Modelo Kuramoto

Modelo de osciladores acoplados que se puede resolver con exactitud

El modelo de Kuramoto (o modelo de Kuramoto-Daido ), propuesto por primera vez por Yoshiki Kuramoto (蔵本 由紀, Kuramoto Yoshiki ) , ^{[1] [2]} es un modelo matemático utilizado para describir la sincronización . Más específicamente, es un modelo para el comportamiento de un gran conjunto de osciladores acoplados . ^{[3] [4]} Su formulación fue motivada por el comportamiento de los sistemas de osciladores químicos y biológicos , y ha encontrado aplicaciones generalizadas en áreas como la neurociencia ^{[5] [6] [7] [8]} y la dinámica de llamas oscilantes. ^{[9] [10]} Kuramoto se sorprendió bastante cuando el comportamiento de algunos sistemas físicos, a saber, matrices acopladas de uniones Josephson , siguió su modelo. ^[11]

El modelo hace varias suposiciones, incluyendo que hay un acoplamiento débil, que los osciladores son idénticos o casi idénticos y que las interacciones dependen sinusoidalmente de la diferencia de fase entre cada par de objetos.

Definición

Bloqueo de fase en el modelo Kuramoto

En la versión más popular del modelo de Kuramoto, se considera que cada uno de los osciladores tiene su propia frecuencia natural intrínseca y cada uno está acoplado por igual a todos los demás osciladores. Sorprendentemente, este modelo completamente no lineal se puede resolver exactamente en el límite de osciladores infinitos, N → ∞; ^[5] alternativamente, utilizando argumentos de autoconsistencia se pueden obtener soluciones de estado estable del parámetro de orden. ^[3] La forma más popular del modelo tiene las siguientes ecuaciones rectoras: ${\displaystyle \omega _{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}K_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

donde el sistema está compuesto por N osciladores de ciclo límite, con fases y constante de acoplamiento K . ${\displaystyle \theta _{i}}$

Se puede añadir ruido al sistema. En ese caso, se modifica la ecuación original para

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$,

donde es la fluctuación y una función del tiempo. Si se considera que el ruido es ruido blanco, entonces ${\displaystyle \zeta _{i}}$

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$,

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

con denotación de la fuerza del ruido. ${\displaystyle D}$

Transformación

La transformación que permite resolver este modelo con exactitud (al menos en el límite N → ∞) es la siguiente:

Defina los parámetros de "orden" r y ψ como

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$.

Aquí r representa la coherencia de fase de la población de osciladores y ψ indica la fase media. Sustituyendo en la ecuación se obtiene

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$.

Por lo tanto, las ecuaciones de los osciladores ya no están acopladas explícitamente; en cambio, los parámetros de orden gobiernan el comportamiento. Se suele realizar una transformación adicional, a un marco rotatorio en el que el promedio estadístico de las fases de todos los osciladores es cero (es decir, ). Finalmente, la ecuación gobernante se convierte en ${\displaystyle \psi =0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$.

Grandenortelímite

Consideremos ahora el caso en el que N tiende a infinito. Tome la distribución de frecuencias naturales intrínsecas como g ( ω ) (supuestamente normalizada ). Luego suponga que la densidad de osciladores en una fase dada θ , con una frecuencia natural dada ω , en el tiempo t es . La normalización requiere que ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}$

La ecuación de continuidad para la densidad del oscilador será

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}$

donde v es la velocidad de deriva de los osciladores dada al tomar el límite infinito -N en la ecuación gobernante transformada, de modo que

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Finalmente, la definición de los parámetros de orden debe reescribirse para el límite continuo (infinito N ). debe reemplazarse por su promedio de conjunto (sobre todo ) y la suma debe reemplazarse por una integral, para dar ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}$

Soluciones para las grandesnortelímite

El estado incoherente con todos los osciladores desplazándose aleatoriamente corresponde a la solución . En ese caso , y no hay coherencia entre los osciladores. Están distribuidos uniformemente en todas las fases posibles, y la población está en un estado estacionario estadístico (aunque los osciladores individuales continúan cambiando de fase de acuerdo con su ω intrínseco ). ${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$

Cuando el acoplamiento K es suficientemente fuerte, es posible una solución totalmente sincronizada. En el estado totalmente sincronizado, todos los osciladores comparten una frecuencia común, aunque sus fases pueden ser diferentes.

Una solución para el caso de sincronización parcial produce un estado en el que sólo algunos osciladores (aquellos cercanos a la frecuencia natural media del conjunto) se sincronizan; otros osciladores se desvían de manera incoherente. Matemáticamente, el estado tiene

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

para osciladores bloqueados, y

${\displaystyle \rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}$

Para osciladores a la deriva. El corte se produce cuando . ${\displaystyle |\omega |<Kr}$

Cuando es unimodal y simétrico, entonces una solución de estado estable para el sistema es A medida que aumenta el acoplamiento, hay un valor crítico tal que cuando , el promedio de largo plazo de , pero cuando , donde es pequeño, entonces . ^{[12] [3]} ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle r=rK\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta g(Kr\sin \theta )d\theta }$$ ${\displaystyle K_{c}=2/\pi g(0)}$ ${\displaystyle K<K_{c}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle K=K_{c}(1+\mu )}$ ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle r\approx {\sqrt {\frac {16}{\pi K_{\mathrm {c} }^{3}}}}{\sqrt {\frac {\mu }{-g^{\prime \prime }(0)}}}}$

Pequeñonortecasos

Cuando N es pequeño, las soluciones dadas anteriormente no funcionan, ya que no se puede utilizar la aproximación continua.

El caso N=2 es trivial. En el marco rotatorio , y por lo tanto el sistema se describe exactamente por el ángulo entre los dos osciladores: . Cuando , el ángulo gira alrededor del círculo (es decir, el oscilador rápido sigue dando vueltas alrededor del oscilador lento). Cuando , el ángulo cae en un atractor estable (es decir, los dos osciladores se bloquean en fase). De manera similar, el espacio de estados del caso N=3 es un toro bidimensional, y por lo tanto el sistema evoluciona como un flujo en el 2-toro, que no puede ser caótico. ${\displaystyle \omega _{1}=-\omega _{2}}$ ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}}$ ${\displaystyle K<K_{c}=2|\omega _{1}|}$ ${\displaystyle K>K_{c}}$

El caos se produce por primera vez cuando N = 4. Para algunas configuraciones de , el sistema tiene un atractor extraño . ^[13] ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},K}$

Conexión a sistemas hamiltonianos

El modelo disipativo de Kuramoto está contenido ^[14] en ciertos sistemas hamiltonianos conservativos con hamiltoniano de la forma

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{1},\ldots ,q_{N},p_{1},\ldots ,p_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\omega _{i}}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}$

Después de una transformación canónica a variables de acción-ángulo con acciones y ángulos (fases) , surge la dinámica exacta de Kuramoto en variedades invariantes de constante . Con el hamiltoniano transformado ${\displaystyle I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)/2}$ ${\displaystyle \phi _{i}=\mathrm {arctan} \left(q_{i}/p_{i}\right)}$ ${\displaystyle I_{i}\equiv I}$

${\displaystyle {\mathcal {H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi _{1}\ldots ,\phi _{N})=\sum _{i=1}^{N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi _{j}-\phi _{i}),}$

La ecuación de movimiento de Hamilton se convierte en

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial \phi _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi _{k}-\phi _{i})}$

y

${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi _{k}-\phi _{i})\right].}$

Por lo tanto, la variedad con es invariante porque y la dinámica de fase se convierte en la dinámica del modelo de Kuramoto (con las mismas constantes de acoplamiento para ). La clase de sistemas hamiltonianos caracteriza ciertos sistemas clásicos cuánticos, incluidos los condensados ​​de Bose-Einstein . ${\displaystyle I_{j}=I}$ ${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$ ${\displaystyle {\frac {d\phi _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle I=1/2}$

Variaciones de los modelos

Distintos patrones de sincronización en una matriz bidimensional de osciladores tipo Kuramoto con diferentes funciones de interacción de fase y topologías de acoplamiento espacial. (A) Molinetes. (B) Ondas. (C) Quimeras. (D) Quimeras y ondas combinadas. La escala de colores indica la fase del oscilador.

Existen varios tipos de variaciones que se pueden aplicar al modelo original presentado anteriormente. Algunos modelos cambian la estructura topológica, otros permiten pesos heterogéneos y otros cambios están más relacionados con modelos que se inspiran en el modelo de Kuramoto pero que no tienen la misma forma funcional.

Variaciones de la topología de red

Además del modelo original, que tiene una topología de todos a todos, una topología de red compleja suficientemente densa es susceptible al tratamiento de campo medio utilizado en la solución del modelo original ^[15] (ver Transformación y Límite N grande arriba para más información). Las topologías de red como anillos y poblaciones acopladas admiten estados quiméricos. ^[16] También se puede preguntar por el comportamiento de los modelos en los que hay intrínsecamente locales, como topologías unidimensionales en las que la cadena y el anillo son ejemplos prototípicos. En tales topologías, en las que el acoplamiento no es escalable según 1/ N , no es posible aplicar el enfoque canónico de campo medio, por lo que uno debe confiar en el análisis caso por caso, haciendo uso de simetrías siempre que sea posible, lo que puede dar base para la abstracción de principios generales de soluciones.

La sincronía uniforme, las ondas y las espirales se pueden observar fácilmente en redes Kuramoto bidimensionales con acoplamiento local difusivo. La estabilidad de las ondas en estos modelos se puede determinar analíticamente utilizando los métodos del análisis de estabilidad de Turing. ^[17] La ​​sincronía uniforme tiende a ser estable cuando el acoplamiento local es positivo en todas partes, mientras que las ondas surgen cuando las conexiones de largo alcance son negativas (acoplamiento envolvente inhibitorio). Las ondas y la sincronía están conectadas por una rama topológicamente distinta de soluciones conocida como ondulación. ^[18] Estas son desviaciones periódicas espaciales de baja amplitud que emergen del estado uniforme (o el estado de onda) a través de una bifurcación de Hopf . ^[19] La existencia de soluciones de ondulación fue predicha (pero no observada) por Wiley, Strogatz y Girvan , ^[20] quienes las llamaron estados q multitorcidos.

La topología en la que se estudia el modelo de Kuramoto se puede hacer adaptativa ^[21] mediante el uso de un modelo de aptitud que muestre una mejora de la sincronización y la percolación de una manera autoorganizada.

Un gráfico con el grado mínimo al menos estará conectado, sin embargo, para que un gráfico se sincronice un poco más, se requiere que en tal caso se sepa que existe un umbral crítico de conectividad tal que cualquier gráfico en nodos con el grado mínimo debe sincronizarse globalmente . para que sea lo suficientemente grande. Se sabe que el mínimo ^{[20] [22] y} el máximo ^[23] se encuentran entre . ${\displaystyle d_{min}\geq 0.5\ n}$ ${\displaystyle \mu _{c}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{min}\geq \mu _{c}(n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0.6875\leq \mu _{c}\leq 0.75}$

De manera similar, se sabe que los gráficos de Erdős-Rényi con probabilidad de borde que tiende precisamente al infinito estarán conectados y se ha conjeturado ^[24] que este valor es también el número en el que estos gráficos aleatorios experimentan sincronización, lo que una preimpresión de 2022 afirma haber demostrado. ^{[25] [26]} ${\displaystyle p=(1+\epsilon )\ln(n)/n}$ ${\displaystyle n}$

Variaciones de la topología de red y pesos de red: desde la coordinación de vehículos hasta la sincronización cerebral

Los metrónomos , inicialmente desfasados, se sincronizan mediante pequeños movimientos de la base sobre la que están colocados. Se ha demostrado que este sistema es equivalente al modelo de Kuramoto. ^[27]

Algunos trabajos en la comunidad de control se han centrado en el modelo de Kuramoto en redes y con pesos heterogéneos (es decir, la fuerza de interconexión entre dos osciladores cualesquiera puede ser arbitraria). La dinámica de este modelo es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\sum _{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$

donde es un número real positivo distinto de cero si el oscilador está conectado al oscilador . Dicho modelo permite un estudio más realista de, por ejemplo, la agrupación, la formación de bancos y la coordinación de vehículos. ^[28] En el trabajo de Dörfler y colegas, varios teoremas proporcionan condiciones rigurosas para la sincronización de fase y frecuencia de este modelo. Estudios posteriores, motivados por observaciones experimentales en neurociencia, se centran en derivar condiciones analíticas para la sincronización de grupos de osciladores Kuramoto heterogéneos en topologías de red arbitrarias. ^[29] Dado que el modelo Kuramoto parece desempeñar un papel clave en la evaluación de los fenómenos de sincronización en el cerebro, ^[30] las condiciones teóricas que respaldan los hallazgos empíricos pueden allanar el camino para una comprensión más profunda de los fenómenos de sincronización neuronal. ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

Variaciones de la función de interacción de fases

Kuramoto aproximó la interacción de fase entre dos osciladores cualesquiera mediante su primer componente de Fourier, es decir , donde . Se pueden obtener mejores aproximaciones al incluir componentes de Fourier de orden superior, ${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )}$ ${\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin(\phi )+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+...+a_{n}\sin(2n\phi +b_{n})}$,

donde los parámetros y deben ser estimados. Por ejemplo, la sincronización entre una red de neuronas Hodgkin-Huxley débilmente acopladas puede ser replicada utilizando osciladores acoplados que retienen los primeros cuatro componentes de Fourier de la función de interacción. ^[31] La introducción de términos de interacción de fase de orden superior también puede inducir fenómenos dinámicos interesantes como estados parcialmente sincronizados, ^[32] ciclos heteroclínicos , ^[33] y dinámica caótica . ^[34] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Disponibilidad

• La biblioteca pyclustering incluye una implementación en Python y C++ del modelo Kuramoto y sus modificaciones. Además, la biblioteca consta de redes oscilatorias (para análisis de clústeres, reconocimiento de patrones, coloración de gráficos, segmentación de imágenes) que se basan en el modelo Kuramoto y el oscilador de fase.

Véase también

• Función de estabilidad maestra
• Red neuronal oscilatoria
• Bucle de enganche de fase
• Enjambres de enjambres

Referencias

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