Atractor de Rossler

Atractor del caótico sistema de Rössler

El atractor de Rössler

Atractor de Rössler como estereograma con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=14}$

El atractor de Rössler ( / ˈ r ɒ s l ər / ) es el atractor del sistema de Rössler , un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales estudiado originalmente por Otto Rössler en la década de 1970. ^{[1] [2]} Estas ecuaciones diferenciales definen un sistema dinámico de tiempo continuo que exhibe una dinámica caótica asociada con las propiedades fractales del atractor. ^[3] Rössler lo interpretó como una formalización de una máquina para tirar caramelos . ^[4]

Algunas propiedades del sistema de Rössler se pueden deducir mediante métodos lineales como los vectores propios , pero las características principales del sistema requieren métodos no lineales como los mapas de Poincaré y los diagramas de bifurcación . El artículo original de Rössler afirma que el atractor de Rössler estaba destinado a comportarse de manera similar al atractor de Lorenz , pero también a ser más fácil de analizar cualitativamente. ^[1] Una órbita dentro del atractor sigue una espiral hacia afuera cerca del plano alrededor de un punto fijo inestable. Una vez que el gráfico gira lo suficiente en espiral, un segundo punto fijo influye en el gráfico, provocando un aumento y una torsión en la dimensión -. En el dominio del tiempo, resulta evidente que aunque cada variable oscila dentro de un rango fijo de valores, las oscilaciones son caóticas. Este atractor tiene algunas similitudes con el atractor de Lorenz, pero es más simple y tiene una sola variedad . Otto Rössler diseñó el atractor de Rössler en 1976, ^[1] pero más tarde se descubrió que las ecuaciones teóricas originales eran útiles para modelar el equilibrio en reacciones químicas. ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$

Definición

Las ecuaciones que definen el sistema de Rössler son: ^[3]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{cases}}}$

Rössler estudió el atractor caótico con , , y , aunque las propiedades de , , y se han utilizado más comúnmente desde entonces. Otra línea del espacio de parámetros se investigó mediante el análisis topológico. Corresponde a , y fue elegido como parámetro de bifurcación. ^[5] Letellier y Messager investigaron cómo descubrió Rössler este conjunto de ecuaciones. ^[6] ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle c=4}$ ${\displaystyle a}$

Análisis de estabilidad

${\displaystyle x,y}$plano del atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Parte de la elegancia del atractor de Rössler se debe a que dos de sus ecuaciones son lineales; ajuste , permite examinar el comportamiento en el avión ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{cases}}}$

La estabilidad en el plano se puede encontrar entonces calculando los valores propios del jacobiano , que son . A partir de esto, podemos ver que cuando , los valores propios son complejos y ambos tienen un componente real positivo, lo que hace que el origen sea inestable con una espiral hacia afuera en el plano. Consideremos ahora el comportamiento del avión dentro del contexto de este rango para . Entonces, mientras sea menor que , el término mantendrá la órbita cerca del avión. A medida que la órbita se acerca a un valor mayor que , los valores comienzan a aumentar. Sin embargo, a medida que sube, el de la ecuación para detiene el crecimiento en . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle (a\pm {\sqrt {a^{2}-4}})/2}$ ${\displaystyle 0<a<2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle -z}$ ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle x}$

Puntos fijos

Para encontrar los puntos fijos, las tres ecuaciones de Rössler se ponen a cero y las coordenadas ( ,, ) de cada punto fijo se determinaron resolviendo las ecuaciones resultantes. Esto produce las ecuaciones generales de cada una de las coordenadas del punto fijo: ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{cases}}}$

Lo que a su vez se puede utilizar para mostrar los puntos fijos reales para un conjunto determinado de valores de parámetros:

${\displaystyle \left({\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}},{\frac {-c+{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}},{\frac {c-{\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)}$

Como se muestra en los gráficos generales del atractor de Rössler anteriores, uno de estos puntos fijos reside en el centro del bucle del atractor y el otro se encuentra relativamente lejos del atractor.

Valores propios y vectores propios

La estabilidad de cada uno de estos puntos fijos se puede analizar determinando sus respectivos valores propios y vectores propios. Empezando por el jacobiano:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1\\1&a&0\\z&0&x-c\\\end{pmatrix}}}$

los valores propios se pueden determinar resolviendo la siguiente cúbica:

${\displaystyle -\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+x-c)+\lambda (ac-ax-1-z)+x-c+az=0\,}$

Para el punto fijo ubicado centralmente, los valores de los parámetros originales de Rössler de a = 0,2, b = 0,2 y c = 5,7 producen valores propios de:

${\displaystyle \lambda _{1}=0.0971028+0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{2}=0.0971028-0.995786i\,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=-5.68718\,}$

La magnitud de un valor propio negativo caracteriza el nivel de atracción a lo largo del vector propio correspondiente. De manera similar, la magnitud de un valor propio positivo caracteriza el nivel de repulsión a lo largo del vector propio correspondiente.

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.7073\\-0.07278-0.7032i\\0.0042-0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.7073\\0.07278+0.7032i\\0.0042+0.0007i\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.1682\\-0.0286\\0.9853\\\end{pmatrix}}}$

Examen de vectores propios de punto fijo central: La línea azul corresponde al atractor de Rössler estándar generado con , y . ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Estos vectores propios tienen varias implicaciones interesantes. Primero, los dos pares de valores propios/vectores propios ( y ) son responsables del deslizamiento constante hacia afuera que ocurre en el disco principal del atractor. El último par de valor propio/vector propio se atrae a lo largo de un eje que pasa por el centro de la variedad y representa el movimiento z que ocurre dentro del atractor. Este efecto se demuestra aproximadamente en la siguiente figura. ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

La figura examina los vectores propios de punto fijo central. La línea azul corresponde al atractor de Rössler estándar generado con , y . El punto rojo en el centro de este atractor es . La línea roja que cruza ese punto fijo es una ilustración del plano de repulsión generado por y . La línea verde es una ilustración de la atracción . La línea magenta se genera retrocediendo en el tiempo desde un punto del vector propio de atracción que está ligeramente por encima ; ilustra el comportamiento de los puntos que quedan completamente dominados por ese vector. Tenga en cuenta que la línea magenta casi toca el plano del atractor antes de ser arrastrada hacia arriba hasta el punto fijo; esto sugiere que la apariencia general y el comportamiento del atractor de Rössler es en gran medida producto de la interacción entre el plano atrayente y repelente . Específicamente, implica que una secuencia generada a partir de las ecuaciones de Rössler comenzará a girar , comenzará a ser arrastrada hacia arriba en el vector, creando el brazo ascendente de una curva que se dobla ligeramente hacia adentro hacia el vector antes de ser empujada hacia afuera nuevamente a medida que es arrastrada hacia atrás. el plano repelente. ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle FP_{1}}$ ${\displaystyle v_{3}}$

Para el punto fijo atípico, los valores de parámetros originales de Rössler de , y producen valores propios de: ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

${\displaystyle \lambda _{1}=-0.0000046+5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{2}=-0.0000046-5.4280259i}$

${\displaystyle \lambda _{3}=0.1929830}$

Los vectores propios correspondientes a estos valores propios son:

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0.0002422+0.1872055i\\0.0344403-0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{2}={\begin{pmatrix}0.0002422-0.1872055i\\0.0344403+0.0013136i\\0.9817159\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle v_{3}={\begin{pmatrix}0.0049651\\-0.7075770\\0.7066188\\\end{pmatrix}}}$

Aunque estos valores propios y vectores propios existen en el atractor de Rössler, su influencia se limita a iteraciones del sistema de Rössler cuyas condiciones iniciales se encuentran en la vecindad general de este punto fijo atípico. Excepto en aquellos casos en los que las condiciones iniciales se encuentran en el plano de atracción generado por y , esta influencia implica efectivamente empujar el sistema resultante hacia el atractor general de Rössler. A medida que la secuencia resultante se acerca al punto fijo central y al propio atractor, la influencia de este punto fijo distante (y sus vectores propios) disminuirá. ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

mapa de poincaré

Mapa de Poincaré para el atractor de Rössler con , , ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$

El mapa de Poincaré se construye trazando el valor de la función cada vez que pasa por un plano determinado en una dirección específica. Un ejemplo sería trazar el valor cada vez que pasa por el plano donde cambia de negativo a positivo, lo que se hace comúnmente al estudiar el atractor de Lorenz. En el caso del atractor de Rössler, el plano no es interesante, ya que el mapa siempre cruza el plano debido a la naturaleza de las ecuaciones de Rössler. En el plano de , , , el mapa de Poincaré muestra el aumento de los valores a medida que aumentan, como es de esperarse debido a la sección de aumento y torsión del gráfico de Rössler. El número de puntos en este gráfico de Poincaré específico es infinito, pero cuando se usa un valor diferente, el número de puntos puede variar. Por ejemplo, con un valor de 4, solo hay un punto en el mapa de Poincaré, porque la función produce una órbita periódica del período uno, o si el valor se establece en 12,8, habría seis puntos correspondientes a una órbita del período seis. . ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle x=0.1}$ ${\displaystyle a=0.1}$ ${\displaystyle b=0.1}$ ${\displaystyle c=14}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

mapa de Lorenz

El mapa de Lorenz es la relación entre máximos sucesivos de una coordenada en una trayectoria. Considere una trayectoria en el atractor y sea el n-ésimo máximo de su coordenada x. Entonces , el diagrama de dispersión es casi una curva, lo que significa que conociéndolo se puede predecir casi con exactitud . ^[8] ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$ ${\displaystyle x_{max}(n)}$ ${\displaystyle x_{max}(n+1)}$

Mapa de Lorenz para el atractor de Rössler con a = 0,2, b = 0,2, c = 5.

Mapeo de máximos locales

${\displaystyle Z_{n}}$vs. ${\displaystyle Z_{n+1}}$

En el artículo original sobre el atractor de Lorenz, ^[9] Edward Lorenz analizó los máximos locales de contra los máximos locales inmediatamente anteriores. Cuando se visualiza, la trama se parece al mapa de la tienda , lo que implica que se puede utilizar un análisis similar entre el mapa y el atractor. Para el atractor de Rössler, cuando el máximo local se traza contra el siguiente máximo local, el gráfico resultante (que se muestra aquí para ,, ) es unimodal, asemejándose a un mapa de Hénon sesgado . Sabiendo que el atractor de Rössler se puede utilizar para crear un pseudo mapa 1-d, se debe utilizar métodos de análisis similares. El diagrama de bifurcación es un método de análisis particularmente útil. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{n+1}}$ ${\displaystyle a=0.2}$ ${\displaystyle b=0.2}$ ${\displaystyle c=5.7}$

Variación de parámetros

El comportamiento del atractor de Rössler es en gran medida un factor de los valores de sus parámetros constantes , y . En general, variar cada parámetro tiene un efecto comparable al hacer que el sistema converja hacia una órbita periódica, un punto fijo o escape hacia el infinito; sin embargo, los rangos y comportamientos específicos inducidos varían sustancialmente para cada parámetro. Las órbitas periódicas, o "ciclos unitarios", del sistema de Rössler se definen por el número de bucles alrededor del punto central que ocurren antes de que la serie de bucles comience a repetirse. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Los diagramas de bifurcación son una herramienta común para analizar el comportamiento de sistemas dinámicos , de los cuales el atractor de Rössler es uno. Se crean ejecutando las ecuaciones del sistema, manteniendo constantes todas las variables menos una y variando la última. Luego, se traza un gráfico de los puntos que visita un valor particular para la variable modificada después de que los factores transitorios han sido neutralizados. Las regiones caóticas se indican mediante regiones rellenas del gráfico.

Variando un

Aquí, se fija en 0,2, se fija en 5,7 y cambia. El examen numérico del comportamiento del atractor sobre el cambio sugiere que tiene una influencia desproporcionada sobre el comportamiento del atractor. Los resultados del análisis son: ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle a\leq 0}$: Converge al punto fijo ubicado centralmente
• ${\displaystyle a=0.1}$: Ciclo unitario del periodo 1
• ${\displaystyle a=0.2}$: Valor de parámetro estándar seleccionado por Rössler, caótico
• ${\displaystyle a=0.3}$: Atractor caótico, mucho más parecido a una tira de Möbius (doblándose sobre sí mismo).
• ${\displaystyle a=0.35}$: Similar a .3, pero cada vez más caótico
• ${\displaystyle a=0.38}$: Similar al .35, pero cada vez más caótico.

Variante b

Diagrama de bifurcación del atractor de Rössler para variables ${\displaystyle b}$

Aquí, se fija en 0,2, se fija en 5,7 y cambia. Como se muestra en el diagrama adjunto, a medida que se acerca a 0, el atractor se acerca al infinito (obsérvese el aumento para valores muy pequeños de ). En comparación con los otros parámetros, la variación genera un rango mayor cuando se producirán las órbitas de los períodos 3 y 6. A diferencia de y , los valores más altos de convergen al período 1, no a un estado caótico. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

c variable

Diagrama de bifurcación del atractor de Rössler para variables ${\displaystyle c}$

Aquí, y cambios. El diagrama de bifurcación revela que los valores bajos de son periódicos, pero rápidamente se vuelven caóticos a medida que aumentan. Este patrón se repite a medida que aumenta: hay secciones de periodicidad intercaladas con períodos de caos, y la tendencia es hacia órbitas de períodos más altos a medida que aumenta. Por ejemplo, el período de una órbita sólo aparece para valores de alrededor de 4 y nunca se vuelve a encontrar en el diagrama de bifurcación. El mismo fenómeno se observa en el período tres; hasta el período tres se pueden encontrar órbitas, pero a partir de entonces no aparecen. ${\displaystyle a=b=0.1}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=12}$

Una ilustración gráfica del atractor cambiante en un rango de valores ilustra el comportamiento general observado en todos estos análisis de parámetros: las frecuentes transiciones entre periodicidad y aperiodicidad. ${\displaystyle c}$

c variable

El conjunto de imágenes anterior ilustra las variaciones en el sistema Rössler post-transitorio a medida que varía en un rango de valores. Estas imágenes fueron generadas con . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=b=.1}$

• ${\displaystyle c=4}$, órbita del período 1.
• ${\displaystyle c=6}$, órbita del período 2.
• ${\displaystyle c=8.5}$, órbita del período 4.
• ${\displaystyle c=8.7}$, órbita del período 8.
• ${\displaystyle c=9}$, escaso atractor caótico.
• ${\displaystyle c=12}$, órbita del período 3.
• ${\displaystyle c=12.6}$, órbita del período 6.
• ${\displaystyle c=13}$, escaso atractor caótico.
• ${\displaystyle c=15.4}$, órbita del período 5.
• ${\displaystyle c=18}$, atractor caótico relleno.

Órbitas periódicas

El atractor está lleno densamente de órbitas periódicas : soluciones para las cuales existe un valor distinto de cero de tal que . Estas interesantes soluciones se pueden derivar numéricamente utilizando el método de Newton . Las órbitas periódicas son las raíces de la función , donde es la evolución en el tiempo y es la identidad. Como la mayor parte de la dinámica ocurre en el plano xy, las órbitas periódicas pueden clasificarse según su número de vueltas alrededor del equilibrio central después de la proyección. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t+T)={\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle \Phi _{t}-Id}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Id}$

Tabla de órbitas periódicas por número de devanado k

El tiempo no está a escala. Se utilizaron los parámetros originales (a,b,c) = (0,2,0,2,5,7).

A partir de la experimentación numérica parece que existe una órbita periódica única para todos los números sinuosos positivos. Esta falta de degeneración probablemente se deba a la falta de simetría del problema. El atractor se puede diseccionar en variedades invariantes más fáciles de digerir : órbitas periódicas 1D y variedades estables e inestables 2D de órbitas periódicas. Estas variedades invariantes son un esqueleto natural del atractor, tal como lo son los números racionales para los números reales .

A los efectos de la teoría de sistemas dinámicos , uno podría estar interesado en las invariantes topológicas de estas variedades. Las órbitas periódicas son copias de incrustadas en ellas , por lo que sus propiedades topológicas pueden entenderse con la teoría de nudos . Las órbitas periódicas con números sinuosos 1 y 2 forman un enlace de Hopf , lo que demuestra que ningún difeomorfismo puede separar estas órbitas. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Enlaces a otros temas

Las bandas evidentes en el atractor de Rössler son similares a un conjunto de Cantor girado alrededor de su punto medio. Además, la media torsión que se produce en el atractor de Rössler sólo afecta a una parte del atractor. Rössler demostró que su atractor era en realidad la combinación de una "banda normal" y una tira de Möbius . ^[10]

Referencias

1. Rössler, OE (1976), "Una ecuación para el caos continuo", Physics Letters , 57A (5): 397–398, Bibcode :1976PhLA...57..397R, doi :10.1016/0375-9601(76) 90101-8.
2. Rössler, OE (1979), "Una ecuación para el hipercaos", Physics Letters , 71A (2, 3): 155–157, Bibcode :1979PhLA...71..155R, doi :10.1016/0375-9601(79) 90150-6.
3. Peitgen, Heinz-Otto ; Jürgens, Hartmut ; Saupe, Dietmar (2004), "12.3 El atractor de Rössler", Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia , Springer, págs..
4. Rössler, Otto E. (1 de julio de 1983). "La jerarquía caótica". Zeitschrift für Naturforschung A. 38 (7): 788–801. doi : 10.1515/zna-1983-0714 . ISSN  1865-7109.
5. Letellier, C.; P. Dutertre; B. Maheu (1995). "Órbitas periódicas inestables y plantillas del sistema Rössler: hacia una caracterización topológica sistemática". Caos . 5 (1): 272–281. Bibcode : 1995 Caos...5..271L. doi : 10.1063/1.166076 . PMID  12780181.
6. Letellier, C.; V. Mensajero (2010). "Influencias en el primer artículo de Otto E. Rössler sobre el caos". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 20 (11): 3585–3616. Código Bib : 2010IJBC...20.3585L. doi :10.1142/s0218127410027854.
7. Martines-Arano, H.; García-Pérez, BE; Vidales-Hurtado, MA; Trejo-Valdez, M.; Hernández-Gómez, LH; Torres-Torres, C. (2019). "Firmas caóticas exhibidas por efectos plasmónicos en nanopartículas de Au con células". Sensores . 19 (21): 4728. Código bibliográfico : 2019Senso..19.4728M. doi : 10.3390/s19214728 . PMC 6864870 . PMID  31683534. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Olsen, Lars Folke; Degn, Hans (mayo de 1985). "Caos en los sistemas biológicos". Reseñas trimestrales de biofísica . 18 (2): 165–225. doi :10.1017/S0033583500005175. ISSN  1469-8994.
9. Lorenz, EN (1963), "Flujo no periódico determinista", J. Atmos. Ciencia. , 20 (2): 130–141, Bibcode :1963JAtS...20..130L, doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
10. Rössler, Otto E. (1976). "Comportamiento caótico en un sistema de reacción simple". Zeitschrift für Naturforschung A. 31 (3–4): 259–264. Código bibliográfico : 1976ZNatA..31..259R. doi : 10.1515/zna-1976-3-408 .

enlaces externos

• Animación flash usando PovRay
• Atractores de Lorenz y Rössler – animación Java
• Atractores 3D: programa Mac para visualizar y explorar los atractores de Rössler y Lorenz en 3 dimensiones
• Atractor de Rössler en Scholarpedia
• Atractor de Rössler: experimento numérico interactivo en 3D - experiencias.math.cnrs.fr- (javascript/webgl)