Análisis de cuantificación de recurrencia

El análisis de cuantificación de recurrencia ( RQA ) es un método de análisis de datos no lineal (cf. teoría del caos ) para la investigación de sistemas dinámicos . Cuantifica el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico presentadas por su trayectoria en el espacio de fases .

Fondo

El análisis de cuantificación de recurrencia (RQA) se desarrolló para cuantificar los gráficos de recurrencia (RP) que aparecen de forma diferente, en función de las estructuras a pequeña escala que contienen. Los gráficos de recurrencia son herramientas que visualizan el comportamiento de recurrencia de la trayectoria del espacio de fases de los sistemas dinámicos : ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$

${\displaystyle {R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$,

donde es la función Heaviside y una tolerancia predefinida. ${\displaystyle \Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Los gráficos de recurrencia contienen principalmente puntos y líneas individuales que son paralelos a la diagonal media ( línea de identidad , LOI) o que son verticales/horizontales. Las líneas paralelas a la LOI se denominan líneas diagonales y las estructuras verticales, líneas verticales . Debido a que una RP suele ser simétrica, las líneas horizontales y verticales se corresponden entre sí y, por lo tanto, solo se consideran las líneas verticales. Las líneas corresponden a un comportamiento típico de la trayectoria del espacio de fase: mientras que las líneas diagonales representan segmentos de la trayectoria del espacio de fase que corren paralelos durante algún tiempo, las líneas verticales representan segmentos que permanecen en la misma región del espacio de fase durante algún tiempo.

Si solo se dispone de una serie temporal , el espacio de fases se puede reconstruir utilizando una incrustación de retardo de tiempo (véase el teorema de Takens ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

¿Dónde está la serie temporal, la dimensión de incrustación y el retardo de tiempo? ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau }$

El RQA cuantifica las estructuras a pequeña escala de los gráficos de recurrencia, que presentan el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico. Las medidas introducidas para el RQA se desarrollaron heurísticamente entre 1992 y 2002 (Zbilut y Webber 1992; Webber y Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). En realidad, son medidas de complejidad . La principal ventaja del análisis de cuantificación de recurrencia es que puede proporcionar información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

El análisis de calidad de datos (RQA) se puede aplicar a casi cualquier tipo de datos. Se utiliza ampliamente en fisiología , pero también se aplicó con éxito en problemas de ingeniería , química , ciencias de la Tierra , etc.

Medidas de RQA

La medida más simple es la tasa de recurrencia , que es la densidad de puntos de recurrencia en un gráfico de recurrencia:

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).}$

La tasa de recurrencia corresponde a la probabilidad de que un estado específico se repita. Es casi igual a la definición de la suma de correlación , donde el LOI se excluye del cálculo.

La siguiente medida es el porcentaje de puntos de recurrencia que forman líneas diagonales en el gráfico de recurrencia de longitud mínima : ${\displaystyle \ell _{\min }}$

${\displaystyle {\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

donde es la distribución de frecuencia de las longitudes de las líneas diagonales (es decir, cuenta cuántas instancias tienen longitud ). Esta medida se llama determinismo y está relacionada con la predictibilidad del sistema dinámico , porque el ruido blanco tiene un gráfico de recurrencia con casi solo puntos individuales y muy pocas líneas diagonales, mientras que un proceso determinista tiene un gráfico de recurrencia con muy pocos puntos individuales pero muchas líneas diagonales largas. ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

El número de puntos de recurrencia que forman líneas verticales se puede cuantificar de la misma manera:

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},}$

donde es la distribución de frecuencias de las longitudes de las líneas verticales, que tienen al menos una longitud de . Esta medida se llama laminaridad y está relacionada con la cantidad de fases laminares en el sistema ( intermitencia ). ${\displaystyle P(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\min }}$

También se pueden medir las longitudes de las líneas diagonales y verticales. La longitud promedio de la línea diagonal

${\displaystyle {\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

Está relacionado con el tiempo de predictibilidad del sistema dinámico y el tiempo de atrapamiento , midiendo la longitud promedio de las líneas verticales,

${\displaystyle TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}}$

está relacionado con el tiempo de laminaridad del sistema dinámico, es decir, el tiempo que el sistema permanece en un estado específico.

Debido a que la longitud de las líneas diagonales está relacionada con el tiempo en que los segmentos de la trayectoria del espacio de fases discurren paralelos, es decir, con el comportamiento de divergencia de las trayectorias, a veces se afirmó que el recíproco de la longitud máxima de las líneas diagonales (sin LOI) sería un estimador del exponente de Lyapunov máximo positivo del sistema dinámico. Por lo tanto, la longitud máxima de la línea diagonal o la divergencia ${\displaystyle L_{\max }}$

${\displaystyle DIV={\frac {1}{L_{\max }}}}$

También son medidas del RQA. Sin embargo, la relación entre estas medidas y el exponente máximo positivo de Lyapunov no es tan fácil como se afirma, sino incluso más compleja (para calcular el exponente de Lyapunov a partir de un RP, se debe considerar toda la distribución de frecuencias de las líneas diagonales). La divergencia puede tener la tendencia del exponente máximo positivo de Lyapunov, pero no más. Además, también los RP de los procesos de ruido blanco pueden tener una línea diagonal realmente larga, aunque muy raramente, solo por una probabilidad finita. Por lo tanto, la divergencia no puede reflejar el exponente máximo de Lyapunov.

La probabilidad de que una línea diagonal tenga exactamente la longitud se puede estimar a partir de la distribución de frecuencia con . La entropía de Shannon de esta probabilidad, ${\displaystyle p(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

${\displaystyle {\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

refleja la complejidad de la estructura determinista del sistema. Sin embargo, esta entropía depende sensiblemente del número de bin y, por lo tanto, puede diferir para diferentes realizaciones del mismo proceso, así como para diferentes preparaciones de datos.

La última medida del RQA cuantifica el adelgazamiento del gráfico de recurrencia. La tendencia es el coeficiente de regresión de una relación lineal entre la densidad de puntos de recurrencia en una línea paralela a la LOI y su distancia a la LOI. Más exactamente, considere la tasa de recurrencia en una línea diagonal paralela a la LOI de distancia k ( tasa de recurrencia en diagonal o tasa de recurrencia τ ):

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}{R}(i,j),}$

entonces la tendencia está definida por

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

con como valor promedio y . Esta última relación debería garantizar que se eviten los efectos de borde de densidades de puntos de recurrencia demasiado bajas en los bordes del gráfico de recurrencia. La tendencia de la medida proporciona información sobre la estacionariedad del sistema. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\tilde {N}}<N}$

De manera similar a la tasa de recurrencia, las otras medidas basadas en las líneas diagonales (DET, L, ENTR) pueden definirse en forma diagonal. Estas definiciones son útiles para estudiar las interrelaciones o la sincronización entre diferentes sistemas (utilizando gráficos de recurrencia o gráficos de recurrencia cruzada ). ${\displaystyle \tau }$

RQA dependiente del tiempo

En lugar de calcular las medidas de RQA de todo el gráfico de recurrencia, se pueden calcular en pequeñas ventanas que se desplazan sobre el gráfico de recurrencia a lo largo del LOI. Esto proporciona medidas de RQA dependientes del tiempo que permiten detectar, por ejemplo, transiciones de caos a caos (Marwan et al. 2002). Nota: la elección del tamaño de la ventana puede influir en gran medida en la tendencia de la medida .

Ejemplo

Diagrama de bifurcación para el mapa logístico.

Medidas RQA del mapa logístico para varios ajustes del parámetro de control a. Las medidas RR y DET exhiben máximos en transiciones caos-orden/orden-caos. La medida DIV tiene una tendencia similar al exponente máximo de Lyapunov (¡pero no es lo mismo!). La medida LAM tiene máximos en transiciones caos-caos ( fases laminares , intermitencia ).

Véase también

• Gráfico de recurrencia , una potente herramienta de visualización de recurrencias en sistemas dinámicos (y otros).
• Entropía de densidad del período de recurrencia , un método de teoría de la información para resumir las propiedades de recurrencia de sistemas dinámicos deterministas y estocásticos.
• Entropía aproximada

Lectura adicional

• Marwan, N. (2008). "Una revisión histórica de los gráficos de recurrencia". European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Código Bibliográfico :2008EPJST.164....3M. doi :10.1140/epjst/e2008-00829-1. S2CID  119494395.
• Marwan, N., Romano, MC, Thiel, M., Kurths, J. (2007). "Gráficos de recurrencia para el análisis de sistemas complejos". Physics Reports . 438 (5–6): 237–329. Bibcode :2007PhR...438..237M. doi :10.1016/j.physrep.2006.11.001.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Marwan, N., Wessel, N., Meyerfeldt, U., Schirdewan, A., Kurths, J. (2002). "Medidas de complejidad basadas en gráficos de recurrencia y su aplicación a datos de variabilidad de la frecuencia cardíaca". Physical Review E . 66 (2): 026702. arXiv : physics/0201064 . Bibcode :2002PhRvE..66b6702M. doi :10.1103/PhysRevE.66.026702. PMID  12241313. S2CID  14803032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Marwan, N., Kurths, J. (2002). "Análisis no lineal de datos bivariados con gráficos de recurrencia cruzada". Physics Letters A . 302 (5–6): 299–307. arXiv : physics/0201061 . Código Bibliográfico :2002PhLA..302..299M. doi :10.1016/S0375-9601(02)01170-2. S2CID  8020903.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). "Evaluación dinámica de sistemas y estados fisiológicos utilizando estrategias de gráficos de recurrencia". Revista de fisiología aplicada . 76 (2): 965–973. doi :10.1152/jappl.1994.76.2.965. PMID  8175612.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). "Incrustaciones y retrasos derivados de la cuantificación de gráficos de recurrencia". Physics Letters A . 171 (3–4): 199–203. Bibcode :1992PhLA..171..199Z. doi :10.1016/0375-9601(92)90426-M.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). "Aplicación del análisis de cuantificación de recurrencia a estudios dinámicos de sistemas de potencia". IEEE Transactions on Power Systems . 31 (1): 581–591. Bibcode :2016ITPSy..31..581B. doi :10.1109/TPWRS.2015.2407894. S2CID  19049274.Documento n.º TPWRS-01211-2014
• Girault, J.-M. (2015). "Recurrencia y simetría de series temporales: aplicación a la detección de transiciones" (PDF) . Chaos, Solitons & Fractals . 77 : 11–28. Bibcode :2015CSF....77...11G. doi :10.1016/j.chaos.2015.04.010.

Enlaces externos

• http://www.recurrence-plot.tk/