Triángulo de Sierpiński

Fractal compuesto de triángulos

Triángulo de Sierpiński

Generado usando un algoritmo aleatorio

Triángulo de Sierpiński en lógica: las primeras 16 conjunciones de argumentos ordenados lexicográficamente . Las columnas interpretadas como números binarios dan 1, 3, 5, 15, 17, 51... (secuencia A001317 en el OEIS )

El triángulo de Sierpiński (a veces escrito Sierpinski ), también llamado junta de Sierpiński o tamiz de Sierpiński , es un atractivo conjunto fijo fractal con la forma general de un triángulo equilátero , subdividido recursivamente en triángulos equiláteros más pequeños. Construido originalmente como una curva, este es uno de los ejemplos básicos de conjuntos autosemejantes ; es decir, es un patrón generado matemáticamente que es reproducible con cualquier aumento o reducción. Lleva el nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński , pero apareció como patrón decorativo muchos siglos antes del trabajo de Sierpiński.

Construcciones

Hay muchas formas diferentes de construir el triángulo de Sierpinski.

Quitar triángulos

El triángulo de Sierpinski se puede construir a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación repetida de subconjuntos triangulares:

1. Comienza con un triángulo equilátero.
2. Subdivídelo en cuatro triángulos equiláteros congruentes más pequeños y elimina el triángulo central.
3. Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños restantes infinitamente.

La evolución del triángulo de Sierpinski

Cada triángulo eliminado (una trema ) es topológicamente un conjunto abierto . ^[1] Este proceso de eliminación recursiva de triángulos es un ejemplo de regla de subdivisión finita .

Contracción y duplicación

La misma secuencia de formas, que convergen en el triángulo de Sierpiński, se puede generar alternativamente mediante los siguientes pasos:

1. Comience con cualquier triángulo en un plano (cualquier región cerrada y acotada en el plano realmente funcionará). El triángulo canónico de Sierpiński utiliza un triángulo equilátero con una base paralela al eje horizontal (primera imagen).
2. Reducir el triángulo a1/2altura y1/2ancho, haga tres copias y coloque los tres triángulos encogidos de modo que cada triángulo toque los otros dos triángulos en una esquina (imagen 2). Observe la aparición del agujero central, porque los tres triángulos reducidos entre sí sólo pueden cubrir3/4del área del original. (Los agujeros son una característica importante del triángulo de Sierpinski).
3. Repita el paso 2 con cada uno de los triángulos más pequeños (imagen 3 y así sucesivamente).

Este proceso infinito no depende de que la forma inicial sea un triángulo; simplemente así es más claro. Los primeros pasos que parten, por ejemplo, de un cuadrado también tienden hacia un triángulo de Sierpinski. Michael Barnsley utilizó la imagen de un pez para ilustrar esto en su artículo "Fractales y superfractales con variable V". ^{[2] [3]}

Iterando desde un cuadrado

El fractal real es el que se obtendría tras un número infinito de iteraciones. Más formalmente, se describe en términos de funciones sobre conjuntos cerrados de puntos. Si dejamos que d _A denote la dilatación por un factor de1/2alrededor de un punto A, entonces el triángulo de Sierpiński con esquinas A, B y C es el conjunto fijo de la transformación . ${\displaystyle d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}$

Este es un conjunto fijo atractivo , de modo que cuando la operación se aplica a cualquier otro conjunto repetidamente, las imágenes convergen en el triángulo de Sierpiński. Esto es lo que está pasando con el triángulo de arriba, pero cualquier otro conjunto sería suficiente.

juego del caos

Creación animada de un triángulo de Sierpinski mediante el juego del caos.

Si uno toma un punto y le aplica cada una de las transformaciones d _A , d _B , y d _C aleatoriamente, los puntos resultantes serán densos en el triángulo de Sierpiński, por lo que el siguiente algoritmo generará nuevamente aproximaciones arbitrariamente cercanas al mismo: ^{[4 ]}

Comience etiquetando p ₁ , p ₂ y p ₃ como las esquinas del triángulo de Sierpinski y un punto aleatorio v ₁ . Establecer vn ₊₁ =_​1/2( v _n + p _{r n} ) , donde r _n es un número aleatorio 1, 2 o 3. Dibuja los puntos v ₁ a v _∞ . Si el primer punto v ₁ era un punto del triángulo de Sierpiński, entonces todos los puntos v _n se encuentran en el triángulo de Sierpiński. Si el primer punto v ₁ que se encuentra dentro del perímetro del triángulo no es un punto en el triángulo de Sierpiński, ninguno de los puntos v _n estará en el triángulo de Sierpiński, sin embargo, convergerán en el triángulo. Si v ₁ está fuera del triángulo, la única forma en que v _n aterrizará en el triángulo real es si v _n está en lo que sería parte del triángulo, si el triángulo fuera infinitamente grande.

O más simplemente:

1. Toma tres puntos en un plano para formar un triángulo.
2. Seleccione aleatoriamente cualquier punto dentro del triángulo y considere esa su posición actual.
3. Seleccione aleatoriamente cualquiera de los tres puntos de vértice.
4. Muévete la mitad de la distancia desde tu posición actual hasta el vértice seleccionado.
5. Trazar la posición actual.
6. Repita desde el paso 3.

Este método también se llama juego del caos y es un ejemplo de un sistema de funciones iteradas . Puede comenzar desde cualquier punto fuera o dentro del triángulo, y eventualmente formaría la Junta de Sierpiński con algunos puntos sobrantes (si el punto inicial se encuentra en el contorno del triángulo, no quedan puntos sobrantes). Con lápiz y papel, se forma un breve contorno después de colocar aproximadamente cien puntos, y el detalle comienza a aparecer después de unos cientos.

Construcción de punta de flecha de la junta de Sierpiński

Construcción de punta de flecha de la junta de Sierpinski

Otra construcción de la junta de Sierpinski muestra que se puede construir como una curva en el plano. Está formado por un proceso de modificación repetida de curvas más simples, análogo a la construcción del copo de nieve de Koch :

1. Comience con un solo segmento de línea en el plano.
2. Reemplace repetidamente cada segmento de línea de la curva con tres segmentos más cortos, formando ángulos de 120° en cada unión entre dos segmentos consecutivos, con el primer y último segmento de la curva paralelos al segmento de línea original o formando un ángulo de 60° con él.

En cada iteración, esta construcción da una curva continua. En el límite, estos se acercan a una curva que traza el triángulo de Sierpinski mediante un único camino dirigido continuo (infinitamente ondulante), que se llama punta de flecha de Sierpinski . ^[5] De hecho, el objetivo del artículo original de Sierpinski de 1915, era mostrar un ejemplo de curva (una curva cantoriana), como lo declara el propio título del artículo. ^{[6] [7]}

Autómata celular

El triángulo de Sierpinski también aparece en ciertos autómatas celulares (como la Regla 90 ), incluidos los relativos al Juego de la vida de Conway . Por ejemplo, el autómata celular realista B1/S12, cuando se aplica a una sola celda, generará cuatro aproximaciones del triángulo de Sierpinski. ^[8] Una línea muy larga, de una celda de espesor, en la vida estándar creará dos triángulos de Sierpiński reflejados. El diagrama espacio-temporal de un patrón replicador en un autómata celular también se parece a menudo a un triángulo de Sierpiński, como el del replicador común en HighLife. ^[9] El triángulo de Sierpinski también se puede encontrar en el autómata Ulam-Warburton y en el autómata Hex-Ulam-Warburton. ^[10]

el triangulo de pascal

Una aproximación de nivel 5 a un triángulo de Sierpinski obtenida sombreando los primeros 2 ⁵ (32) niveles de un triángulo de Pascal en blanco si el coeficiente binomial es par y en negro en caso contrario.

Si se toma el triángulo de Pascal con filas y se colorean los números pares de blanco y los impares de negro, el resultado es una aproximación al triángulo de Sierpiński. Más precisamente, el límite cuando n tiende al infinito de este triángulo de Pascal de fila coloreada de paridad es el triángulo de Sierpinski. ^[11] ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Como la proporción de números negros tiende a cero al aumentar n , un corolario es que la proporción de coeficientes binomiales impares tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^[12]

Torres de Hanói

El rompecabezas de las Torres de Hanoi implica mover discos de diferentes tamaños entre tres clavijas, manteniendo la propiedad de que ningún disco se coloca encima de un disco más pequeño. Los estados de un rompecabezas de n discos y los movimientos permitidos de un estado a otro forman un gráfico no dirigido , el gráfico de Hanoi , que se puede representar geométricamente como el gráfico de intersección del conjunto de triángulos que quedan después del enésimo paso del rompecabezas. construcción del triángulo de Sierpinski. Por tanto, en el límite cuando n tiende al infinito, esta secuencia de gráficas puede interpretarse como un análogo discreto del triángulo de Sierpinski. ^[13]

Propiedades

Para un número entero de dimensiones , al duplicar un lado de un objeto, se crean copias del mismo, es decir, 2 copias para un objeto unidimensional, 4 copias para un objeto bidimensional y 8 copias para un objeto tridimensional. Para el triángulo de Sierpiński, al duplicar su lado se crean 3 copias de sí mismo. Por tanto, el triángulo de Sierpiński tiene dimensión de Hausdorff , que se deduce de resolver para . ^[14] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2^{d}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585}$ ${\displaystyle 2^{d}=3}$ ${\displaystyle d}$

El área de un triángulo de Sierpiński es cero (en medida de Lebesgue ). El área que queda después de cada iteración es del área de la iteración anterior, y un número infinito de iteraciones da como resultado un área cercana a cero. ^[15] ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

Los puntos de un triángulo de Sierpinski tienen una caracterización sencilla en coordenadas baricéntricas . ^[16] Si un punto tiene coordenadas baricéntricas , expresadas como números binarios , entonces el punto está en el triángulo de Sierpiński si y sólo si para todos . ${\displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )}$ ${\displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}$ ${\displaystyle i}$

Generalización a otros módulos.

También se puede generar una generalización del triángulo de Sierpiński utilizando el triángulo de Pascal si se utiliza un módulo diferente. La iteración se puede generar tomando un triángulo de Pascal con filas y coloreando los números según su valor módulo . A medida que se acerca al infinito, se genera un fractal. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P^{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$

El mismo fractal se puede lograr dividiendo un triángulo en un mosaico de triángulos similares y eliminando los triángulos que están al revés del original, luego repitiendo este paso con cada triángulo más pequeño. ${\displaystyle P^{2}}$

Por el contrario, el fractal también se puede generar comenzando con un triángulo, duplicándolo y organizando las nuevas figuras en la misma orientación en un triángulo similar más grande con los vértices de las figuras anteriores tocándose, y luego iterando ese paso. ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$

Análogos en dimensiones superiores.

Recursión de la pirámide de Sierpinski (8 pasos)

El tetraedro de Sierpinski o tetrix es el análogo tridimensional del triángulo de Sierpiński, formado al encoger repetidamente un tetraedro regular a la mitad de su altura original, juntando cuatro copias de este tetraedro con las esquinas tocándose y luego repitiendo el proceso.

Una tetrix construida a partir de un tetraedro inicial de longitud de lado tiene la propiedad de que el área de superficie total permanece constante con cada iteración. El área de superficie inicial del tetraedro (iteración-0) de longitud lateral es . La siguiente iteración consta de cuatro copias con una longitud lateral de , por lo que el área total vuelve a ser. Las iteraciones posteriores nuevamente cuadriplican el número de copias y reducen a la mitad la longitud lateral, preservando el área total. Mientras tanto, el volumen de la construcción se reduce a la mitad en cada paso y, por tanto, se acerca a cero. El límite de este proceso no tiene volumen ni superficie sino que, como la junta de Sierpinski, es una curva intrincadamente conectada. Su dimensión Hausdorff es ; aquí "log" denota el logaritmo natural , el numerador es el logaritmo del número de copias de la forma formada a partir de cada copia de la iteración anterior, y el denominador es el logaritmo del factor por el cual estas copias se reducen con respecto a la iteración anterior. iteración. Si todos los puntos se proyectan sobre un plano paralelo a dos de los bordes exteriores, llenan exactamente un cuadrado de longitud de lado sin superposición. ^[18] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {L}{2}}}$ ${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$ ${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {L}{\sqrt {2}}}}$

Animación de un tetrix giratorio de nivel 4 que muestra cómo algunas proyecciones ortográficas de un tetrix pueden llenar un plano. En este SVG interactivo, muévase hacia la izquierda y hacia la derecha sobre el tetrix para rotar el modelo 3D.

Historia

Wacław Sierpiński describió el triángulo de Sierpiński en 1915. Sin embargo, patrones similares ya aparecen como motivo común en las incrustaciones cosmatescas en piedra del siglo XIII. ^[19]

La junta apolínea fue descrita por primera vez por Apolonio de Perga (siglo III a. C.) y analizada con más detalle por Gottfried Leibniz (siglo XVII), y es un precursor curvo del triángulo de Sierpiński del siglo XX. ^[20]

Etimología

El uso de la palabra "junta" para referirse al triángulo de Sierpiński se refiere a juntas como las que se encuentran en los motores , y que a veces presentan una serie de agujeros de tamaño decreciente, similar al fractal; Este uso fue acuñado por Benoit Mandelbrot , quien pensó que el fractal se parecía a "la parte que evita fugas en los motores". ^[21]

Ver también

• Junta apolínea , un conjunto de círculos mutuamente tangentes con la misma estructura combinatoria que el triángulo de Sierpinski
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Alfombra de Sierpiński , otro fractal que lleva el nombre de Sierpiński y que se forma eliminando repetidamente cuadrados de un cuadrado más grande
• Trifuerza , una reliquia de la serie Legend of Zelda

Referencias

1. ""Junta Sierpinski mediante eliminación de Trema"".
2. Michael Barnsley ; et al. (2003), "Fractales y superfractales con variable V", arXiv : math/0312314
3. NOVA (programa de televisión pública). La extraña nueva ciencia del caos (episodio). Estación de televisión pública WGBH Boston. Emitido el 31 de enero de 1989.
4. Feldman, David P. (2012), "17.4 El juego del caos", Caos y fractales: una introducción elemental , Oxford University Press, págs. 178-180, ISBN 9780199566440.
5. Prusinkiewicz, P. (1986), "Aplicaciones gráficas de los sistemas L" (PDF) , Actas de Graphics Interface '86 / Vision Interface '86 , págs..
6. Sierpinski, Waclaw (1915). "Sur une courbe dont tout point es un punto de ramificación". compt. Desgarrar. Acad. Ciencia. París . 160 : 302–305.
7. Brunori, Paola; Magrón, Paola; Lalli, Laura Tedeschini (7 de julio de 2018), Pórfido imperial y hoja de oro: triángulo de Sierpinski en un claustro romano medieval, Avances en sistemas inteligentes y computación, vol. 809, Springer International Publishing, págs. 595–609, doi :10.1007/978-3-319-95588-9_49, ISBN 9783319955872, S2CID  125313277
8. Rumpf, Thomas (2010), "El juego de la vida de Conway se aceleró con OpenCL" (PDF) , Actas de la Undécima Conferencia Internacional sobre Computación de Membranas (CMC 11) , págs..
9. Bilotta, Eleonora ; Pantano, Pietro (verano de 2005), "Fenómenos de patrones emergentes en autómatas celulares 2D", Artificial Life , 11 (3): 339–362, doi :10.1162/1064546054407167, PMID  16053574, S2CID  7842605.
10. Jovanova, Tanya; Nie, Eric; Puranik, Alok (2014), "El triángulo de Sierpinski y el autómata Ulam-Warburton", Math Horizons , 23 (1): 5–9, arXiv : 1408.5937 , doi :10.4169/mathhorizons.23.1.5, S2CID  125503155
11. Stewart, Ian (2006), Cómo cortar un pastel: y otros acertijos matemáticos, Oxford University Press, pág. 145, ISBN 9780191500718.
12. Ian Stewart, "Cómo cortar un pastel", Oxford University Press, página 180
13. Romik, Dan (2006), "Los caminos más cortos en el gráfico de la Torre de Hanoi y los autómatas finitos", Revista SIAM de Matemáticas Discretas , 20 (3): 610–62, arXiv : math.CO/0310109 , doi :10.1137/050628660 , SEÑOR  2272218, S2CID  8342396.
14. Halconero, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas . Chichester: John Wiley. pag. 120.ISBN​ 978-0-471-92287-2. Zbl  0689.28003.
15. Helmberg, Gilbert (2007), Familiarizándose con los fractales, Walter de Gruyter, p. 41, ISBN 9783110190922.
16. "Muchas formas de formar la junta de Sierpinski".
17. Shannon, Kathleen M.; Bardzell, Michael J. (noviembre de 2003). "Patrones en el triángulo de Pascal: con un toque diferente". Convergencia . Asociación Matemática de América . Consultado el 29 de marzo de 2015 .
18. Jones, Huw; Campa, Aurelio (1993), "Formas abstractas y naturales a partir de sistemas de funciones iteradas", en Thalmann, NM; Thalmann, D. (eds.), Comunicando con mundos virtuales , CGS CG International Series, Tokio: Springer, págs. 332–344, doi :10.1007/978-4-431-68456-5_27
19. Williams, Kim (diciembre de 1997). Stewart, Ian (ed.). "Las aceras de los Cosmati". El turista matemático. El inteligente matemático . 19 (1): 41–45. doi :10.1007/bf03024339. S2CID  189885713.
20. Mandelbrot B (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman. pag. 170.ISBN​ 978-0-7167-1186-5.
    Aste T, Weaire D (2008). La búsqueda del embalaje perfecto (2ª ed.). Nueva York: Taylor y Francis. págs. 131-138. ISBN 978-1-4200-6817-7.
21. Benedetto, Juan; Wojciech, Czaja. Integración y Análisis Moderno . pag. 408.

enlaces externos

• "Junta de Sierpinski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Tamiz Sierpinski". MundoMatemático .
• Rothemund, Paul WK; Papadakis, Nick; Winfree, Erik (2004). "Autoensamblaje algorítmico de triángulos de Sierpinski de ADN". Más biología . 2 (12): e424. doi : 10.1371/journal.pbio.0020424 . PMC  534809 . PMID  15583715.
• Junta Sierpinski de Trema Removal en cut-the-knot
• Junta de Sierpinski y Torre de Hanoi en el corte del nudo
• Triángulo de Sierpinski generado por GPU en tiempo real en 3D
• Triángulos pitagóricos, Waclaw Sierpinski, Courier Corporation, 2003
• A067771 Número de vértices en el triángulo de Sierpiński de orden n. en OEIS
• Versión interactiva del juego del caos.