Gráfico de recurrencia

En estadística descriptiva y teoría del caos , un gráfico de recurrencia ( PR ) es un gráfico que muestra, para cada momento en el tiempo, los tiempos en los que el estado de un sistema dinámico regresa al estado anterior en , es decir, cuando la trayectoria del espacio de fases visita aproximadamente la misma área en el espacio de fases que en el tiempo . En otras palabras, es un gráfico de ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),}$

mostrando en un eje horizontal y en un eje vertical, donde es el estado del sistema (o su trayectoria en el espacio de fases). ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Fondo

Los procesos naturales pueden tener un comportamiento recurrente distintivo, por ejemplo, periodicidades (como ciclos estacionales o de Milankovich ), pero también ciclicidades irregulares (como El Niño Oscilación del Sur, intervalos de latidos del corazón). Además, la recurrencia de estados, en el sentido de que los estados vuelven a estar arbitrariamente cerca después de algún tiempo de divergencia , es una propiedad fundamental de los sistemas dinámicos deterministas y es típica de los sistemas no lineales o caóticos (cf. teorema de recurrencia de Poincaré ). La recurrencia de estados en la naturaleza se conoce desde hace mucho tiempo y también se ha discutido en trabajos tempranos (por ejemplo, Henri Poincaré 1890).

Descripción detallada

Una forma de visualizar la naturaleza recurrente de los estados por su trayectoria a través de un espacio de fases es el gráfico de recurrencia, introducido por Eckmann et al. (1987). ^[1] A menudo, el espacio de fases no tiene una dimensión lo suficientemente baja (dos o tres) para ser representado, ya que los espacios de fases de dimensiones superiores solo pueden visualizarse mediante proyección en los subespacios bidimensionales o tridimensionales. Una herramienta utilizada con frecuencia para estudiar el comportamiento de dichas trayectorias del espacio de fases es entonces el mapa de Poincaré . Otra herramienta es el gráfico de recurrencia, que nos permite investigar muchos aspectos de la trayectoria del espacio de fases m -dimensional a través de una representación bidimensional.

En una recurrencia, la trayectoria vuelve a una ubicación (estado) en el espacio de fases que ha visitado antes con un pequeño error . El gráfico de recurrencia representa la colección de pares de tiempos de tales recurrencias, es decir, el conjunto de con , con y puntos discretos de tiempo y el estado del sistema en el tiempo (ubicación de la trayectoria en el tiempo ). Matemáticamente, esto se expresa mediante la matriz de recurrencia binaria ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

donde es una norma y el umbral de recurrencia. Una expresión alternativa, más formal, es usar la función de paso de Heaviside con la norma del vector de distancia entre y . Las definiciones de recurrencia alternativas consideran diferentes distancias , por ejemplo, distancia angular , distancia difusa o distancia de edición . ^[2] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle R(i,j)=\Theta (\varepsilon -D_{i,j})}$ ${\displaystyle D_{i,j}=\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(j)}$ ${\displaystyle D_{i,j}}$

El gráfico de recurrencia se visualiza con puntos coloreados (principalmente negros) en las coordenadas si , con el tiempo en los ejes - y -. ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle R(i,j)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Si sólo se dispone de una serie temporal , el espacio de fases se puede reconstruir, por ejemplo, utilizando una incrustación de retardo de tiempo (véase el teorema de Takens ): ${\displaystyle u(i)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

donde es la serie temporal, la dimensión de incrustación y el retardo temporal. La reconstrucción del espacio de fase no es una parte esencial del gráfico de recurrencia (aunque a menudo se menciona en la literatura), porque se basa en trayectorias del espacio de fase que podrían derivarse directamente de las variables del sistema (por ejemplo, de las tres variables del sistema de Lorenz ). ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau }$

La apariencia visual de un gráfico de recurrencia da pistas sobre la dinámica del sistema. Debido al comportamiento característico de la trayectoria del espacio de fases, un gráfico de recurrencia contiene estructuras típicas a pequeña escala, como puntos individuales, líneas diagonales y líneas verticales/horizontales (o una mezcla de estas últimas, que se combinan para formar grupos extendidos). La estructura a gran escala, también llamada textura , se puede caracterizar visualmente como homogénea , periódica , de deriva o interrumpida . Por ejemplo, el gráfico puede mostrar si la trayectoria es estrictamente periódica con período , entonces todos esos pares de tiempos estarán separados por un múltiplo de y serán visibles como líneas diagonales. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Ejemplos típicos de gráficos de recurrencia (fila superior: serie temporal (representada a lo largo del tiempo); fila inferior: gráficos de recurrencia correspondientes). De izquierda a derecha: datos estocásticos no correlacionados ( ruido blanco ), oscilación armónica con dos frecuencias, datos caóticos ( mapa logístico ) con tendencia lineal y datos de un proceso autorregresivo .

Las estructuras de pequeña escala en los diagramas de recurrencia contienen información sobre ciertas características de la dinámica del sistema subyacente. Por ejemplo, la longitud de las líneas diagonales visibles en el diagrama de recurrencia está relacionada con la divergencia de las trayectorias del espacio de fases, por lo tanto, puede representar información sobre la caoticidad. ^[3] Por lo tanto, el análisis de cuantificación de recurrencia cuantifica la distribución de estas estructuras de pequeña escala. ^{[4] [5] [6]} Esta cuantificación se puede utilizar para describir los diagramas de recurrencia de forma cuantitativa. Las aplicaciones son la clasificación, las predicciones, la estimación de parámetros no lineales y el análisis de transición. A diferencia del enfoque heurístico del análisis de cuantificación de recurrencia, que depende de la elección de los parámetros de incrustación, algunos invariantes dinámicos como la dimensión de correlación , la entropía K2 o la información mutua , que son independientes de la incrustación, también se pueden derivar de los diagramas de recurrencia. La base de estos invariantes dinámicos son la tasa de recurrencia y la distribución de las longitudes de las líneas diagonales. ^[3] Aplicaciones más recientes utilizan gráficos de recurrencia como una herramienta para la creación de imágenes de series temporales en enfoques de aprendizaje automático y para el estudio de recurrencias espacio-temporales. ^[2]

Los gráficos de retornos cercanos son similares a los gráficos de recurrencia. La diferencia es que se utiliza el tiempo relativo entre recurrencias para el eje (en lugar del tiempo absoluto). ^[6] ${\displaystyle y}$

La principal ventaja de los gráficos de recurrencia es que proporcionan información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

Extensiones

Se desarrollaron extensiones multivariadas de gráficos de recurrencia como gráficos de recurrencia cruzada y gráficos de recurrencia conjunta .

Los gráficos de recurrencia cruzada consideran las trayectorias del espacio de fases de dos sistemas diferentes en el mismo espacio de fases: ^[7]

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.}$

La dimensión de ambos sistemas debe ser la misma, pero el número de estados considerados (es decir, la longitud de los datos) puede ser diferente. Los gráficos de recurrencia cruzada comparan las ocurrencias de estados similares de dos sistemas. Pueden usarse para analizar la similitud de la evolución dinámica entre dos sistemas diferentes, para buscar patrones de coincidencia similares en dos sistemas o para estudiar la relación temporal de dos sistemas similares cuya escala de tiempo difiere. ^[8]

Los gráficos de recurrencia conjunta son el producto Hadamard de los gráficos de recurrencia de los subsistemas considerados, ^[9] p. ej. para dos sistemas y el gráfico de recurrencia conjunta es ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.}$

A diferencia de los gráficos de recurrencia cruzada, los gráficos de recurrencia conjunta comparan la ocurrencia simultánea de recurrencias en dos (o más) sistemas. Además, la dimensión de los espacios de fase considerados puede ser diferente, pero el número de estados considerados debe ser el mismo para todos los subsistemas. Los gráficos de recurrencia conjunta se pueden utilizar para detectar la sincronización de fase .

Ejemplo

Gráfico de recurrencia del índice de Oscilación del Sur .

Véase también

• Diagrama de Poincaré
• Entropía de densidad del período de recurrencia , un método de teoría de la información para resumir las propiedades de recurrencia de sistemas dinámicos deterministas y estocásticos.
• Análisis de cuantificación de recurrencia , un enfoque heurístico para cuantificar gráficos de recurrencia.
• Matriz de autosimilitud
• Diagrama de puntos (bioinformática)

Referencias

1. JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Gráficos de recurrencia de sistemas dinámicos". Europhysics Letters . 5 (9): 973–977. Bibcode :1987EL......4..973E. doi :10.1209/0295-5075/4/9/004. S2CID  250847435.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. N. Marwan; KH Kraemer (2023). "Tendencias en el análisis de recurrencia de sistemas dinámicos". European Physical Journal ST . 232 (1): 5–27. arXiv : 2409.04110 . Código Bibliográfico :2023EPJST.232....5M. doi : 10.1140/epjs/s11734-022-00739-8 . S2CID  255630484.
3. N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Gráficos de recurrencia para el análisis de sistemas complejos". Physics Reports . 438 (5–6): 237. Bibcode :2007PhR...438..237M. doi :10.1016/j.physrep.2006.11.001.
4. JP Zbilut; CL Webber (1992). "Incrustaciones y retrasos derivados de la cuantificación de gráficos de recurrencia". Physics Letters A . 171 (3–4): 199–203. Bibcode :1992PhLA..171..199Z. doi :10.1016/0375-9601(92)90426-M. S2CID  122890777.
5. CL Webber; JP Zbilut (1994). "Evaluación dinámica de sistemas y estados fisiológicos utilizando estrategias de gráficos de recurrencia". Revista de fisiología aplicada . 76 (2): 965–973. doi :10.1152/jappl.1994.76.2.965. PMID  8175612. S2CID  23854540.
6. N. Marwan (2008). "Una revisión histórica de los gráficos de recurrencia". European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Código Bibliográfico :2008EPJST.164....3M. doi :10.1140/epjst/e2008-00829-1. S2CID  119494395.
7. N. Marwan; J. Kurths (2002). "Análisis no lineal de datos bivariados con gráficos de recurrencia cruzada". Physics Letters A . 302 (5–6): 299–307. arXiv : physics/0201061 . Código Bibliográfico :2002PhLA..302..299M. doi :10.1016/S0375-9601(02)01170-2. S2CID  8020903.
8. N. Marwan; J. Kurths (2005). "Estructuras lineales en gráficos de recurrencia". Physics Letters A . 336 (4–5): 349–357. arXiv : nlin/0410002 . Código Bibliográfico :2005PhLA..336..349M. doi :10.1016/j.physleta.2004.12.056. S2CID  931165.
9. MC Romano; M. Thiel; J. Kurths; W. von Bloh (2004). "Gráficos de recurrencia multivariados". Physics Letters A . 330 (3–4): 214–223. Bibcode :2004PhLA..330..214R. doi :10.1016/j.physleta.2004.07.066. S2CID  5746162.

Enlaces externos

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