Sincronización del caos

La sincronización del caos es un fenómeno que puede ocurrir cuando se acoplan dos o más sistemas caóticos disipativos.

Debido a la divergencia exponencial de las trayectorias cercanas de los sistemas caóticos, puede parecer sorprendente que dos sistemas caóticos evolucionen en sincronía. Sin embargo, la sincronización de osciladores caóticos acoplados o accionados es un fenómeno bien establecido experimentalmente y razonablemente bien comprendido teóricamente.

La estabilidad de la sincronización para sistemas acoplados se puede analizar utilizando la estabilidad maestra . La sincronización del caos es un fenómeno rico y un tema multidisciplinario con una amplia gama de aplicaciones. ^{[1] [2] [3]}

La sincronización puede presentar una variedad de formas dependiendo de la naturaleza de los sistemas que interactúan y del tipo de acoplamiento, y de la proximidad entre los sistemas.

Sincronización idéntica

Este tipo de sincronización también se conoce como sincronización completa. Esto se puede observar en sistemas caóticos idénticos. Se dice que los sistemas están completamente sincronizados cuando existe un conjunto de condiciones iniciales para que eventualmente los sistemas evolucionen de manera idéntica en el tiempo. En el caso más simple de dos dinámicas acopladas difusivamente se describe por

${\displaystyle x^{\prime }=F(x)+\alpha (y-x)}$

${\displaystyle y^{\prime }=F(y)+\alpha (x-y)}$

donde es el campo vectorial que modela la dinámica caótica aislada y es el parámetro de acoplamiento. El régimen define un subespacio invariante del sistema acoplado, si este subespacio es localmente atractivo entonces el sistema acoplado exhibe una sincronización idéntica. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$

Si el acoplamiento desaparece, los osciladores se desacoplan y el comportamiento caótico conduce a una divergencia de las trayectorias cercanas. La sincronización completa se produce debido a la interacción, si el parámetro de acoplamiento es lo suficientemente grande como para que el acoplamiento difusivo suprima la divergencia de las trayectorias de los sistemas que interactúan debido al caos. Para encontrar la fuerza de acoplamiento crítica estudiamos el comportamiento de la diferencia . Suponiendo que es pequeño, podemos expandir el campo vectorial en serie y obtener una ecuación diferencial lineal (despreciando el resto de Taylor) que rige el comportamiento de la diferencia. ${\displaystyle v=x-y}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{\prime }=DF(x(t))v-2\alpha v}$

donde denota el jacobiano del campo vectorial a lo largo de la solución. Si entonces obtenemos ${\displaystyle DF(x(t))}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle u^{\prime }=DF(x(t))u,}$

y desde la dinámica caótica tenemos , donde denota el máximo exponente de Lyapunov del sistema aislado. Ahora usando el ansatz pasamos de la ecuación for a la ecuación for . Por lo tanto, obtenemos ${\displaystyle \|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v=ue^{-2\alpha t}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \|v(t)\|\leq \|u(0)\|e^{(-2\alpha +\lambda )t}}$

produce una fuerza de acoplamiento crítica , ya que todo el sistema exhibe una sincronización completa. La existencia de una fuerza de acoplamiento crítica está relacionada con la naturaleza caótica de la dinámica aislada. ${\displaystyle \alpha _{c}=\lambda /2}$ ${\displaystyle \alpha >\alpha _{c}}$

En general, este razonamiento conduce al valor de acoplamiento crítico correcto para la sincronización. Sin embargo, en algunos casos se puede observar una pérdida de sincronización para fuerzas de acoplamiento mayores que el valor crítico. Esto ocurre porque los términos no lineales ignorados en la derivación del valor de acoplamiento crítico pueden desempeñar un papel importante y destruir el límite exponencial del comportamiento de la diferencia. ^[4] Sin embargo, es posible darle un tratamiento riguroso a este problema y obtener un valor crítico para que las no linealidades no afecten la estabilidad. ^[5]

Sincronización generalizada

Este tipo de sincronización ocurre principalmente cuando los osciladores caóticos acoplados son diferentes, aunque también se ha reportado entre osciladores idénticos. Dadas las variables dinámicas y que determinan el estado de los osciladores, la sincronización generalizada se produce cuando existe un funcional, tal que, tras una evolución transitoria a partir de las condiciones iniciales apropiadas, es . Esto significa que el estado dinámico de uno de los osciladores está completamente determinado por el estado del otro. Cuando los osciladores están acoplados entre sí esta funcional tiene que ser invertible, si hay una configuración variador-respuesta el variador determina la evolución de la respuesta, y Φ no necesita ser invertible. La sincronización idéntica es el caso particular de la sincronización generalizada cuando es la identidad. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},...y_{m})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]}$ ${\displaystyle \phi }$

Sincronización de fases

La sincronización de fase ocurre cuando los osciladores caóticos acoplados mantienen limitada su diferencia de fase mientras sus amplitudes permanecen sin correlación. Este fenómeno ocurre incluso si los osciladores no son idénticos. La observación de la sincronización de fase requiere una definición previa de la fase de un oscilador caótico. En muchos casos prácticos, es posible encontrar un plano en el espacio de fases en el que la proyección de las trayectorias del oscilador sigue una rotación alrededor de un centro bien definido. Si este es el caso, la fase está definida por el ángulo, φ(t), descrito por el segmento que une el centro de rotación y la proyección del punto de la trayectoria sobre el plano. En otros casos todavía es posible definir una fase mediante técnicas proporcionadas por la teoría del procesamiento de señales , como la transformada de Hilbert . En cualquier caso, si φ ₁ (t) y φ ₂ (t) denotan las fases de los dos osciladores acoplados, la sincronización de la fase viene dada por la relación nφ ₁ (t)=mφ ₂ (t) con m y n enteros. números.

Sincronización anticipada y retrasada

En estos casos, el estado sincronizado se caracteriza por un intervalo de tiempo τ tal que las variables dinámicas de los osciladores, y , están relacionadas por ; esto significa que la dinámica de uno de los osciladores sigue o anticipa la dinámica del otro. Puede ocurrir una sincronización anticipada entre osciladores caóticos cuya dinámica se describe mediante ecuaciones diferenciales de retardo , acoplados en una configuración de excitación-respuesta. En este caso, la respuesta anticipa la dinámica de la conducción. La sincronización de retardo puede ocurrir cuando aumenta la fuerza del acoplamiento entre osciladores sincronizados en fase. ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},...x'_{n})}$ ${\displaystyle x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )}$

Sincronización de envolvente de amplitud

Esta es una forma leve de sincronización que puede aparecer entre dos osciladores caóticos débilmente acoplados. En este caso no existe correlación entre fases ni amplitudes; en cambio, las oscilaciones de los dos sistemas desarrollan una envolvente periódica que tiene la misma frecuencia en los dos sistemas.

Esto tiene el mismo orden de magnitud que la diferencia entre las frecuencias promedio de oscilación de los dos osciladores caóticos. A menudo, la sincronización de la envolvente de amplitud precede a la sincronización de fase en el sentido de que cuando aumenta la fuerza del acoplamiento entre dos osciladores sincronizados con la envolvente de amplitud, se desarrolla la sincronización de fase.

Todas estas formas de sincronización comparten la propiedad de estabilidad asintótica. Esto significa que una vez que se ha alcanzado el estado sincronizado, el efecto de una pequeña perturbación que destruye la sincronización se amortigua rápidamente y la sincronización se recupera nuevamente. Matemáticamente, la estabilidad asintótica se caracteriza por un exponente de Lyapunov positivo del sistema compuesto por los dos osciladores, que se vuelve negativo cuando se logra la sincronización caótica.

Algunos sistemas caóticos permiten un control aún mayor del caos , y tanto la sincronización del caos como el control del caos constituyen partes de lo que se conoce como " física cibernética ".

Notas

1. Arenas, Álex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jürgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (1 de diciembre de 2008). "Sincronización en redes complejas". Informes de Física . 469 (3): 93-153. arXiv : 0805.2976 . Código bibliográfico : 2008PhR...469...93A. doi :10.1016/j.physrep.2008.09.002. S2CID  14355929.
2. Wu, Chai Wah (2007). Sincronización en Redes Complejas de Sistemas Dinámicos No Lineales . Código Bib : 2007scnn.book.....W. doi :10.1142/6570. ISBN 978-981-270-973-8.
3. Eroglu, Deniz; Cordero, Jeroen SW; Pereira, Tiago (2017). "Sincronización del caos y sus aplicaciones". Física Contemporánea . 58 (3): 207–243. Código Bib : 2017ConPh..58..207E. doi :10.1080/00107514.2017.1345844. hdl : 10044/1/53479 . ISSN  0010-7514. S2CID  126358436.
4. Ashwin, Peter (9 de agosto de 2006). "Transición burbujeante". Scholarpedia . 1 (8): 1725. Código bibliográfico : 2006SchpJ...1.1725A. doi : 10.4249/scholarpedia.1725 . ISSN  1941-6016.
5. Tiago Pereira, Estabilidad del movimiento sincronizado en redes complejas , arXiv:1112.2297v1, 2011.

Referencias

• Pikovsky, A.; Rosemblum, M.; Kurths, J. (2001). Sincronización: un concepto universal en ciencias no lineales . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-53352-2.
• González-Miranda, JM (2004). Sincronización y Control del Caos. Una introducción para científicos e ingenieros . Prensa del Colegio Imperial . ISBN 978-1-86094-488-8.
• Fradkov AL Física cibernética: del control del caos al control cuántico. Springer-Verlag, 2007, (Versión preliminar en ruso: San Petersburgo, Nauka, 2003) .

Ver también

• modelo kuramoto