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Ivar Ekeland

Ivar Ekeland ha escrito libros populares sobre la teoría del caos y sobre fractales , [1] [2] como el conjunto de Julia (animado) . La exposición de Ekeland proporcionó inspiración matemática al análisis de Michael Crichton sobre el caos en Jurassic Park . [3]

Ivar I. Ekeland (nacido el 2 de julio de 1944 en París) es un matemático francés de ascendencia noruega. Ekeland ha escrito influyentes monografías y libros de texto sobre análisis funcional no lineal , cálculo de variaciones y economía matemática , así como libros populares sobre matemáticas, que se han publicado en francés, inglés y otros idiomas. Ekeland es conocido como el autor del principio variacional de Ekeland y por su uso del lema de Shapley-Folkman en la teoría de la optimización . Ha contribuido a las soluciones periódicas de los sistemas hamiltonianos y particularmente a la teoría de los índices de Kreĭn para sistemas lineales ( teoría de Floquet ). [4] Ekeland es citado en los créditos de la película Jurassic Park de Steven Spielberg de 1993 como inspiración del especialista ficticio en teoría del caos Ian Malcom que aparece en la novela Jurassic Park de Michael Crichton de 1990 . [3]

Biografía

Ekeland estudió en la École Normale Supérieure (1963-1967). Es investigador senior en el Centro Nacional Francés de Investigaciones Científicas (CNRS). Obtuvo su doctorado en 1970. Enseña matemáticas y economía en la Universidad Paris Dauphine , la École Polytechnique , la École Spéciale Militaire de Saint-Cyr y la Universidad de Columbia Británica en Vancouver . Fue presidente de la Universidad Paris-Dauphine de 1989 a 1994.

Ekeland ha recibido el premio D'Alembert y el premio Jean Rostand. También es miembro de la Academia Noruega de Ciencias y Letras . [5]

Divulgación científica: Parque Jurásico de Crichton y Spielberg

Foto de Jeff Goldblum
El actor Jeff Goldblum consultó a Ekeland mientras se preparaba para interpretar a un matemático especializado en la teoría del caos en Jurassic Park de Spielberg . [6]

Ekeland ha escrito varios libros de divulgación científica , en los que ha explicado partes de los sistemas dinámicos , la teoría del caos y la teoría de la probabilidad . [1] [7] [8] Estos libros se escribieron primero en francés y luego se tradujeron al inglés y a otros idiomas, donde recibieron elogios por su precisión matemática, así como por su valor como literatura y entretenimiento. [1]

A través de estos escritos, Ekeland tuvo influencia en Jurassic Park , tanto en la novela como en la película. Matemáticas y lo inesperado de Ekeland y Caos de James Gleick inspiraron las discusiones sobre la teoría del caos en la novela Parque Jurásico de Michael Crichton . [3] Cuando la novela fue adaptada para la película Jurassic Park por Steven Spielberg , el actor Jeff Goldblum consultó a Ekeland y Gleick mientras se preparaba para interpretar al matemático especializado en la teoría del caos . [6]

Investigación

Ekeland ha contribuido al análisis matemático , particularmente al cálculo variacional y la optimización matemática .

Principio variacional

En análisis matemático , el principio variacional de Ekeland , descubierto por Ivar Ekeland, [9] [10] [11] es un teorema que afirma que existe una solución casi óptima para una clase de problemas de optimización . [12]

El principio variacional de Ekeland se puede utilizar cuando el conjunto de nivel inferior de un problema de minimización no es compacto , de modo que no se puede aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass . El principio de Ekeland se basa en la completitud del espacio métrico . [13]

El principio de Ekeland conduce a una rápida demostración del teorema del punto fijo de Caristi . [13] [14]

Ekeland estaba asociado con la Universidad de París cuando propuso este teorema. [9]

Teoría variacional de los sistemas hamiltonianos.

Ivar Ekeland es un experto en análisis variacional , que estudia la optimización matemática de espacios de funciones . En su monografía se describió su investigación sobre soluciones periódicas de sistemas hamiltonianos y, en particular, sobre la teoría de los índices de Kreĭn para sistemas lineales ( teoría de Floquet ). [4]

Problemas de optimización aditiva

El lema de Shapley-Folkman representado por un diagrama con dos paneles, uno a la izquierda y el otro a la derecha. El panel de la izquierda muestra cuatro conjuntos, que se muestran en una matriz de dos por dos. Cada uno de los conjuntos contiene exactamente dos puntos, que se muestran en rojo. En cada conjunto, los dos puntos están unidos por un segmento de línea rosa, que es el casco convexo del conjunto original. Cada conjunto tiene exactamente un punto que se indica con un símbolo más. En la fila superior de la matriz de dos por dos, el símbolo más se encuentra en el interior del segmento de línea; en la fila inferior, el símbolo más coincide con uno de los puntos rojos. Esto completa la descripción del panel izquierdo del diagrama. El panel de la derecha muestra la suma de Minkowski de los conjuntos, que es la unión de las sumas que tienen exactamente un punto de cada conjunto de sumandos; para los conjuntos mostrados, las dieciséis sumas son puntos distintos, que se muestran en rojo: Los puntos de suma rojos de la derecha son las sumas de los puntos de suma rojos de la izquierda. El casco convexo de los dieciséis puntos rojos está sombreado en rosa. En el interior rosa del conjunto de la derecha se encuentra exactamente un símbolo más, que es la suma (única) de los símbolos más del lado derecho. Comparando la matriz izquierda y el panel derecho, se confirma que el símbolo más de la derecha es de hecho la suma de los cuatro símbolos más de los conjuntos de la izquierda, precisamente dos puntos de los conjuntos de sumandos no convexos originales y dos puntos de los cascos convexos de los restantes conjuntos de sumandos.
Ivar Ekeland aplicó el lema de Shapley-Folkman para explicar el éxito de Claude Lemarechal con la relajación lagrangiana en problemas de minimización no convexos. Este lema se refiere a la suma de cuatro conjuntos de Minkowski. El punto (+) en el casco convexo de la suma de Minkowski de los cuatro conjuntos no convexos ( derecha ) es la suma de cuatro puntos (+) de los conjuntos (de la izquierda): dos puntos en dos conjuntos no convexos más dos puntos en los cascos convexos de dos conjuntos. Los cascos convexos están sombreados en rosa. Cada uno de los conjuntos originales tiene exactamente dos puntos (que se muestran en rojo).

Ekeland explicó el éxito de los métodos de minimización convexa en grandes problemas que parecían no convexos. En muchos problemas de optimización, la función objetivo  f es separable , es decir, la suma de muchas funciones sumando, cada una con su propio argumento:

Por ejemplo, los problemas de optimización lineal son separables. Para un problema separable, consideramos una solución óptima.

con el valor mínimo  f ( x min ). Para un problema separable, consideramos una solución óptima ( x min ,  f ( x min ) ) al " problema convexificado ", donde se toman cascos convexos de las gráficas de las funciones sumando. Una solución tan óptima es el límite de una secuencia de puntos en el problema convexificado.

[15] [16] Una aplicación del lema de Shapley-Folkman representa el punto óptimo dado como una suma de puntos en las gráficas de los sumandos originales y de un pequeño número de sumandos convexificados.

Este análisis fue publicado por Ivar Ekeland en 1974 para explicar la aparente convexidad de problemas separables con muchos sumandos, a pesar de la no convexidad de los problemas de sumandos. En 1973, el joven matemático Claude Lemaréchal quedó sorprendido por su éxito con métodos de minimización convexos en problemas que se sabía que no eran convexos. [17] [15] [18] El análisis de Ekeland explicó el éxito de los métodos de minimización convexa en problemas grandes y separables , a pesar de las no convexidades de las funciones sumando. [15] [18] [19] El lema de Shapley-Folkman ha fomentado el uso de métodos de minimización convexa en otras aplicaciones con sumas de muchas funciones. [15] [20] [21] [22]

Bibliografía

Investigación

El libro se cita más de 500 veces en MathSciNet .

Exposición para una audiencia popular.

Imagen de la bifurcación de Feigenbaum de la función logística iterada
La bifurcación de Feigenbaum del sistema de funciones logísticas iteradas se describió como un ejemplo de teoría del caos en Las matemáticas y lo inesperado de Ekeland . [1]

Ver también

Notas

  1. ^ abcd Ekeland (1988, Apéndice 2 La bifurcación de Feigenbaum, págs. 132-138) describe el comportamiento caótico de la función logística iterada , que exhibe la bifurcación de Feigenbaum . Se publicó una edición de bolsillo: Ekeland, Ivar (1990). Las matemáticas y lo inesperado (edición de bolsillo). Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-19990-0.
  2. ^ Según Jeremy Gray, escribiendo para Mathematical Reviews ( MR 945956)
  3. ↑ abc En su epílogo a Jurassic Park , Crichton (1997, págs. 400) reconoce los escritos de Ekeland (y Gleick ). Dentro de la novela, los fractales se analizan en dos páginas (Crichton 1997, págs. 170-171) y la teoría del caos en once páginas, incluidas las páginas 75, 158 y 245: Crichton, Michael (1997). Parque jurásico. Libros Ballantine. ISBN
     9780345418951. Consultado el 19 de abril de 2011 .
  4. ^ ab Según D. Pascali, escrito para Mathematical Reviews ( MR 1051888) Ekeland, Ivar (1990). Métodos de convexidad en mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]. vol. 19. Berlín: Springer-Verlag. págs.x+247. ISBN
     978-3-540-50613-3. SEÑOR  1051888.
  5. ^ "Grupo 1: Estudios matemáticos". Academia Noruega de Ciencias y Letras . Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011 . Consultado el 12 de abril de 2011 .
  6. ^ ab Jones (1993, p. 9): Jones, Alan (agosto de 1993). Clarke, Federico S. (ed.). "Parque Jurásico: dinosaurios gráficos por computadora". Cinefantástico . 24 (2). Federico S. Clarke: 8-15. ASIN  B002FZISIO . Consultado el 12 de abril de 2011 .
  7. ^ Según Mathematical Reviews ( MR 1243636) sobre Ekeland, Ivar (1993). Los dados rotos y otros cuentos matemáticos de azar (Traducido por Carol Volk de la edición francesa de 1991). Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago. págs.iv+183. ISBN 978-0-226-19991-7. SEÑOR  1243636.
  8. ^ Según Mathematical Reviews ( MR 2259005) sobre Ekeland, Ivar (2006). El mejor de todos los mundos posibles: Matemáticas y destino (Traducido de la edición francesa de 2000). Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago. págs. iv+207. ISBN 978-0-226-19994-8. SEÑOR  2259005.
  9. ^ ab Ekeland, Ivar (1974). "Sobre el principio variacional". J. Matemáticas. Anal. Aplica . 47 (2): 324–353. doi : 10.1016/0022-247X(74)90025-0 . ISSN  0022-247X.
  10. ^ Ekeland, Ivar (1979). "Problemas de minimización no convexos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 1 (3): 443–474. doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14595-6 . SEÑOR  0526967.
  11. ^ Ekeland y Temam 1999, págs. 357–373.
  12. ^ Aubin, Jean-Pierre; Ekeland, Ivar (2006). Análisis no lineal aplicado (reimpresión de la edición de Wiley de 1984). Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. págs. x+518. ISBN 978-0-486-45324-8. SEÑOR  2303896.
  13. ^ ab Kirk, William A.; Goebel, Kazimierz (1990). Temas de la teoría métrica del punto fijo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-38289-2.
  14. ↑ Vale, Efe (2007). «D: Continuidad I» (PDF) . Análisis Real con Aplicaciones Económicas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 664.ISBN​ 978-0-691-11768-3. Consultado el 31 de enero de 2009 .
  15. ^ abcd (Ekeland & Temam 1999, págs. 357–359): Publicado en la primera edición en inglés de 1976, el apéndice de Ekeland prueba el lema de Shapley-Folkman, reconociendo también los experimentos de Lemaréchal en la página 373.
  16. ^ El límite de una secuencia es miembro del cierre del conjunto original , que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene el conjunto original. La suma de Minkowski de dos conjuntos cerrados no necesita ser cerrada, por lo que la siguiente inclusión puede ser estricta
    Clos(P) + Clos(Q) ⊆ Clos( Clos(P) + Clos(Q) );
    la inclusión puede ser estricta incluso para dos conjuntos de sumandos cerrados convexos , según Rockafellar (1997, pp. 49 y 75). Garantizar que la suma de conjuntos de Minkowski sea cerrada requiere la operación de cierre, que agrega límites de secuencias convergentes. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Hitos de Princeton en matemáticas. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN
     0-691-01586-4. SEÑOR  1451876.
  17. ^ Lemaréchal (1973, p. 38): Lemaréchal, Claude (abril de 1973), Utilization de la dualité dans les problémes non convexes [Uso de la dualidad para problemas no convexos] (en francés), Domaine de Voluceau, Rocquencourt , 78150 Le Chesnay , Francia: IRIA (ahora INRIA) , Laboratoire de recherche en informatique et automatique, p. 41{{citation}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace ). Los experimentos de Lemaréchal se analizaron en publicaciones posteriores:
    Aardal (1995, págs. 2-3): Aardal, Karen (marzo de 1995). «Entrevista Optima a Claude Lemaréchal» (PDF) . Optima: Boletín de la Sociedad de Programación Matemática . 45 : 2–4 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .

    Hiriart-Urruty y Lemaréchal (1993, págs. 143-145, 151, 153 y 156): Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Dualidad abstracta para practicantes". Algoritmos de minimización y análisis convexo, Volumen  II : Teoría avanzada y métodos de paquetes . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 306. Berlín: Springer-Verlag. págs. 136-193 (y comentarios bibliográficos en las págs. 334-335). ISBN 978-3-540-56852-0. SEÑOR  1295240.
  18. ^ ab Ekeland, Ivar (1974). "Una estimación a priori en programación no convexa". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . Serie A y B (en francés). 279 : 149-151. ISSN  0151-0509. SEÑOR  0395844.
  19. ^ Aubin y Ekeland (1976, págs. 226, 233, 235, 238 y 241): Aubin, J. P.; Ekeland, I. (1976). "Estimaciones de la brecha de dualidad en optimización no convexa". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 1 (3): 225–245. doi :10.1287/moor.1.3.225. JSTOR  3689565. SEÑOR  0449695.
    Aubin y Ekeland (1976) y Ekeland y Temam (1999, págs. 362-364) también consideraron el cierre convexo  de un problema de minimización no convexa, es decir, el problema definido por la cáscara convexa cerrada del epígrafe del original. problema. Di Guglielmo amplió su estudio de las brechas de dualidad al cierre cuasiconvexo de un problema de minimización no convexo , es decir, el problema definido por el casco convexo cerrado de los conjuntos de niveles inferiores : Di Guglielmo (1977, págs. 287-288) : Di Guglielmo, F. (1977). "Dualidad no convexa en optimización multiobjetivo". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 2 (3): 285–291. doi :10.1287/moor.2.3.285. JSTOR  3689518. SEÑOR  0484418.   

  20. ^ Aubin (2007, págs. 458–476): Aubin, Jean-Pierre (2007). "14.2 Dualidad en el caso de restricciones y criterios integrales no convexos (especialmente 14.2.3 El teorema de Shapley-Folkman, páginas 463-465)". Métodos matemáticos de juegos y teoría económica (Reimpresión con nuevo prefacio de la edición inglesa revisada de Holanda Septentrional de 1982). Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. págs. xxxii+616. ISBN 978-0-486-46265-3. SEÑOR  2449499.
  21. ^ Bertsekas (1996, págs. 364–381) reconociendo a Ekeland & Temam (1999) en la página 374 y Aubin & Ekeland (1976) en la página 381: Bertsekas, Dimitri P. (1996). "5.6 Problemas de programación de enteros separables a gran escala y el método exponencial de los multiplicadores". Optimización restringida y métodos multiplicadores de Lagrange (Reimpresión de (1982) Academic Press ed.). Belmont, MA: Athena científica. págs. xiii+395. ISBN
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    Bertsekas (1996, págs. 364-381) describe una aplicación de métodos duales lagrangianos a la programación de centrales eléctricas (" problemas de compromiso unitario "), donde aparece la no convexidad debido a restricciones de números enteros : Bertsekas, Dimitri P .; Lauer, Gregorio S.; Sandell, Nils R. Jr.; Posbergh, Thomas A. (enero de 1983). "Programación óptima a corto plazo de sistemas eléctricos de gran escala" (PDF) . Transacciones IEEE sobre control automático . AC-28 (1): 1–11. CiteSeerX 10.1.1.158.1736 . doi :10.1109/tac.1983.1103136. S2CID  6329622 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .

     
  22. ^ Bertsekas (1999, p. 496): Bertsekas, Dimitri P. (1999). "5.1.6 Problemas separables y su geometría". Programación no lineal (Segunda ed.). Cambridge, MA.: Athena Scientific. págs. 494–498. ISBN 978-1-886529-00-7.

enlaces externos

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