizada, formulada originalmente por Robert L. Devaney , dice que para clasificar un sistema dinámico como caótico, debe tener estas propiedades: ^[22]

1. debe ser sensible a las condiciones iniciales ,
2. debe ser topológicamente transitivo ,
3. debe tener órbitas periódicas densas .

En algunos casos, se ha demostrado que las dos últimas propiedades anteriores implican en realidad sensibilidad a las condiciones iniciales. ^{[23] [24]} En el caso del tiempo discreto, esto es cierto para todos los mapas continuos en espacios métricos . ^[25] En estos casos, si bien suele ser la propiedad más significativa en la práctica, no es necesario indicar en la definición la "sensibilidad a las condiciones iniciales".

Si la atención se restringe a los intervalos , la segunda propiedad implica las otras dos. ^[26] Una definición alternativa y generalmente más débil de caos utiliza sólo las dos primeras propiedades de la lista anterior. ^[27]

Sensibilidad a las condiciones iniciales.

Ecuaciones de Lorenz utilizadas para generar gráficos para la variable y. Las condiciones iniciales para x y z se mantuvieron iguales pero las de y se cambiaron entre 1,001 , 1,0001 y 1,00001 . Los valores de y fueron 45,91 , 16 y 4 respectivamente . Como se puede observar en el gráfico, incluso la más mínima diferencia en los valores iniciales provoca cambios significativos tras unos 12 segundos de evolución en los tres casos. Este es un ejemplo de dependencia sensible de las condiciones iniciales. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$

La sensibilidad a las condiciones iniciales significa que cada punto de un sistema caótico se aproxima arbitrariamente a otros puntos que tienen caminos o trayectorias futuras significativamente diferentes. Por lo tanto, un cambio o perturbación arbitrariamente pequeño de la trayectoria actual puede conducir a un comportamiento futuro significativamente diferente. ^[2]

La sensibilidad a las condiciones iniciales se conoce popularmente como " efecto mariposa ", así llamado por el título de un artículo presentado por Edward Lorenz en 1972 a la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia en Washington, DC, titulado Predictability: Does the Flap. de las alas de una mariposa en Brasil provocó un tornado en Texas? . ^[28] El aleteo representa un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, lo que provoca una cadena de eventos que impide la previsibilidad de fenómenos a gran escala. Si la mariposa no hubiera batido sus alas, la trayectoria del sistema en su conjunto podría haber sido muy diferente.

Como sugiere el libro de Lorenz titulado La esencia del caos , publicado en 1993, ^[5] "la dependencia sensible puede servir como una definición aceptable del caos". En el mismo libro, Lorenz definió el efecto mariposa como: "El fenómeno de que una pequeña alteración en el estado de un sistema dinámico hará que los estados posteriores difieran mucho de los estados que habrían seguido sin la alteración". La definición anterior es consistente con la dependencia sensible de las soluciones de las condiciones iniciales (SDIC). Se desarrolló un modelo de esquí idealizado para ilustrar la sensibilidad de los caminos que varían en el tiempo hasta las posiciones iniciales. ^[5] Se puede determinar un horizonte de previsibilidad antes del inicio de la SDIC (es decir, antes de separaciones significativas de trayectorias cercanas iniciales). ^[29]

Una consecuencia de la sensibilidad a las condiciones iniciales es que si comenzamos con una cantidad limitada de información sobre el sistema (como suele ser el caso en la práctica), después de cierto tiempo, el sistema ya no sería predecible. Esto es más frecuente en el caso del tiempo, que generalmente es predecible sólo con una semana de antelación. ^[30] Esto no significa que no se pueda afirmar nada sobre acontecimientos en un futuro lejano, sólo que están presentes algunas restricciones en el sistema. Por ejemplo, sabemos que la temperatura de la superficie de la Tierra no alcanzará naturalmente los 100 °C (212 °F) ni caerá por debajo de -130 °C (-202 °F) en la Tierra (durante la era geológica actual ), pero No podemos predecir exactamente qué día tendrá la temperatura más alta del año.

En términos más matemáticos, el exponente de Lyapunov mide la sensibilidad a las condiciones iniciales, en forma de tasa de divergencia exponencial de las condiciones iniciales perturbadas. ^[31] Más específicamente, dadas dos trayectorias iniciales en el espacio de fase que son infinitamente cercanas, con separación inicial , las dos trayectorias terminan divergiendo a una velocidad dada por ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

donde está el tiempo y es el exponente de Lyapunov. La velocidad de separación depende de la orientación del vector de separación inicial, por lo que puede existir todo un espectro de exponentes de Lyapunov. El número de exponentes de Lyapunov es igual al número de dimensiones del espacio de fases, aunque es común referirse simplemente al mayor. Por ejemplo, el exponente máximo de Lyapunov (MLE) se utiliza con mayor frecuencia porque determina la previsibilidad general del sistema. Un MLE positivo generalmente se toma como una indicación de que el sistema es caótico. ^[8] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$

Además de la propiedad anterior, también existen otras propiedades relacionadas con la sensibilidad de las condiciones iniciales. Estos incluyen , por ejemplo, la mezcla teórica de medidas (como se analiza en la teoría ergódica ) y las propiedades de un sistema K. ^[11]

No periodicidad

Un sistema caótico puede tener secuencias de valores para la variable en evolución que se repiten exactamente, dando un comportamiento periódico a partir de cualquier punto de esa secuencia. Sin embargo, tales secuencias periódicas repelen en lugar de atraer, lo que significa que si la variable en evolución está fuera de la secuencia, por muy cerca que sea, no entrará en la secuencia y, de hecho, divergirá de ella. Así, para casi todas las condiciones iniciales, la variable evoluciona caóticamente con un comportamiento no periódico.

Mezcla topológica

Seis iteraciones de un conjunto de estados pasaron por el mapa logístico. La primera iteración (azul) es la condición inicial, que esencialmente forma un círculo. La animación muestra la primera a la sexta iteración de las condiciones iniciales circulares. Se puede observar que la mezcla se produce a medida que avanzamos en las iteraciones. La sexta iteración muestra que los puntos están casi completamente dispersos en el espacio de fases. Si hubiéramos avanzado más en las iteraciones, la mezcla habría sido homogénea e irreversible. El mapa logístico tiene ecuación . Para expandir el espacio de estados del mapa logístico en dos dimensiones, se creó un segundo estado, como , si y en caso contrario. ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}+y_{k}<1}$ ${\displaystyle y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1}$

El mapa definido por x → 4 x (1 – x ) e y → ( x + y) mod 1 también muestra una mezcla topológica . Aquí, la dinámica transforma la región azul primero en la región púrpura, luego en las regiones rosa y roja y, finalmente, en una nube de líneas verticales esparcidas por el espacio.

La mezcla topológica (o la condición más débil de transitividad topológica) significa que el sistema evoluciona con el tiempo de modo que cualquier región dada o conjunto abierto de su espacio de fase eventualmente se superpone con cualquier otra región dada. Este concepto matemático de "mezcla" corresponde a la intuición estándar, y la mezcla de tintes o fluidos coloreados es un ejemplo de sistema caótico.

La mezcla topológica a menudo se omite en las explicaciones populares del caos, que equiparan el caos sólo con la sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, la dependencia sensible de las condiciones iniciales por sí sola no produce caos. Por ejemplo, considere el sistema dinámico simple producido al duplicar repetidamente un valor inicial. Este sistema tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales en todas partes, ya que cualquier par de puntos cercanos eventualmente se separan mucho. Sin embargo, este ejemplo no tiene mezcla topológica y, por lo tanto, no tiene caos. De hecho, tiene un comportamiento extremadamente simple: todos los puntos excepto 0 tienden al infinito positivo o negativo.

Transitividad topológica

Se dice que un mapa es topológicamente transitivo si para cualquier par de conjuntos abiertos no vacíos existe tal que . La transitividad topológica es una versión más débil de la mezcla topológica . Intuitivamente, si un mapa es topológicamente transitivo , dado un punto x y una región V , existe un punto y cerca de x cuya órbita pasa por V. Esto implica que es imposible descomponer el sistema en dos conjuntos abiertos. ^[32] ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle U,V\subset X}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$

Un teorema relacionado importante es el teorema de transitividad de Birkhoff. Es fácil ver que la existencia de una órbita densa implica transitividad topológica. El teorema de transitividad de Birkhoff establece que si X es un segundo espacio métrico completo y contable , entonces la transitividad topológica implica la existencia de un conjunto denso de puntos en X que tienen órbitas densas. ^[33]

Densidad de órbitas periódicas.

Para que un sistema caótico tenga órbitas periódicas densas significa que órbitas periódicas se acercan arbitrariamente a cada punto del espacio. ^{[32] El} mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 – x ) es uno de los sistemas más simples con densidad de órbitas periódicas. Por ejemplo,  →  → (o aproximadamente 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) es una órbita (inestable) del período 2, y existen órbitas similares para los períodos 4, 8, 16, etc. (de hecho, para todos los períodos especificados por el teorema de Sharkovskii ) . ^[34] ${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$

El teorema de Sharkovskii es la base de la prueba de Li y Yorke ^[35] (1975) de que cualquier sistema unidimensional continuo que exhiba un ciclo regular de período tres también mostrará ciclos regulares de longitud alterna, así como órbitas completamente caóticas.

Atractores extraños

El atractor de Lorenz muestra un comportamiento caótico. Estos dos gráficos demuestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales dentro de la región del espacio de fase ocupada por el atractor.

Algunos sistemas dinámicos, como el mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 – x ), son caóticos en todas partes, pero en muchos casos el comportamiento caótico se encuentra sólo en un subconjunto del espacio de fase. Los casos de mayor interés surgen cuando el comportamiento caótico tiene lugar sobre un atractor , ya que entonces un gran conjunto de condiciones iniciales conduce a órbitas que convergen a esta región caótica. ^[36]

Una manera fácil de visualizar un atractor caótico es comenzar con un punto en la cuenca de atracción del atractor y luego simplemente trazar su órbita posterior. Debido a la condición de transitividad topológica, es probable que esto produzca una imagen de todo el atractor final y, de hecho, ambas órbitas que se muestran en la figura de la derecha dan una imagen de la forma general del atractor de Lorenz. Este atractor resulta de un modelo tridimensional simple del sistema meteorológico de Lorenz . El atractor de Lorenz es quizás uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, probablemente porque no sólo es uno de los primeros, sino también uno de los más complejos, y como tal da lugar a un patrón muy interesante que, con una Poca imaginación, parece las alas de una mariposa.

A diferencia de los atractores de punto fijo y de ciclos límite , los atractores que surgen de sistemas caóticos, conocidos como atractores extraños , tienen gran detalle y complejidad. Los atractores extraños ocurren tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (como el mapa de Hénon ). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente llamada conjunto de Julia , que se forma en el límite entre cuencas de atracción de puntos fijos. Los conjuntos de Julia pueden considerarse extraños repelentes. Tanto los atractores extraños como los conjuntos de Julia suelen tener una estructura fractal , y para ellos se puede calcular la dimensión fractal .

Atractores coexistentes

Atractores caóticos y no caóticos coexistentes dentro del modelo generalizado de Lorenz. ^{[37] [38] [39]} Hay 128 órbitas en diferentes colores, comenzando con diferentes condiciones iniciales para un tiempo adimensional entre 0,625 y 5 y un parámetro de calentamiento r = 680. Las órbitas caóticas regresan recurrentemente cerca del punto de silla en el origen. Las órbitas no caóticas eventualmente se acercan a uno de los dos puntos críticos estables, como se muestra con grandes puntos azules. Las órbitas caóticas y no caóticas ocupan diferentes regiones de atracción dentro del espacio de fases.

En contraste con las soluciones caóticas de un solo tipo, estudios recientes que utilizan modelos de Lorenz ^{[40] [41]} han enfatizado la importancia de considerar varios tipos de soluciones. Por ejemplo, la coexistencia caótica y no caótica puede aparecer dentro del mismo modelo (por ejemplo, el sistema de doble péndulo) utilizando las mismas configuraciones de modelado pero diferentes condiciones iniciales. Los hallazgos de la coexistencia de atractores, obtenidos de los modelos de Lorenz clásicos y generalizados, ^{[37] [38] [39]} sugirieron una visión revisada de que "la totalidad del clima posee una naturaleza dual de caos y orden con distinta previsibilidad", en contraste con la visión convencional de que "el clima es caótico".

Complejidad mínima de un sistema caótico

Diagrama de bifurcación del mapa logístico x → r x (1 – x ). Cada corte vertical muestra el atractor para un valor específico de r . El diagrama muestra la duplicación del período a medida que r aumenta, lo que eventualmente produce caos. Los puntos más oscuros se visitan con mayor frecuencia.

Los sistemas caóticos discretos, como el mapa logístico , pueden exhibir atractores extraños cualquiera que sea su dimensionalidad . Por el contrario, para sistemas dinámicos continuos , el teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede surgir en tres o más dimensiones. Los sistemas lineales de dimensión finita nunca son caóticos; Para que un sistema dinámico muestre un comportamiento caótico, debe ser no lineal o de dimensión infinita.

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que una ecuación diferencial bidimensional tiene un comportamiento muy regular. El atractor de Lorenz que se analiza a continuación se genera mediante un sistema de tres ecuaciones diferenciales como:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

donde , y constituyen el estado del sistema , es el tiempo y , son los parámetros del sistema . Cinco de los términos del lado derecho son lineales, mientras que dos son cuadráticos; un total de siete mandatos. Otro atractor caótico muy conocido es el generado por las ecuaciones de Rössler , que tienen sólo un término no lineal entre siete. Sprott ^[42] encontró un sistema tridimensional con sólo cinco términos, que tenía sólo un término no lineal, que presenta caos para ciertos valores de parámetros. Zhang y Heidel ^{[43] [44]} demostraron que, al menos para sistemas cuadráticos disipativos y conservadores, los sistemas cuadráticos tridimensionales con sólo tres o cuatro términos en el lado derecho no pueden exhibir un comportamiento caótico. La razón es, en pocas palabras, que las soluciones de tales sistemas son asintóticas con respecto a una superficie bidimensional y, por lo tanto, las soluciones se comportan bien. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$

Si bien el teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un sistema dinámico continuo en el plano euclidiano no puede ser caótico, los sistemas continuos bidimensionales con geometría no euclidiana aún pueden exhibir algunas propiedades caóticas. ^[45] Quizás sea sorprendente que el caos también pueda ocurrir en sistemas lineales, siempre que sean de dimensión infinita. ^[46] Se está desarrollando una teoría del caos lineal en una rama del análisis matemático conocida como análisis funcional .

El conjunto anterior de tres ecuaciones diferenciales ordinarias se ha denominado modelo de Lorenz tridimensional. ^[47] Desde 1963, se han desarrollado modelos de Lorenz de dimensiones superiores en numerosos estudios ^{[48] [49] [37] [38]} para examinar el impacto de un mayor grado de no linealidad, así como su efecto colectivo con el calentamiento y las disipaciones. , sobre la estabilidad de la solución.

Mapas de dimensiones infinitas

La generalización sencilla de mapas discretos acoplados ^[50] se basa en la integral de convolución que media la interacción entre mapas distribuidos espacialmente : ${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$

donde el núcleo es un propagador derivado como función de Green de un sistema físico relevante, ^[51] podría ser un mapa logístico similar o un mapa complejo . Para ejemplos de mapas complejos pueden servir el conjunto de Julia o el mapa de Ikeda . Cuando se consideran problemas de propagación de ondas a distancia con longitud de onda, el núcleo puede tener una forma de función de Green para la ecuación de Schrödinger :. ^{[52] [53]} ${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$ ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$ ${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$ ${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$ ${\displaystyle L=ct}$ ${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

Sistemas idiotas

En física , el tirón es la tercera derivada de la posición , con respecto al tiempo. Como tal, ecuaciones diferenciales de la forma

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

A veces se les llama ecuaciones idiotas . Se ha demostrado que una ecuación de tirón, que equivale a un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer orden, es en cierto sentido el escenario mínimo para soluciones que muestran un comportamiento caótico. Esto motiva el interés matemático por los sistemas idiotas. Los sistemas que involucran una cuarta derivada o superior se denominan, en consecuencia, sistemas hiperjerk. ^[54]

El comportamiento de un sistema de sacudida se describe mediante una ecuación de sacudida y, para ciertas ecuaciones de sacudida, circuitos electrónicos simples pueden modelar soluciones. Estos circuitos se conocen como circuitos idiotas.

Una de las propiedades más interesantes de los circuitos idiotas es la posibilidad de comportamiento caótico. De hecho, ciertos sistemas caóticos bien conocidos, como el atractor de Lorenz y el mapa de Rössler , se describen convencionalmente como un sistema de tres ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden combinarse en una única (aunque bastante complicada) ecuación de tirón. Otro ejemplo de ecuación brusca con no linealidad en la magnitud de es: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

Aquí, A es un parámetro ajustable. Esta ecuación tiene una solución caótica para A =3/5 y se puede implementar con el siguiente circuito de sacudida; la no linealidad requerida la provocan los dos diodos:

En el circuito anterior, todas las resistencias son del mismo valor, excepto , y todos los condensadores son del mismo tamaño. La frecuencia dominante es . La salida del amplificador operacional 0 corresponderá a la variable x, la salida de 1 corresponde a la primera derivada de x y la salida de 2 corresponde a la segunda derivada. ${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$ ${\displaystyle 1/2\pi RC}$

Circuitos similares solo requieren un diodo ^[55] o ningún diodo. ^[56]

Véase también el conocido circuito de Chua , una base para generadores caóticos de números aleatorios verdaderos. ^[57] La ​​facilidad de construcción del circuito lo ha convertido en un ejemplo omnipresente de sistema caótico en el mundo real.

orden espontaneo

En las condiciones adecuadas, el caos evoluciona espontáneamente hacia un patrón sincronizado. En el modelo de Kuramoto , cuatro condiciones son suficientes para producir sincronización en un sistema caótico. Los ejemplos incluyen la oscilación acoplada de los péndulos, las luciérnagas, las neuronas de Christiaan Huygens , la resonancia del Puente del Milenio de Londres y grandes conjuntos de uniones Josephson . ^[58]

Además, la teoría supersimétrica de la dinámica estocástica revela que el caos, junto con la elasticidad, la superconductividad, el ferromagnetismo y muchos otros, es miembro de una gran familia de órdenes que surgen de la ruptura espontánea de varias simetrías de la naturaleza. ^[59]

Historia

Helecho Barnsley creado usando el juego del caos . Las formas naturales (helechos, nubes, montañas, etc.) se pueden recrear mediante un sistema de funciones iteradas (IFS).

James Clerk Maxwell fue el primero en enfatizar el " efecto mariposa " y se le considera uno de los primeros en discutir la teoría del caos, con trabajos en las décadas de 1860 y 1870. ^{[60] [61] [62]} Uno de los primeros defensores de la teoría del caos fue Henri Poincaré . En la década de 1880, mientras estudiaba el problema de los tres cuerpos , descubrió que puede haber órbitas que no sean periódicas y, sin embargo, no aumenten eternamente ni se acerquen a un punto fijo. ^{[63] [64] [65]} En 1898, Jacques Hadamard publicó un influyente estudio sobre el movimiento caótico de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre una superficie de curvatura negativa constante, llamado " billar de Hadamard ". ^[66] Hadamard pudo demostrar que todas las trayectorias son inestables, en el sentido de que todas las trayectorias de las partículas divergen exponencialmente entre sí, con un exponente de Lyapunov positivo .

La teoría del caos se inició en el campo de la teoría ergódica . Estudios posteriores, también sobre el tema de las ecuaciones diferenciales no lineales , fueron realizados por George David Birkhoff , ^[67] Andrey Nikolaevich Kolmogorov , ^{[68] [69] [70]} Mary Lucy Cartwright y John Edensor Littlewood , ^[71] y Stephen Smale . ^[72] A excepción de Smale, todos estos estudios se inspiraron directamente en la física: el problema de los tres cuerpos en el caso de Birkhoff, la turbulencia y los problemas astronómicos en el caso de Kolmogorov, y la ingeniería de radio en el caso de Cartwright y Littlewood. ^{[ cita necesaria ]} Aunque no se había observado un movimiento planetario caótico, los experimentadores habían encontrado turbulencias en el movimiento de fluidos y oscilaciones no periódicas en circuitos de radio sin el beneficio de una teoría que explicara lo que estaban viendo.

A pesar de las ideas iniciales de la primera mitad del siglo XX, la teoría del caos se formalizó como tal sólo después de mediados de siglo, cuando para algunos científicos se hizo evidente por primera vez que la teoría lineal , la teoría de sistemas predominante en ese momento, simplemente no podía explicar los fenómenos observados. Comportamiento de ciertos experimentos como el del mapa logístico . Lo que se había atribuido a la imprecisión de la medida y al simple " ruido " fue considerado por los teóricos del caos como un componente completo de los sistemas estudiados. En 1959, Boris Valerianovich Chirikov propuso un criterio para el surgimiento del caos clásico en los sistemas hamiltonianos ( criterio de Chirikov ). Aplicó este criterio para explicar algunos resultados experimentales sobre el confinamiento de plasma en trampas de espejos abiertos. ^{[73] [74]} Ésta se considera la primera teoría física del caos que logró explicar un experimento concreto. Y el propio Boris Chirikov es considerado un pionero del caos clásico y cuántico. ^{[75] [76] [77]}

El principal catalizador del desarrollo de la teoría del caos fue la computadora electrónica. Gran parte de las matemáticas de la teoría del caos implican la iteración repetida de fórmulas matemáticas simples, lo que sería poco práctico de hacer a mano. Las computadoras electrónicas hicieron prácticos estos cálculos repetidos, mientras que las figuras y las imágenes permitieron visualizar estos sistemas. Como estudiante de posgrado en el laboratorio de Chihiro Hayashi en la Universidad de Kyoto, Yoshisuke Ueda estaba experimentando con computadoras analógicas y notó, el 27 de noviembre de 1961, lo que llamó "fenómenos de transición aleatoria". Sin embargo, su asesor no estuvo de acuerdo con sus conclusiones en ese momento y no le permitió informar sobre sus hallazgos hasta 1970. ^{[78] [79]}

Turbulencia en el vórtice de la punta del ala de un avión . Los estudios del punto crítico más allá del cual un sistema crea turbulencias fueron importantes para la teoría del caos, analizados por ejemplo por el físico soviético Lev Landau , quien desarrolló la teoría de la turbulencia de Landau-Hopf . David Ruelle y Floris Takens predijeron más tarde, contra Landau, que la turbulencia de fluidos podría desarrollarse a través de un atractor extraño , un concepto principal de la teoría del caos.

Edward Lorenz fue uno de los primeros pioneros de la teoría. Su interés por el caos surgió accidentalmente a través de su trabajo sobre predicción del tiempo en 1961. ^[13] Lorenz y sus colaboradoras Ellen Fetter y Margaret Hamilton ^[80] estaban usando una simple computadora digital, una Royal McBee LGP-30 , para ejecutar simulaciones climáticas. Querían volver a ver una secuencia de datos y, para ahorrar tiempo, iniciaron la simulación a mitad de su curso. Lo hicieron ingresando una copia impresa de los datos que correspondían a las condiciones en medio de la simulación original. Para su sorpresa, el tiempo que la máquina empezó a predecir era completamente diferente al cálculo anterior. Rastrearon esto hasta la copia impresa de la computadora. La computadora funcionó con una precisión de 6 dígitos, pero la impresión redondeó las variables a un número de 3 dígitos, por lo que un valor como 0,506127 se imprimió como 0,506. Esta diferencia es pequeña y el consenso en ese momento habría sido que no debería tener ningún efecto práctico. Sin embargo, Lorenz descubrió que pequeños cambios en las condiciones iniciales producían grandes cambios en los resultados a largo plazo. ^[81] El descubrimiento de Lorenz, que dio nombre a los atractores de Lorenz , demostró que incluso los modelos atmosféricos detallados no pueden, en general, hacer predicciones meteorológicas precisas a largo plazo.

En 1963, Benoit Mandelbrot , estudiando la teoría de la información , descubrió que el ruido en muchos fenómenos (incluidos los precios de las acciones y los circuitos telefónicos ) tenía un patrón similar al de un conjunto de Cantor , un conjunto de puntos con infinita rugosidad y detalle ^[82] Mandelbrot describió tanto el "efecto Noé" " (en el que pueden ocurrir cambios repentinos y discontinuos) y el "efecto Joseph" (en el que la persistencia de un valor puede ocurrir por un tiempo, pero luego cambia repentinamente). ^{[83] [84]} En 1967, publicó "¿ Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Auto-similitud estadística y dimensión fraccionaria ", mostrando que la longitud de una costa varía con la escala del instrumento de medición, se parece a sí misma en todas las escalas y tiene una longitud infinita para un dispositivo de medición infinitamente pequeño. ^[85] Argumentando que un ovillo de hilo aparece como un punto cuando se ve desde lejos (dimensional 0), un ovillo cuando se ve desde bastante cerca (tridimensional), o un hilo curvo (unidimensional), argumentó que las dimensiones de un objeto son relativas al observador y pueden ser fraccionarias. Un objeto cuya irregularidad es constante en diferentes escalas ("auto-semejanza") es un fractal (los ejemplos incluyen la esponja de Menger , la junta de Sierpiński y la curva de Koch o copo de nieve , que es infinitamente larga pero encierra un espacio finito y tiene un fractal). dimensión de alrededor de 1,2619). En 1982, Mandelbrot publicó La geometría fractal de la naturaleza , que se convirtió en un clásico de la teoría del caos. ^[86]

En diciembre de 1977, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó el primer simposio sobre el caos, al que asistieron David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (que acuñó el término "caos" tal como se utiliza en matemáticas), Robert Shaw y el meteorólogo Edward. Lorenz. Al año siguiente, Pierre Coullet y Charles Tresser publicaron "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", y el artículo de Mitchell Feigenbaum "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations" finalmente apareció en una revista, después de 3 años de rechazos de los árbitros. ^{[87] [88]} Así, Feigenbaum (1975) y Coullet y Tresser (1978) descubrieron la universalidad en el caos, permitiendo la aplicación de la teoría del caos a muchos fenómenos diferentes.

En 1979, Albert J. Libchaber , durante un simposio organizado en Aspen por Pierre Hohenberg , presentó su observación experimental de la cascada de bifurcación que conduce al caos y la turbulencia en los sistemas de convección Rayleigh-Bénard . Fue galardonado con el Premio Wolf de Física en 1986 junto con Mitchell J. Feigenbaum por sus inspiradores logros. ^[89]

En 1986, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó conjuntamente con el Instituto Nacional de Salud Mental y la Oficina de Investigación Naval la primera conferencia importante sobre el caos en biología y medicina. Allí, Bernardo Huberman presentó un modelo matemático de la disfunción del seguimiento ocular entre personas con esquizofrenia . ^[90] Esto condujo a una renovación de la fisiología en la década de 1980 mediante la aplicación de la teoría del caos, por ejemplo, en el estudio de los ciclos cardíacos patológicos .

En 1987, Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld publicaron un artículo en Physical Review Letters ^[91] describiendo por primera vez la criticidad autoorganizada (SOC), considerada uno de los mecanismos por los cuales surge la complejidad en la naturaleza.

Además de enfoques en gran medida basados ​​en laboratorio, como el montón de arena de Bak-Tang-Wiesenfeld , muchas otras investigaciones se han centrado en sistemas naturales o sociales a gran escala que se sabe (o se sospecha) que muestran un comportamiento invariante de escala . Aunque estos enfoques no siempre fueron bien recibidos (al menos inicialmente) por los especialistas en los temas examinados, el COS se ha consolidado como un fuerte candidato para explicar una serie de fenómenos naturales, incluidos los terremotos (que, mucho antes de que se descubriera el COS, ya se conocían). como fuente de comportamiento invariante de escala, como la ley de Gutenberg-Richter que describe la distribución estadística de los tamaños de los terremotos y la ley de Omori ^[92] que describe la frecuencia de las réplicas), erupciones solares , fluctuaciones en sistemas económicos como los mercados financieros (referencias a SOC son comunes en econofísica ), la formación de paisajes, los incendios forestales , los deslizamientos de tierra , las epidemias y la evolución biológica (donde el SOC ha sido invocado, por ejemplo, como el mecanismo dinámico detrás de la teoría de los " equilibrios puntuados " propuesta por Niles Eldredge y Stephen Jay Gould ). Dadas las implicaciones de una distribución de tamaños de eventos sin escala, algunos investigadores han sugerido que otro fenómeno que debería considerarse un ejemplo de SOC es la aparición de guerras . Estas investigaciones de COS han incluido tanto intentos de modelado (ya sea desarrollando nuevos modelos o adaptando los existentes a las características específicas de un sistema natural determinado) como análisis extensos de datos para determinar la existencia y/o características de las leyes de escala natural.

Ese mismo año, James Gleick publicó Caos: Haciendo una nueva ciencia , que se convirtió en un éxito de ventas y presentó al público en general los principios generales de la teoría del caos, así como su historia. ^[93] Inicialmente dominio de unos pocos individuos aislados, la teoría del caos emergió progresivamente como una disciplina transdisciplinaria e institucional, principalmente bajo el nombre de análisis de sistemas no lineales . Aludiendo al concepto de cambio de paradigma de Thomas Kuhn expuesto en La estructura de las revoluciones científicas (1962), muchos "caólogos" (como algunos se describían a sí mismos) afirmaron que esta nueva teoría era un ejemplo de tal cambio, tesis sostenida por Gleick. .

La disponibilidad de computadoras más baratas y potentes amplía la aplicabilidad de la teoría del caos. Actualmente, la teoría del caos sigue siendo un área activa de investigación, ^[94] que involucra muchas disciplinas diferentes como matemáticas , topología , física , ^[95] sistemas sociales , ^[96] modelado de poblaciones , biología , meteorología , astrofísica , teoría de la información , neurociencia computacional , gestión de crisis pandémicas , ^{[16] [17]} etc.

Las contribuciones pioneras de Lorenz al modelado caótico

A lo largo de su carrera, el profesor Lorenz fue autor de un total de 61 artículos de investigación, de los cuales 58 fueron escritos exclusivamente por él. ^[97] A partir de la conferencia de 1960 en Japón, Lorenz se embarcó en un viaje de desarrollo de diversos modelos destinados a descubrir la SDIC y sus características caóticas. Una revisión reciente de la progresión del modelo de Lorenz ^{[98] [99]} que abarca desde 1960 hasta 2008 reveló su habilidad para emplear diversos sistemas físicos para ilustrar fenómenos caóticos. Estos sistemas abarcaban sistemas cuasigeostróficos, la ecuación de vorticidad conservadora, las ecuaciones de convección de Rayleigh-Bénard y las ecuaciones de aguas poco profundas. Además, a Lorenz se le puede atribuir la aplicación temprana del mapa logístico para explorar soluciones caóticas, un hito que logró antes que sus colegas (por ejemplo, Lorenz 1964 ^[100] ).

En 1972, Lorenz acuñó el término "efecto mariposa" como metáfora para discutir si una pequeña perturbación podría eventualmente crear un tornado con una estructura tridimensional, organizada y coherente. Si bien está relacionado con el efecto mariposa original basado en una dependencia sensible de las condiciones iniciales, su variante metafórica conlleva distintos matices. Para conmemorar este hito, se publicó oficialmente un libro reimpreso que contiene artículos invitados que profundizan nuestra comprensión de ambos efectos mariposa para celebrar el 50 aniversario del efecto mariposa metafórico. ^[101]

Una analogía popular pero inexacta del caos

La sensible dependencia de las condiciones iniciales (es decir, el efecto mariposa) se ha ilustrado utilizando el siguiente folklore: ^[93]

Por falta de un clavo, el zapato se perdió.

Por falta de herradura, el caballo se perdió.

A falta de un caballo se perdió el jinete.

A falta de un jinete se perdió la batalla.

A falta de batalla, el reino se perdió.

Y todo por falta de un clavo de herradura.

Con base en lo anterior, muchas personas creen erróneamente que el impacto de una pequeña perturbación inicial aumenta monótonamente con el tiempo y que cualquier pequeña perturbación puede eventualmente producir un gran impacto en las integraciones numéricas. Sin embargo, en 2008, Lorenz declaró que no creía que este versículo describiera el verdadero caos, sino que ilustraba mejor el fenómeno más simple de la inestabilidad y que el versículo sugiere implícitamente que los pequeños eventos posteriores no revertirán el resultado. ^[102] Según el análisis, el versículo solo indica divergencia, no limitación. ^[6] La delimitación es importante para el tamaño finito de un patrón de mariposa. ^{[6] [102] [103]} En un estudio reciente, ^[104] la característica del verso antes mencionado se denominó recientemente como "dependencia sensible al tiempo finito".

Aplicaciones

Una concha textil conus , similar en apariencia a Rule 30 , un autómata celular con comportamiento caótico. ^[105]

Aunque la teoría del caos nació de la observación de patrones climáticos, se ha vuelto aplicable a una variedad de otras situaciones. Algunas áreas que hoy se benefician de la teoría del caos son geología , matemáticas , biología , informática , economía , ^{[106] [107] [108]} ingeniería , ^{[109] [110]} finanzas , ^{[111] [112] [113] [114] [115]} meteorología , filosofía , antropología , ^[15] física , ^{[116] [117] [118]} política , ^{[119] [120]} dinámica de poblaciones , ^[121] y robótica . A continuación se enumeran algunas categorías con ejemplos, pero de ninguna manera se trata de una lista completa, ya que están apareciendo nuevas aplicaciones.

Criptografía

La teoría del caos se ha utilizado durante muchos años en criptografía . En las últimas décadas, el caos y la dinámica no lineal se han utilizado en el diseño de cientos de primitivas criptográficas . Estos algoritmos incluyen algoritmos de cifrado de imágenes , funciones hash , generadores seguros de números pseudoaleatorios , cifrados de flujo , marcas de agua y esteganografía . ^[122] La mayoría de estos algoritmos se basan en mapas caóticos unimodales y una gran parte de estos algoritmos utilizan los parámetros de control y la condición inicial de los mapas caóticos como claves. ^[123] Desde una perspectiva más amplia, sin pérdida de generalidad, las similitudes entre los mapas caóticos y los sistemas criptográficos son la principal motivación para el diseño de algoritmos criptográficos basados ​​en el caos. ^[122] Un tipo de cifrado, clave secreta o clave simétrica , se basa en la difusión y la confusión , lo cual está bien modelado por la teoría del caos. ^[124] Otro tipo de computación, la computación del ADN , cuando se combina con la teoría del caos, ofrece una forma de cifrar imágenes y otra información. ^[125] Se ha demostrado que muchos de los algoritmos criptográficos de DNA-Chaos no son seguros o se sugiere que la técnica aplicada no es eficiente. ^{[126] [127] [128]}

Robótica

La robótica es otra área que recientemente se ha beneficiado de la teoría del caos. En lugar de que los robots actúen en un tipo de refinamiento de prueba y error para interactuar con su entorno, se ha utilizado la teoría del caos para construir un modelo predictivo . ^{[129] Los robots bípedos} que caminan pasivos han exhibido dinámicas caóticas . ^[130]

Biología

Durante más de cien años, los biólogos han realizado un seguimiento de las poblaciones de diferentes especies con modelos poblacionales . La mayoría de los modelos son continuos , pero recientemente los científicos han podido implementar modelos caóticos en determinadas poblaciones. ^[131] Por ejemplo, un estudio sobre modelos de lince canadiense mostró que había un comportamiento caótico en el crecimiento de la población. ^[132] El caos también se puede encontrar en los sistemas ecológicos, como la hidrología . Si bien un modelo caótico para la hidrología tiene sus deficiencias, todavía queda mucho que aprender al observar los datos a través de la lente de la teoría del caos. ^[133] Otra aplicación biológica se encuentra en la cardiotocografía . La vigilancia fetal es un delicado equilibrio entre obtener información precisa y al mismo tiempo ser lo más no invasiva posible. Se pueden obtener mejores modelos de señales de advertencia de hipoxia fetal mediante modelos caóticos. ^[134]

Como señala Perry, la modelización de series temporales caóticas en ecología se ve favorecida por las restricciones. ^{[135] : 176, 177} Siempre existe una dificultad potencial para distinguir el caos real del caos que sólo está en el modelo. ^{[135] : 176, 177} Por lo tanto, tanto la restricción en el modelo como los datos duplicados de series de tiempo para comparación serán útiles para restringir el modelo a algo cercano a la realidad, por ejemplo, Perry y Wall 1984. [135] ^{: 176, 177} Gene " La coevolución de genes a veces muestra una dinámica caótica en las frecuencias de los alelos ". ^[136] Agregar variables exagera esto: el caos es más común en los modelos que incorporan variables adicionales para reflejar facetas adicionales de las poblaciones reales. ^{[136] El propio} Robert M. May realizó algunos de estos estudios fundamentales de coevolución de cultivos y esto, a su vez, ayudó a dar forma a todo el campo. ^[136] Incluso en un entorno estable, la simple combinación de un cultivo y un patógeno puede dar lugar a oscilaciones casi periódicas o caóticas en la población de patógenos . ^{[137] : 169}

Ciencias económicas

Es posible que los modelos económicos también puedan mejorarse mediante la aplicación de la teoría del caos, pero predecir la salud de un sistema económico y qué factores influyen más en él es una tarea extremadamente compleja. ^[138] Los sistemas económicos y financieros son fundamentalmente diferentes de los de las ciencias naturales clásicas, ya que los primeros son inherentemente estocásticos por naturaleza, ya que son el resultado de las interacciones de las personas y, por lo tanto, es poco probable que los modelos deterministas puros proporcionen representaciones precisas de los datos. La literatura empírica que prueba el caos en economía y finanzas presenta resultados muy variados, en parte debido a la confusión entre pruebas específicas de caos y pruebas más generales de relaciones no lineales. ^[139]

El caos podría encontrarse en la economía mediante el análisis de cuantificación de la recurrencia . De hecho, Orlando et al. ^[140] mediante el llamado índice de correlación de cuantificación de recurrencia pudieron detectar cambios ocultos en las series temporales. Luego, se empleó la misma técnica para detectar transiciones de fases laminares (regulares) a turbulentas (caóticas), así como diferencias entre variables macroeconómicas y resaltar características ocultas de la dinámica económica. ^[141] Finalmente, la teoría del caos podría ayudar a modelar cómo opera una economía, así como a incorporar shocks debidos a eventos externos como COVID-19. ^[142]

Otras areas

En química, predecir la solubilidad del gas es esencial para fabricar polímeros , pero los modelos que utilizan la optimización de enjambre de partículas (PSO) tienden a converger en puntos equivocados. Se ha creado una versión mejorada de PSO introduciendo el caos, lo que evita que las simulaciones se bloqueen. ^[143] En la mecánica celeste , especialmente al observar asteroides, la aplicación de la teoría del caos conduce a mejores predicciones sobre cuándo estos objetos se acercarán a la Tierra y otros planetas. ^[144] Cuatro de las cinco lunas de Plutón giran caóticamente. En física cuántica e ingeniería eléctrica , el estudio de grandes conjuntos de uniones Josephson se benefició enormemente de la teoría del caos. ^[145] Más cerca de casa, las minas de carbón siempre han sido lugares peligrosos donde las frecuentes fugas de gas natural causan muchas muertes. Hasta hace poco, no existía una forma fiable de predecir cuándo ocurrirían. Pero estas fugas de gas tienen tendencias caóticas que, cuando se modelan adecuadamente, pueden predecirse con bastante precisión. ^[146]

La teoría del caos puede aplicarse fuera de las ciencias naturales, pero históricamente casi todos esos estudios han adolecido de falta de reproducibilidad; mala validez externa; y/o falta de atención a la validación cruzada, lo que da como resultado una precisión predictiva deficiente (si incluso se ha intentado una predicción fuera de la muestra). Glass ^[147] y Mandell y Selz ^[148] han descubierto que ningún estudio EEG ha indicado hasta el momento la presencia de atractores extraños u otros signos de comportamiento caótico.

Los investigadores han seguido aplicando la teoría del caos a la psicología. Por ejemplo, al modelar el comportamiento grupal en el que miembros heterogéneos pueden comportarse como si compartieran en diferentes grados lo que en la teoría de Wilfred Bion es un supuesto básico, los investigadores han descubierto que la dinámica del grupo es el resultado de la dinámica individual de los miembros: cada uno El individuo reproduce la dinámica del grupo en una escala diferente, y el comportamiento caótico del grupo se refleja en cada miembro. ^[149]

Redington y Reidbord (1992) intentaron demostrar que el corazón humano podía mostrar rasgos caóticos. Monitorearon los cambios en los intervalos entre latidos del corazón de una sola paciente de psicoterapia mientras atravesaba períodos de intensidad emocional variable durante una sesión de terapia. Es cierto que los resultados no fueron concluyentes. No sólo hubo ambigüedades en los diversos gráficos que los autores produjeron para supuestamente mostrar evidencia de dinámica caótica (análisis espectral, trayectoria de fase y gráficos de autocorrelación), sino también cuando intentaron calcular un exponente de Lyapunov como confirmación más definitiva del comportamiento caótico, el Los autores descubrieron que no podían hacerlo de manera confiable. ^[150]

En su artículo de 1995, Metcalf y Allen ^[151] sostuvieron que habían descubierto en el comportamiento animal un patrón de duplicación del período que conducía al caos. Los autores examinaron una respuesta bien conocida llamada polidipsia inducida por el horario, por la cual un animal privado de alimento durante ciertos períodos de tiempo beberá cantidades inusuales de agua cuando finalmente se le presente el alimento. El parámetro de control (r) que operaba aquí era la duración del intervalo entre tomas, una vez reanudadas. Los autores tuvieron cuidado de probar una gran cantidad de animales e incluir muchas repeticiones, y diseñaron su experimento de manera que descartara la probabilidad de que los cambios en los patrones de respuesta fueran causados ​​por diferentes puntos de partida para r.

Las series temporales y los gráficos del primer retraso brindan el mejor respaldo para las afirmaciones hechas, mostrando una marcha bastante clara de la periodicidad a la irregularidad a medida que se incrementaron los tiempos de alimentación. Los distintos gráficos de trayectoria de fase y los análisis espectrales, por otro lado, no coinciden lo suficientemente bien con los otros gráficos o con la teoría general como para conducir inexorablemente a un diagnóstico caótico. Por ejemplo, las trayectorias de fase no muestran una progresión definida hacia una complejidad cada vez mayor (y alejándose de la periodicidad); el proceso parece bastante confuso. Además, donde Metcalf y Allen vieron períodos de dos y seis en sus diagramas espectrales, hay lugar para interpretaciones alternativas. Toda esta ambigüedad requiere alguna explicación serpenteante y post-hoc para mostrar que los resultados se ajustan a un modelo caótico.

Al adaptar un modelo de asesoramiento profesional para incluir una interpretación caótica de la relación entre los empleados y el mercado laboral, Amundson y Bright descubrieron que se pueden hacer mejores sugerencias a las personas que luchan con decisiones profesionales. ^[152] Las organizaciones modernas son vistas cada vez más como sistemas adaptativos complejos y abiertos con estructuras naturales no lineales fundamentales, sujetas a fuerzas internas y externas que pueden contribuir al caos. Por ejemplo, la formación de equipos y el desarrollo de grupos se investigan cada vez más como un sistema inherentemente impredecible, ya que la incertidumbre de diferentes individuos que se encuentran por primera vez hace que la trayectoria del equipo sea incognoscible. ^[153]

Algunos dicen que la metáfora del caos (utilizada en teorías verbales) basada en modelos matemáticos y aspectos psicológicos del comportamiento humano proporciona ideas útiles para describir la complejidad de los pequeños grupos de trabajo, que van más allá de la metáfora misma. ^[154]

Los coches rojos y los coches azules se turnan para moverse; los rojos solo se mueven hacia arriba y los azules se mueven hacia la derecha. Cada vez, todos los coches del mismo color intentan avanzar un paso si no hay ningún coche delante. Aquí, el modelo se ha autoorganizado en un patrón algo geométrico donde hay algunos atascos y algunas zonas donde los coches pueden circular a máxima velocidad.

La previsión del tráfico puede beneficiarse de las aplicaciones de la teoría del caos. Mejores predicciones sobre cuándo se producirá una congestión permitirían tomar medidas para dispersarla antes de que se hubiera producido. La combinación de los principios de la teoría del caos con algunos otros métodos ha llevado a un modelo de predicción a corto plazo más preciso (consulte el gráfico del modelo de tráfico BML a la derecha). ^[155]

La teoría del caos se ha aplicado a los datos ambientales del ciclo del agua (también a los datos hidrológicos ), como las precipitaciones y el caudal de los ríos. ^[156] Estos estudios han arrojado resultados controvertidos, porque los métodos para detectar una firma caótica son a menudo relativamente subjetivos. Los primeros estudios tendieron a "tener éxito" en encontrar el caos, mientras que los estudios y metanálisis posteriores cuestionaron esos estudios y proporcionaron explicaciones de por qué es poco probable que estos conjuntos de datos tengan una dinámica caótica de baja dimensión. ^[157]

En el arte (predominantemente la teoría del arte) se ha delineado una posible era posmoderna con énfasis en narrativas múltiples y la noción de que cada ángulo ficticio es una posibilidad. Por lo tanto, en parte se trata de un discurso bisociado (trisociativo) y puede explicarse haciendo hincapié en un intercambio institucional de agentes subjetivistas. ^[158]

Ver también

• Portal de matemáticas
• Portal de ciencia de sistemas

Ejemplos de sistemas caóticos

• Contornos advectados
• El mapa del gato de Arnold
• Teoría de la bifurcación
• Dinámica del rebote de la pelota
• circuito de chua
• Cliodinámica
• Retículo de mapa acoplado
• Péndulo doble
• Ecuación de Duffing
• Billar dinámico
• Burbuja económica
• Sistema Gaspard-Rice
• mapa de Henon
• Mapa de herradura
• Lista de mapas caóticos
• Atractor de Rossler
• Mapa estándar
• Balanceando la máquina de Atwood
• Incline un remolino

Otros temas relacionados

• Muerte de amplitud
• Difeomorfismo de Anosov
• Teoría de la catástrofe
• Causalidad
• El caos como ruptura de la supersimetría topológica
• máquina del caos
• Mezcla caótica
• dispersión caótica
• Control del caos
• Determinismo
• Borde del caos
• Aparición
• conjunto de mandelbrot
• Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser
• Mal acondicionado
• mala postura
• Sistema no lineal
• Patrones en la naturaleza
• Previsibilidad
• Caos cuántico
• Instituto Santa Fe
• Lema de sombreado
• Sincronización del caos
• Consecuencia involuntaria

Gente

• ralph abraham
• Michael Berry
• León O. Chua
• Ivar Ekeland
• granjero doyne
• Martín Gutzwiller
• Brosl-Hasslacher
• Michel Henon
• Aleksandr Liapunov
• Norman Packard
• Otto Rossler
• David Ruelle
• Oleksandr Mikolaiovich Sharkovsky
• Roberto Shaw
• Floris tomadas
• James A. Yorke
• George M. Zaslavsky

Referencias

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enlaces externos

• "Caos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupo de Investigación en Dinámica No Lineal con Animaciones en Flash
• El grupo Caos de la Universidad de Maryland
• El hiperlibro del caos. Una introducción al caos y los fractales.
• ChaosBook.org Un libro de texto de posgrado avanzado sobre el caos (sin fractales)
• Sociedad para la Teoría del Caos en Psicología y Ciencias de la Vida
• Grupo de Investigación en Dinámica No Lineal en CSDC, Florencia , Italia
• Dinámica no lineal: cómo la ciencia comprende el caos, charla presentada por Sunny Auyang, 1998.
• Dinámica no lineal. Modelos de bifurcación y caos de Elmer G. Wiens
• El caos de Gleick (extracto) Archivado el 2 de febrero de 2007 en la Wayback Machine.
• Grupo de Análisis, Modelado y Predicción de Sistemas de la Universidad de Oxford
• Una página sobre la ecuación Mackey-Glass
• Altas ansiedades: las matemáticas del caos (2008) Documental de la BBC dirigido por David Malone
• La teoría del caos de la evolución: artículo publicado en Newscientist que presenta similitudes entre la evolución y los sistemas no lineales, incluida la naturaleza fractal de la vida y el caos.
• Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez, Caos, una aventura matemática. Nueve películas sobre sistemas dinámicos, el efecto mariposa y la teoría del caos, destinadas a un público amplio.
• "Teoría del caos", discusión de BBC Radio 4 con Susan Greenfield, David Papineau y Neil Johnson ( In Our Time , 16 de mayo de 2002)
• Caos: La ciencia del efecto mariposa (2019) una explicación presentada por Derek Muller

Nota de derechos de autor

•  Este artículo incorpora texto de un trabajo de contenido gratuito . Licenciado bajo CC-BY (declaración de licencia/permiso). Texto tomado de Tres tipos de efectos mariposa dentro de los modelos de Lorenz, Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson y Robert Atlas, MDPI. Enciclopedia.