Péndulo doble

Péndulo con otro péndulo atado a su extremo.

Un péndulo doble consta de dos péndulos unidos de un extremo a otro.

En física y matemáticas , en el área de los sistemas dinámicos , un péndulo doble también conocido como péndulo caótico es un péndulo con otro péndulo unido a su extremo, formando un sistema físico simple que exhibe un rico comportamiento dinámico con una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales . ^[1] El movimiento de un péndulo doble se rige por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y es caótico .

Análisis e interpretación

Se pueden considerar varias variantes del doble péndulo; los dos miembros pueden tener longitudes y masas iguales o diferentes, pueden ser péndulos simples o péndulos compuestos (también llamados péndulos complejos) y el movimiento puede ser tridimensional o restringido al plano vertical. En el siguiente análisis, las extremidades se consideran péndulos compuestos idénticos de longitud l y masa m , y el movimiento se restringe a dos dimensiones.

Péndulo doble compuesto

Movimiento del péndulo doble compuesto (a partir de la integración numérica de las ecuaciones de movimiento)

En un péndulo compuesto, la masa se distribuye a lo largo de su longitud. Si la masa del doble péndulo está distribuida uniformemente, entonces el centro de masa de cada miembro está en su punto medio y el miembro tiene un momento de inercia de I =1/12ml ² sobre ese punto.

Es conveniente utilizar los ángulos entre cada rama y la vertical como coordenadas generalizadas que definen la configuración del sistema. Estos ángulos se denotan θ ₁ y θ ₂ . La posición del centro de masa de cada varilla se puede escribir en términos de estas dos coordenadas. Si se considera que el origen del sistema de coordenadas cartesiano está en el punto de suspensión del primer péndulo, entonces el centro de masa de este péndulo está en:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$

y el centro de masa del segundo péndulo está en

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$

Esta es información suficiente para escribir el lagrangiano.

lagrangiano

El lagrangiano es

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

El primer término es la energía cinética lineal del centro de masa de los cuerpos y el segundo término es la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa de cada varilla. El último término es la energía potencial de los cuerpos en un campo gravitacional uniforme. La notación de puntos indica la derivada temporal de la variable en cuestión.

Desde (ver Regla de la cadena y Lista de identidades trigonométricas )

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2},}$

y

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)}$

${\displaystyle =l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right),}$

sustituyendo las coordenadas anteriores y reorganizando la ecuación se obtiene

${\displaystyle L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange dan entonces las dos siguientes ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden en ^[a] : ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2})}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}m_{2}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{2}\left(\left(\theta _{2}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\theta _{2}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)+m_{1}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)=0\\g\sin \left(\theta _{2}\right)+l_{1}\left(\theta _{1}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)-\left(\theta _{1}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{2}\theta _{2}''=0\\\end{array}}}$

No se conocen soluciones en forma cerrada para θ ₁ y θ ₂ como funciones del tiempo, por lo que la resolución del sistema sólo se puede realizar numéricamente , utilizando el método de Runge Kutta o técnicas similares .

Gráfico paramétrico de la evolución temporal de los ángulos de un doble péndulo. Se puede observar que la gráfica se asemeja a un movimiento browniano .

movimiento caótico

Gráfica del tiempo que tarda el péndulo en girar en función de las condiciones iniciales

Exposición prolongada de un péndulo doble que muestra un movimiento caótico (seguido con un LED )

El doble péndulo experimenta un movimiento caótico y muestra claramente una dependencia sensible de las condiciones iniciales . La imagen de la derecha muestra la cantidad de tiempo transcurrido antes de que el péndulo se dé la vuelta, en función de la posición inicial cuando se suelta en reposo. Aquí, el valor inicial de θ ₁ varía a lo largo de la dirección x desde −3,14 hasta 3,14. El valor inicial θ ₂ varía a lo largo de la dirección y , desde −3,14 hasta 3,14. El color de cada píxel indica si alguno de los péndulo gira dentro de:

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(negro)
• ${\displaystyle 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(rojo)
• ${\displaystyle 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(verde)
• ${\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(azul) o
• ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$(púrpura).

Tres péndulos dobles con condiciones iniciales casi idénticas divergen con el tiempo, mostrando la naturaleza caótica del sistema.

Las condiciones iniciales que no conducen a un cambio interno se representan en blanco. ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

El límite de la región blanca central está definido en parte por la conservación de energía con la siguiente curva:

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$

Dentro de la región definida por esta curva, es decir, si

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$

entonces es energéticamente imposible que cualquiera de los péndulo gire. Fuera de esta región, el péndulo puede girar, pero es una cuestión compleja determinar cuándo lo hará. Se observa un comportamiento similar para un péndulo doble compuesto por dos masas puntuales en lugar de dos varillas con masa distribuida. ^[2]

La falta de una frecuencia de excitación natural ha llevado al uso de sistemas de doble péndulo en diseños de resistencia sísmica en edificios, donde el edificio en sí es el péndulo invertido primario y una masa secundaria está conectada para completar el doble péndulo.

Ver también

• Péndulo invertido doble
• Péndulo (mecánica)
• trabuquete
• Bolas
• amortiguador de masa
• Los libros de texto de física de mediados del siglo XX utilizan el término "doble péndulo" para referirse a una sola pesa suspendida de una cuerda que a su vez está suspendida de una cuerda en forma de V. Este tipo de péndulo , que produce curvas de Lissajous , ahora se conoce como péndulo de Blackburn .

Notas

1. Las ecuaciones se obtuvieron con el siguiente código de Mathematica :

   Bloquear [ { m , g , \ [ Theta ], l , L , x , y , v , t }, x = Acumular [{ Subíndice [ l , 1 ], Subíndice [ l , 2 ]} * Sin [{ Subíndice [ \ [ Theta ], 1 ], Subíndice [ \ [ Theta ], 2 ]}]]; y = Acumular [ { Subíndice [ l , 1 ], Subíndice [ l , 2 ]} *- Cos [{ Subíndice [ \ [ Theta ], 1 ], Subíndice [ \ [ Theta ], 2 ]}]]; v = D [{ x , y } /. Subíndice [ \ [ Theta ], i_ ] :> Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ], t ]; L = Más @@ ({ Subíndice [ m , 1 ], Subíndice [ m , 2 ]} * ( 1 / 2 Mapa [ # . # & , Transponer [ v ]] - ( g y /. Subíndice [ \ [ Theta ] , i_ ] :> Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ]))); FullSimplify [ Tabla [ D [ Construir [ Función , L /. Subíndice                                                                           [ \ [ Theta ], i ] ' [ t ] -> # ] ' [ Subíndice [ \ [ Theta ], i ] ' [ t ]], t ] == Construir [ Función , L /. Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ] -> # ] ' [ Subíndice [ \ [ Theta ], i ][ t ]] , { i , 2 } ], Supuestos -> { Subíndice [ l , 1 ] > 0 , Subíndice [ l , 2 ] > 0 , Subíndice [ m , 1 ] > 0 , Subíndice [ m , 2 ] > 0 } ] /. h_ [ t ] :> h // Columna // TeXForm ]                                                    

Referencias

1. Levien, RB; Bronceado, SM (1993). "Doble Péndulo: Un experimento en el caos". Revista Estadounidense de Física . 61 (11): 1038. Código bibliográfico : 1993AmJPh..61.1038L. doi :10.1119/1.17335.
2. Alex Small, Proyecto final de muestra: Una firma del caos en el doble péndulo , (2013). Un informe elaborado como ejemplo para los estudiantes. Incluye una derivación de las ecuaciones de movimiento y una comparación entre el péndulo doble con 2 masas puntuales y el péndulo doble con 2 varillas.

• Meirovitch, Leonard (1986). Elementos de análisis de vibraciones (2ª ed.). McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contiene detalles de las complicadas ecuaciones involucradas) y "Double Pendulum" de Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animaciones de esas ecuaciones).
• Peter Lynch , Doble Péndulo , (2001). (Simulación de subprograma de Java).
• Universidad Northwestern, Doble Péndulo Archivado el 3 de junio de 2007 en Wayback Machine , (simulación de subprograma de Java).
• Grupo de Astrofísica Teórica de Altas Energías de la UBC, Doble péndulo , (2005).

enlaces externos

• Animaciones y explicaciones de un péndulo doble y un péndulo doble físico (dos placas cuadradas) por Mike Wheatland (Univ. Sydney)

• Simulación interactiva de JavaScript de física de código abierto con ecuaciones detalladas de doble péndulo
• Simulación interactiva en Javascript de un doble péndulo
• Simulación de física de doble péndulo de www.myphysicslab.com utilizando código JavaScript de código abierto
• Simulación, ecuaciones y explicación del péndulo de Rott.
• Vídeos comparativos de un péndulo doble con las mismas condiciones iniciales de partida en YouTube
• Double Pendulum Simulator: un simulador de código abierto escrito en C++ que utiliza el kit de herramientas Qt .
• Simulador Java online Archivado el 16 de agosto de 2022 en la exposición Wayback Machine of the Imaginary .