Enjambres de enjambres

Modelo matemático de enjambres

Los enjambres ^[1] son ​​generalizaciones de los osciladores de fase ^[2] que se mueven en el espacio mientras se sincronizan en el tiempo. Se introdujeron para modelar los diversos sistemas del mundo real que se sincronizan y se mueven en enjambre, como las anguilas de vinagre ^[3] , las paredes de dominio magnético ^[4] y las ranas arbóreas japonesas ^[5] . Más formalmente, son unidades dinámicas con grados de libertad espaciales y grados de libertad internos cuya dinámica está acoplada.

Ejemplos del mundo real

La enjambre ^[6] se produce en diversas partes de la naturaleza y la tecnología, algunas de las cuales se analizan a continuación. La figura de la derecha muestra algunos ejemplos en un gráfico (disciplina, número de partículas).

Ejemplos de enjambres del mundo real representados en un plano (disciplina, número de partículas)

Micronadadores biológicos . Los espermatozoides , las anguilas de vinagre y, potencialmente, otros nadadores como C elegans se desplazan por el espacio mediante el batir rítmico de sus colas. Este batir puede sincronizarse con el de un nadador vecino mediante un acoplamiento hidrodinámico, que a su vez provoca una atracción espacial; la sincronización se vincula con el autoensamblaje. Esto puede dar lugar a formaciones de vórtices, ^[7] trenes ^[8] ondas metacrónicas ^[9] y otros efectos colectivos.

Las paredes de dominio magnético ^[10] son ​​características clave en el campo del magnetismo y la ciencia de los materiales, definidas por el límite entre diferentes dominios magnéticos en materiales ferromagnéticos . Estos dominios son regiones dentro de un material donde los momentos magnéticos de los átomos están alineados en la misma dirección, creando un campo magnético uniforme. Son muy prometedores como dispositivos de memoria en la espintrónica de próxima generación . En un modelo simplificado, ^[11] una pared de dominio puede describirse por su centro de masa y el ángulo en el plano de su vector dipolar magnético, clasificándolos así como enjambres. Los experimentos revelan que la interacción entre dos de estas paredes de dominio conduce a ricos comportamientos espaciotemporales, algunos de los cuales son capturados por el modelo de enjambre unidimensional mencionado anteriormente. ^[12] ${\displaystyle q,\phi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$

Ranas arbóreas japonesas . Durante los rituales de cortejo, las ranas arbóreas japonesas macho atraen la atención de las hembras croando rítmicamente. Los machos vecinos tienden a alternar el croar ( con un grado de croar desfasado) para evitar "hablar uno encima del otro". La evidencia ^[13] sugiere que esta (anti)sincronización influye en la dinámica espacial entre ranas, lo que las convierte en enjambres. ${\displaystyle \pi }$

Las partículas de Janus ^[14] son ​​partículas esféricas con un hemisferio recubierto de una sustancia magnética, mientras que el otro permanece no magnético. Su nombre se debe al dios romano Janus , que tiene dos caras. Esta anisotropía confiere a las partículas propiedades magnéticas inusuales. Cuando se las somete a campos magnéticos externos, sus vectores dipolares magnéticos comienzan a oscilar, lo que induce y acopla movimientos (lo que las califica como enjambres). El "autoensamblaje seleccionado por sincronización" resultante ^[15] da lugar a una nueva superestructura con un uso potencial en contextos de biomedicina, como la administración dirigida de fármacos, la bioimagen y la biodetección. ^[16]

Los rodillos de Quincke ^{[ cita requerida ]} son ​​una clase de partículas activas que exhiben un movimiento autopropulsado en un fluido debido a un fenómeno electrohidrodinámico conocido como el efecto Quincke. ^[17] Este efecto ocurre cuando una partícula dieléctrica (no conductora) está sujeta a un campo eléctrico. La rotación de la partícula, combinada con interacciones de fricción con el fluido y la superficie circundantes, conduce a un movimiento de rodadura. Por lo tanto, la partícula tiene una fase y una posición que se acoplan, como lo requiere el enjambre. Las colecciones de rodillos de Quincke producen un rico comportamiento emergente como ondas de actividad ^[18] y ondas de choque. ^[19] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$

Las células embrionarias son los componentes básicos de un embrión, que se dividen y diferencian para formar las estructuras complejas de un organismo. Estas células muestran una notable plasticidad, lo que les permite transformarse en una amplia gama de tipos de células especializadas. En el contexto de los enjambres, las células embrionarias muestran una combinación única de comportamientos de sincronización y enjambre. ^[20] Coordinan sus movimientos y patrones de expresión genética en respuesta a diversas señales, un proceso esencial para la formación adecuada de tejidos y el desarrollo de órganos. Esta vinculación de sincronización y autoensamblaje convierte a las células embrionarias en un ejemplo convincente de enjambres del mundo real.

Enjambres de robots . Se han creado vehículos terrestres y drones aéreos programados con modelos de enjambres ^[21] y se han recreado los cinco estados colectivos del modelo de enjambres (consulte la sección Modelos matemáticos para ver el gráfico de estos estados). La vinculación de la sincronización y el enjambre define un nuevo tipo de algoritmo de inspiración biológica que tiene varias aplicaciones potenciales. ^[22]

Modelo de enjambre 2D

Se ha propuesto un modelo matemático para enjambres que se mueven en 2D. Este modelo de enjambre en 2D en forma genérica es

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}I_{att}(x_{j}-x_{i})F(\theta _{j}-\theta _{i})-I_{rep}(x_{j}-x_{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}G_{sync}(\theta _{j}-\theta _{i})H(x_{j}-x_{i})\end{array}}}$

La dinámica espacial combina la interacción por pares con la interacción por pares , lo que produce enjambre/agregación. La novedad es que la atracción se modifica mediante un término de fase ; por lo tanto, la agregación se vuelve dependiente de la fase. Asimismo, la dinámica de fase contiene un término de sincronismo modificado por un término espacial, por lo que la sincronización se vuelve dependiente de la posición. En resumen, los enjambres modelan la interacción entre la autosincronización y el autoensamblaje en el espacio. ${\displaystyle I_{att}}$ ${\displaystyle I_{rep}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G_{sync}}$

Si bien en general la posición podría ser en 2D o 3D, la instancia del modelo swarmalator introducido originalmente es un modelo 2D y las opciones para etc. fueron ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle I_{att}(x),I_{rep}(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}{\frac {(x_{j}-x_{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\left(1+J\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\right)-{\frac {x_{j}-x_{i}}{|x_{j}-x_{i}|^{2}}}\\{\dot {\theta }}_{i}&=&{\frac {K}{N}}\sum _{j}{\frac {\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}{|x_{j}-x_{i}|}}\end{array}}}$

Hay dos parámetros y son parámetros: controla la fuerza de atracción/repulsión del espacio de fases, mientras que describe la fuerza de acoplamiento de fases. Lo anterior puede considerarse una combinación del modelo de agregación introducido a partir del enjambre biológico ^[23] (la parte espacial) y el modelo de Kuramoto de osciladores de fase (la parte de fase). ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K}$

Fenómenos

Figura 1: Una representación de los cinco estados colectivos del modelo swarmalator.

El modelo anterior produce cinco estados colectivos ^[24] representados en la Figura 1:

• Sincronización estática: los enjambres forman un disco en el espacio y están completamente sincronizados en fase.
• Asíncrono estático: los enjambres forman un disco en el espacio y son completamente asincrónicos en fase.
• Onda de fase estática: Los enjambres forman un anillo en el espacio con una onda de fase (por ejemplo, una rueda de color completa o un arco iris).
• Onda de fase fragmentada: la onda de fase se fragmenta en grupos de enjambres sincrónicos. Dentro de cada grupo, los enjambres ejecutan un movimiento periódico en el espacio y en la fase.
• Onda de fase activa: los enjambres de enjambres se mueven en un vórtice de fase espacial, con la mitad funcionando en el sentido de las agujas del reloj y la otra mitad en el sentido contrario.

Para delimitar dónde surge y desaparece cada estado a medida que se cambian los parámetros, los parámetros del orden del arco iris,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{\pm }&=&S_{\pm }e^{i\phi _{\pm }}=&{\frac {1}{N}}\sum _{j}e^{i(\phi _{j}-\theta _{i})}\end{array}}}$

Figura 2: Los parámetros del orden del arco iris permiten discernir los distintos estados colectivos. Véase el texto principal para las definiciones de estas cantidades. ${\displaystyle \gamma }$

donde se utilizan. La figura 2 representa gráficamente versus para fijo . Como se puede ver, en el estado de onda en fase estática similar al arco iris (en = 0), y luego disminuye a medida que disminuye. También se representa gráficamente un parámetro de segundo orden , definido como la fracción de enjambres que han completado al menos un ciclo en el espacio y la fase después de los transitorios, que puede distinguir entre los estados de onda de fase activa y onda de fase fragmentada. ${\displaystyle \phi _{i}:=\arctan(y_{i}/x_{i})}$ ${\displaystyle S_{\pm }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle S_{+}=1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \gamma }$

Rompecabezas

Hay varios acertijos sin resolver y preguntas abiertas relacionadas con los swarmalators:

• Punto de fusión : ¿Cuál es el valor en el que el estado asincrónico estático se funde en el estado de onda de fase activa? ${\displaystyle K_{m}(J)}$ ${\displaystyle K_{m}(J)}$
• Punto de división : ¿Cuál es el punto de división en el que la onda de fase activa se divide en la onda de fase fragmentada? ${\displaystyle K_{s}(J)}$ ${\displaystyle K_{s}}$
• Parámetros de orden del arco iris: ¿Puede derivar una expresión para la rama supercrítica de la onda fija en los estados de onda de fase activa y de onda de fase fragmentada? ${\displaystyle S_{\pm }(K)}$ ${\displaystyle J}$
• ${\displaystyle N_{c}}$¿Qué determina el número de grupos formados en la onda de fase fragmentada?

Modelo de enjambre 1D

También se ha propuesto un modelo de enjambre más simple donde el movimiento espacial está confinado a un anillo 1D ^{[25] [26]} ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {S} ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}_{i}&=\nu _{i}+{\frac {J}{N}}\sum _{j}\sin(x_{j}-x_{i})\cos(\theta _{j}-\theta _{i})\\{\dot {\theta }}_{i}&=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})\cos(x_{j}-x_{i})\end{array}}}$

donde son las frecuencias naturales (aleatorias) del i-ésimo enjambre y se extraen de ciertas distribuciones . Este modelo 1D corresponde al componente angular del modelo 2D del enjambre. La restricción a esta topología más simple permite un mayor análisis. Por ejemplo, el modelo con frecuencias naturales se puede resolver definiendo las coordenadas de suma/diferencia; el modelo simplifica en un par de modelos Kuramoto acoplados linealmente. ${\displaystyle \nu _{i},\omega _{i}}$ ${\displaystyle g(.)}$ ${\displaystyle \xi ,\eta =x_{i}\pm \theta _{i}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {\xi }}_{i}&=\omega _{+,i}+J_{+}S_{+}\sin(\phi _{+}-\xi )+J_{-}S_{-}\sin(\phi _{-}-\eta )\\{\dot {\eta }}_{i}&=\omega _{-,i}+J_{-}S_{+}\sin(\phi _{+}-\xi )+J_{+}S_{-}\sin(\phi _{-}-\eta )\end{array}}}$

donde , y los parámetros de orden del arco iris son el equivalente del modelo 2D ${\displaystyle J_{\pm }=(J\pm K)/2}$ ${\displaystyle \omega _{\pm }=\nu \pm \omega }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{\pm }=S_{\pm }e^{i\phi _{\pm }}:=N^{-1}\sum _{j}e^{i(x_{j}\pm \theta _{j})}\\\end{array}}}$

Estados colectivos del modelo swarmalator 1D, donde los swarmalators se representan como puntos en el plano. ${\displaystyle (x,\theta )}$

Fila superior, parámetro de orden de sincronización versus fuerza de acoplamiento de fase para el modelo Kuramoto con frecuencias naturales de Cauchy con centro cero y ancho unitario. Fila inferior, parámetros de orden de arco iris para el modelo swarmalator 1D también con frecuencias naturales de Cauchy unitarias y . Las líneas punteadas negras marcan las transiciones entre el estado asincrónico, la onda de fase y el estado mixto en ese orden. Los datos se recopilaron utilizando un solucionador RK4 con paso de tiempo para unidades de tiempo con swarmalators. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{\pm }}$ ${\displaystyle J=9}$ ${\displaystyle dt=0.1}$ ${\displaystyle T=200}$ ${\displaystyle N=10^{6}}$

Para una distribución unimodal como la distribución de Cauchy, el modelo exhibe cuatro estados colectivos representados en la figura de la derecha. ${\displaystyle \omega ,\nu }$

• Async o state. Los enjambres no presentan coherencia ni en el espacio ni en la fase, distribuyéndose uniformemente en posición y fase. Este estado se caracteriza por la ausencia de sincronización o agrupamiento espacial entre los enjambres, como lo reflejan los valores cero de ambos parámetros de orden . ${\displaystyle (S_{+},S_{-})=(0,0)}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{-}=0}$
• Onda o estado de fase. En el estado de onda de fase, los enjambres forman una banda o patrón de onda en el que la posición y la fase están correlacionadas. La onda puede correr en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. ${\displaystyle (S_{+},S_{-})=(S,0)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$
• Mixto o estado. Los Swaramlators vuelven a formar una onda de fase, pero ahora la onda está distorsionada, formando dos grupos irregulares; por lo tanto, es una mezcla de la onda de fase y el estado de sincronización (descrito a continuación). ${\displaystyle (S_{+},S_{-})=(S_{1},S_{2})}$
• Sincronización o estado. Los enjambres forman dos grupos sincrónicos tanto en el espacio como en la fase. Se forman estados de grupo único para algunas condiciones iniciales. ${\displaystyle (S_{+},S_{-})=(S,S)}$

Nótese que en cada estado, los enjambres se dividen en subpoblaciones bloqueadas/desplazadas, al igual que en el modelo de Kuramoto. La población bloqueada son las regiones más densas en la figura, mientras que las desplazadas son las regiones de color gris claro.

La figura de la derecha compara las bifurcaciones del modelo Kuramoto con las del modelo swarmalator 1D. Para el modelo Kuramoto (fila superior), el parámetro de orden de sincronización se bifurca desde el estado asíncrono ( ) y luego aumenta monótonamente en el estado sincrónico ( ). Para el modelo swarmalator 1D, las bifurcaciones son más ricas. Comenzando con el acoplamiento de fase y aumentando, se bifurca desde el estado asíncrono ( ) a la onda de fase ( ) luego al estado mixto ( ) antes de terminar finalmente en el estado sincrónico ( ). Nótese que hemos tomado sin pérdida de generalidad y son constantes que dependen de . Se han elaborado expresiones para , las de en el estado mixto son desconocidas (ver ref [25]). ${\displaystyle R:=|\langle e^{i\theta }\rangle |}$ ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle K<K_{c}}$ ${\displaystyle S_{+},S_{-}}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{-}=0}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{pw},S_{-}=0}$ ${\displaystyle S_{+},S_{-}=S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle S_{+}=S_{-}=S_{sync}}$ ${\displaystyle S_{+}>S_{-}}$ ${\displaystyle S,S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle J,K\Delta }$ ${\displaystyle S_{pw},S_{sync}}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

Referencias

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