En el uso común, aleatoriedad es la falta aparente o real de un patrón definido o previsibilidad en la información. [1] [2] Una secuencia aleatoria de eventos, símbolos o pasos a menudo no tiene orden y no sigue un patrón o combinación inteligible. Los eventos aleatorios individuales son, por definición, impredecibles, pero si existe una distribución de probabilidad conocida , la frecuencia de diferentes resultados en eventos repetidos (o "ensayos") es predecible. [nota 1] Por ejemplo, al lanzar dos dados , el resultado de cualquier tirada particular es impredecible, pero una suma de 7 tenderá a ocurrir dos veces más que 4. Desde este punto de vista, la aleatoriedad no es azar; es una medida de incertidumbre de un resultado. La aleatoriedad se aplica a los conceptos de azar, probabilidad y entropía de la información .
Los campos de las matemáticas, la probabilidad y la estadística utilizan definiciones formales de aleatoriedad, asumiendo típicamente que existe alguna distribución de probabilidad "objetiva". En estadística, una variable aleatoria es una asignación de un valor numérico a cada resultado posible de un espacio de eventos . Esta asociación facilita la identificación y el cálculo de probabilidades de los eventos. Las variables aleatorias pueden aparecer en secuencias aleatorias . Un proceso aleatorio es una secuencia de variables aleatorias cuyos resultados no siguen un patrón determinista , sino que siguen una evolución descrita por distribuciones de probabilidad . Estos y otros constructos son extremadamente útiles en la teoría de la probabilidad y las diversas aplicaciones de la aleatoriedad .
La aleatoriedad se utiliza con mayor frecuencia en estadística para indicar propiedades estadísticas bien definidas. Los métodos de Monte Carlo , que se basan en entradas aleatorias (como las de generadores de números aleatorios o generadores de números pseudoaleatorios ), son técnicas importantes en la ciencia, particularmente en el campo de la ciencia computacional . [3] Por analogía, los métodos cuasi-Monte Carlo utilizan generadores de números cuasi aleatorios .
La selección aleatoria, cuando está estrechamente asociada con una muestra aleatoria simple , es un método para seleccionar elementos (a menudo llamados unidades) de una población donde la probabilidad de elegir un elemento específico es la proporción de esos elementos en la población. Por ejemplo, con un cuenco que contiene sólo 10 canicas rojas y 90 canicas azules, un mecanismo de selección aleatorio elegiría una canica roja con una probabilidad de 1/10. Un mecanismo de selección aleatorio que seleccionara 10 canicas de este cuenco no necesariamente daría como resultado 1 roja y 9 azules. En situaciones en las que una población consta de elementos que son distinguibles, un mecanismo de selección aleatoria requiere probabilidades iguales para que se elija cualquier elemento. Es decir, si el proceso de selección es tal que cada miembro de una población, digamos los sujetos de investigación, tiene la misma probabilidad de ser elegido, entonces podemos decir que el proceso de selección es aleatorio. [2]
Según la teoría de Ramsey , la aleatoriedad pura (en el sentido de que no hay ningún patrón discernible) es imposible, especialmente para estructuras grandes. El matemático Theodore Motzkin sugirió que "si bien el desorden es más probable en general, el desorden completo es imposible". [4] No entender esto puede dar lugar a numerosas teorías de conspiración . [5] Cristian S. Calude afirmó que "ante la imposibilidad de una verdadera aleatoriedad, el esfuerzo se dirige a estudiar los grados de aleatoriedad". [6] Se puede demostrar que existe una jerarquía infinita (en términos de calidad o fuerza) de formas de aleatoriedad. [6]
En la historia antigua, los conceptos de azar y aleatoriedad estaban entrelazados con el de destino. Muchos pueblos antiguos lanzaban dados para determinar el destino, y esto luego evolucionó hasta convertirse en juegos de azar. La mayoría de las culturas antiguas utilizaban diversos métodos de adivinación para intentar eludir el azar y el destino. [7] [8] Más allá de la religión y los juegos de azar , la aleatoriedad ha sido atestiguada para la clasificación desde al menos la antigua democracia ateniense en la forma de un kleroterion . [9]
La formalización de las probabilidades y el azar tal vez fue realizada por primera vez por los chinos hace 3.000 años. Los filósofos griegos discutieron extensamente la aleatoriedad, pero sólo en formas no cuantitativas. No fue hasta el siglo XVI que los matemáticos italianos comenzaron a formalizar las probabilidades asociadas con varios juegos de azar. La invención del cálculo tuvo un impacto positivo en el estudio formal de la aleatoriedad. En la edición de 1888 de su libro La lógica del azar , John Venn escribió un capítulo sobre La concepción de la aleatoriedad que incluía su visión de la aleatoriedad de los dígitos de pi (π), utilizándolos para construir un paseo aleatorio en dos dimensiones. [10]
La primera parte del siglo XX vio un rápido crecimiento en el análisis formal de la aleatoriedad, a medida que se introdujeron varios enfoques de los fundamentos matemáticos de la probabilidad. A mediados y finales del siglo XX, las ideas de la teoría algorítmica de la información introdujeron nuevas dimensiones en el campo a través del concepto de aleatoriedad algorítmica .
Aunque la aleatoriedad se había visto a menudo como un obstáculo y una molestia durante muchos siglos, en el siglo XX los científicos informáticos comenzaron a darse cuenta de que la introducción deliberada de la aleatoriedad en los cálculos puede ser una herramienta eficaz para diseñar mejores algoritmos. En algunos casos, estos algoritmos aleatorios incluso superan a los mejores métodos deterministas. [11]
Muchos campos científicos se preocupan por la aleatoriedad:
En el siglo XIX, los científicos utilizaron la idea de los movimientos aleatorios de las moléculas en el desarrollo de la mecánica estadística para explicar los fenómenos de la termodinámica y las propiedades de los gases .
Según varias interpretaciones estándar de la mecánica cuántica , los fenómenos microscópicos son objetivamente aleatorios. [12] Es decir, en un experimento que controla todos los parámetros causalmente relevantes, algunos aspectos del resultado aún varían aleatoriamente. Por ejemplo, si un único átomo inestable se coloca en un entorno controlado, no se puede predecir cuánto tiempo tardará en desintegrarse, sólo la probabilidad de desintegración en un tiempo determinado. [13] Por lo tanto, la mecánica cuántica no especifica el resultado de experimentos individuales, sino sólo las probabilidades. Las teorías de variables ocultas rechazan la visión de que la naturaleza contiene aleatoriedad irreducible: tales teorías postulan que en los procesos que parecen aleatorios, propiedades con una cierta distribución estadística actúan detrás de escena, determinando el resultado en cada caso.
La síntesis evolutiva moderna atribuye la diversidad observada de la vida a mutaciones genéticas aleatorias seguidas de selección natural . Este último conserva algunas mutaciones aleatorias en el acervo genético debido a la mejora sistemática de las posibilidades de supervivencia y reproducción que esos genes mutados confieren a los individuos que los poseen. Sin embargo, la localización de la mutación no es totalmente aleatoria ya que, por ejemplo, las regiones biológicamente importantes pueden estar más protegidas contra las mutaciones. [14] [15] [16]
Varios autores también afirman que la evolución (y a veces el desarrollo) requiere una forma específica de aleatoriedad, es decir, la introducción de comportamientos cualitativamente nuevos. En lugar de la elección de una posibilidad entre varias preestablecidas, esta aleatoriedad corresponde a la formación de nuevas posibilidades. [17] [18]
Las características de un organismo surgen hasta cierto punto de forma determinista (por ejemplo, bajo la influencia de los genes y el medio ambiente) y hasta cierto punto de forma aleatoria. Por ejemplo, la densidad de las pecas que aparecen en la piel de una persona está controlada por los genes y la exposición a la luz; mientras que la ubicación exacta de las pecas individuales parece aleatoria. [19]
En lo que respecta al comportamiento, la aleatoriedad es importante si un animal va a comportarse de una manera que sea impredecible para los demás. Por ejemplo, los insectos en vuelo tienden a moverse con cambios aleatorios de dirección, lo que dificulta que los depredadores que los persiguen puedan predecir sus trayectorias.
La teoría matemática de la probabilidad surgió de intentos de formular descripciones matemáticas de eventos aleatorios, originalmente en el contexto del juego , pero más tarde en relación con la física. La estadística se utiliza para inferir una distribución de probabilidad subyacente de una colección de observaciones empíricas. Para fines de simulación , es necesario tener una gran oferta de números aleatorios , o medios para generarlos bajo demanda.
La teoría algorítmica de la información estudia, entre otros temas, qué constituye una secuencia aleatoria . La idea central es que una cadena de bits es aleatoria si y sólo si es más corta que cualquier programa informático que pueda producir esa cadena ( aleatoriedad de Kolmogorov ), lo que significa que las cadenas aleatorias son aquellas que no se pueden comprimir . Los pioneros de este campo incluyen a Andrey Kolmogorov y su alumno Per Martin-Löf , Ray Solomonoff y Gregory Chaitin . Para la noción de secuencia infinita, los matemáticos generalmente aceptan la definición semiepónima de Per Martin-Löf : una secuencia infinita es aleatoria si y sólo si soporta todos los conjuntos nulos recursivamente enumerables. [20] Las otras nociones de secuencias aleatorias incluyen, entre otras, aleatoriedad recursiva y aleatoriedad de Schnorr, que se basan en martingalas recursivamente computables. Yongge Wang demostró que estas nociones de aleatoriedad son generalmente diferentes. [21]
La aleatoriedad ocurre en números como log(2) y pi . Los dígitos decimales de pi constituyen una secuencia infinita y "nunca se repiten de forma cíclica". También se considera que números como pi son normales :
Ciertamente Pi parece comportarse de esta manera. En los primeros seis mil millones de decimales de pi, cada uno de los dígitos del 0 al 9 aparece unos seiscientos millones de veces. Sin embargo, tales resultados, posiblemente accidentales, no prueban la normalidad ni siquiera en base 10, y mucho menos la normalidad en otras bases numéricas. [22]
En estadística, la aleatoriedad se utiliza comúnmente para crear muestras aleatorias simples . Esto permite que las encuestas de grupos de personas completamente aleatorias proporcionen datos realistas que reflejen la población. Los métodos comunes para hacer esto incluyen sacar nombres de un sombrero o usar una tabla de dígitos aleatorios (una tabla grande de dígitos aleatorios).
En las ciencias de la información, los datos irrelevantes o sin sentido se consideran ruido. El ruido consiste en numerosas perturbaciones transitorias, con una distribución temporal estadísticamente aleatoria.
En la teoría de la comunicación , la aleatoriedad en una señal se denomina "ruido", y se opone a aquel componente de su variación que es causalmente atribuible a la fuente, la señal.
En términos del desarrollo de redes aleatorias, para la comunicación la aleatoriedad se basa en los dos supuestos simples de Paul Erdős y Alfréd Rényi , quienes dijeron que había un número fijo de nodos y que este número permanecía fijo durante la vida de la red, y que todos Los nodos eran iguales y estaban vinculados aleatoriamente entre sí. [ se necesita aclaración ] [23]
La hipótesis del paseo aleatorio considera que los precios de los activos en un mercado organizado evolucionan aleatoriamente, en el sentido de que el valor esperado de su cambio es cero pero el valor real puede resultar positivo o negativo. En términos más generales, los precios de los activos están influenciados por una variedad de acontecimientos impredecibles en el entorno económico general.
La selección aleatoria puede ser un método oficial para resolver elecciones empatadas en algunas jurisdicciones. [24] Su uso en política se origina hace mucho tiempo. Muchos cargos en la antigua Atenas se elegían por sorteo en lugar de por votación moderna.
Se puede considerar que la aleatoriedad está en conflicto con las ideas deterministas de algunas religiones, como aquellas en las que el universo es creado por una deidad omnisciente que es consciente de todos los eventos pasados y futuros. Si se considera que el universo tiene un propósito, entonces la aleatoriedad puede considerarse imposible. Ésta es una de las razones de la oposición religiosa a la evolución , que afirma que la selección no aleatoria se aplica a los resultados de la variación genética aleatoria.
Las filosofías hindú y budista afirman que cualquier acontecimiento es resultado de acontecimientos anteriores, tal y como se refleja en el concepto de karma . Como tal, esta concepción está reñida con la idea de aleatoriedad, y cualquier reconciliación entre ambas requeriría una explicación. [25]
En algunos contextos religiosos, para la adivinación se utilizan procedimientos que comúnmente se perciben como aleatorizadores. La cleromancia utiliza el lanzamiento de huesos o dados para revelar lo que se considera la voluntad de los dioses.
En la mayoría de sus usos matemáticos, políticos, sociales y religiosos, la aleatoriedad se utiliza por su "imparcialidad" innata y su falta de sesgo.
Política : La democracia ateniense se basaba en el concepto de isonomía (igualdad de derechos políticos) y utilizaba complejas máquinas de asignación para garantizar que los puestos en los comités gobernantes que gobernaban Atenas fueran asignados de manera justa. La asignación ahora se restringe a la selección de jurados en los sistemas legales anglosajones y en situaciones en las que la "imparcialidad" se aproxima mediante la aleatorización , como la selección de jurados y las loterías de reclutamiento militar .
Juegos : Los números aleatorios se investigaron por primera vez en el contexto de los juegos de azar , y muchos dispositivos de aleatorización, como los dados , las barajas de cartas y las ruedas de la ruleta , se desarrollaron por primera vez para su uso en los juegos de azar. La capacidad de producir números aleatorios de manera justa es vital para los juegos de azar electrónicos y, como tal, los métodos utilizados para crearlos generalmente están regulados por las Juntas de Control de Juegos gubernamentales . Los sorteos aleatorios también se utilizan para determinar los ganadores de la lotería . De hecho, la aleatoriedad se ha utilizado para juegos de azar a lo largo de la historia y para seleccionar de manera justa a individuos para una tarea no deseada (ver sacar pajitas ).
Deportes : algunos deportes, incluido el fútbol americano , utilizan lanzamientos de monedas para seleccionar al azar las condiciones iniciales de los juegos o equipos empatados para los juegos de postemporada . La Asociación Nacional de Baloncesto utiliza una lotería ponderada para ordenar los equipos en su draft.
Matemáticas : Los números aleatorios también se emplean cuando su uso es matemáticamente importante, como en el muestreo para encuestas de opinión y para el muestreo estadístico en sistemas de control de calidad . Las soluciones computacionales para algunos tipos de problemas utilizan ampliamente números aleatorios, como en el método de Monte Carlo y en los algoritmos genéticos .
Medicina : la asignación aleatoria de una intervención clínica se utiliza para reducir el sesgo en los ensayos controlados (p. ej., ensayos controlados aleatorios ).
Religión : aunque no pretenden ser aleatorias, varias formas de adivinación , como la cleromancia, ven lo que parece ser un evento aleatorio como un medio para que un ser divino comunique su voluntad (consulte también Libre albedrío y Determinismo para obtener más información).
Generalmente se acepta que existen tres mecanismos responsables del comportamiento (aparentemente) aleatorio en los sistemas:
Las numerosas aplicaciones de la aleatoriedad han dado lugar a muchos métodos diferentes para generar datos aleatorios. Estos métodos pueden variar en cuanto a qué tan impredecibles o estadísticamente aleatorios son y qué tan rápido pueden generar números aleatorios.
Antes de la llegada de los generadores computacionales de números aleatorios , generar grandes cantidades de números suficientemente aleatorios (lo cual es importante en estadística) requería mucho trabajo. En ocasiones, los resultados se recopilarían y distribuirían como tablas de números aleatorios .
Existen muchas medidas prácticas de aleatoriedad para una secuencia binaria. Estas incluyen medidas basadas en frecuencia, transformaciones discretas , complejidad o una combinación de ellas, como las pruebas de Kak, Phillips, Yuen, Hopkins, Beth y Dai, Mund y Marsaglia y Zaman. [26]
La no localidad cuántica se ha utilizado para certificar la presencia de una forma genuina o fuerte de aleatoriedad en una cadena determinada de números. [27]
Las percepciones populares de la aleatoriedad son frecuentemente erróneas y a menudo se basan en razonamientos o intuiciones falaces.
Este argumento es: "En una selección aleatoria de números, dado que todos los números eventualmente aparecen, aquellos que aún no han aparecido son 'vencidos' y, por lo tanto, es más probable que aparezcan pronto". Esta lógica sólo es correcta si se aplica a un sistema en el que los números que aparecen se eliminan del sistema, como cuando los naipes se extraen y no se devuelven a la baraja. En este caso, una vez que se retira una jota de la baraja, es menos probable que el siguiente sorteo sea una jota y más probable que sea alguna otra carta. Sin embargo, si la sota se devuelve a la baraja y ésta se baraja completamente, es tan probable que se saque una sota como cualquier otra carta. Lo mismo se aplica en cualquier otro proceso en el que los objetos se seleccionan de forma independiente y ninguno se elimina después de cada evento, como tirar un dado, lanzar una moneda o la mayoría de los esquemas de selección de números de lotería . Los procesos verdaderamente aleatorios como estos no tienen memoria, lo que hace imposible que los resultados pasados afecten los resultados futuros. De hecho, no existe un número finito de pruebas que puedan garantizar el éxito.
En una secuencia aleatoria de números, se puede decir que un número está maldito porque ha aparecido con menos frecuencia en el pasado y, por lo tanto, se piensa que aparecerá con menos frecuencia en el futuro. Se puede suponer que un número es bendito porque ha ocurrido con más frecuencia que otros en el pasado y, por lo tanto, se cree que probablemente aparecerá con más frecuencia en el futuro. Esta lógica es válida sólo si la aleatorización puede estar sesgada; por ejemplo, si se sospecha que un dado está cargado, el hecho de no sacar suficientes seises sería evidencia de esa carga. Si se sabe que el dado es justo, las tiradas anteriores no pueden dar ninguna indicación de eventos futuros.
En la naturaleza, los eventos rara vez ocurren con una frecuencia conocida a priori , por lo que tiene sentido observar los resultados para determinar qué eventos son más probables. Sin embargo, es falaz aplicar esta lógica a sistemas diseñados y conocidos para hacer que todos los resultados sean igualmente probables, como las cartas barajadas, los dados y las ruedas de la ruleta.
Al comienzo de un escenario, se podría calcular la probabilidad de un determinado evento. Sin embargo, tan pronto como se obtenga más información sobre el escenario, es posible que sea necesario volver a calcular la probabilidad en consecuencia.
Por ejemplo, cuando se le dice que una mujer tiene dos hijos, a uno le podría interesar saber si alguno de ellos es una niña y, en caso afirmativo, cuál es la probabilidad de que el otro hijo también sea una niña. Considerando los dos eventos de forma independiente, se podría esperar que la probabilidad de que el otro hijo sea mujer sea ½ (50%), pero al construir un espacio de probabilidad que ilustre todos los resultados posibles, se podría notar que la probabilidad en realidad es solo ⅓ (33%). .
Sin duda, el espacio de probabilidad ilustra cuatro formas de tener estos dos hijos: niño-niño, niña-niño, niño-niña y niña-niña. Pero una vez que se sabe que al menos uno de los hijos es mujer, se descarta el escenario niño-niño, dejando sólo tres formas de tener los dos hijos: niño-niña, niña-niño, niña-niña. A partir de esto, se puede ver que solo en ⅓ de estos escenarios el otro niño también sería una niña [28] (consulte la Paradoja del niño o la niña para obtener más información).
En general, al utilizar un espacio de probabilidad, es menos probable que se pierdan posibles escenarios o que se descuide la importancia de la nueva información. Esta técnica se puede utilizar para proporcionar información sobre otras situaciones, como el problema de Monty Hall , un escenario de un programa de juegos en el que un automóvil se esconde detrás de una de las tres puertas y dos cabras se esconden como premios explosivos detrás de las otras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta, el anfitrión abre una de las puertas restantes para revelar una cabra, eliminando esa puerta como opción. Con solo dos puertas restantes (una con el auto, la otra con otra cabra), el jugador debe decidir si mantiene su decisión o cambia y selecciona la otra puerta. Intuitivamente, uno podría pensar que el jugador está eligiendo entre dos puertas con la misma probabilidad, y que la oportunidad de elegir otra puerta no hace ninguna diferencia. Sin embargo, un análisis de los espacios de probabilidad revelaría que el concursante ha recibido nueva información, y que cambiar a la otra puerta aumentaría sus posibilidades de ganar. [28]
La distribución de las pecas parece completamente aleatoria y no está asociada con ninguna otra característica anatómica o fisiológica obviamente puntuada de la piel.
