Análisis de cuantificación de recurrencia.

El análisis de cuantificación de recurrencia ( RQA ) es un método de análisis de datos no lineal (cf. teoría del caos ) para la investigación de sistemas dinámicos . Cuantifica el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico presentado por su trayectoria en el espacio de fases .

Fondo

El análisis de cuantificación de recurrencia (RQA) se desarrolló para cuantificar gráficos de recurrencia (RP) que aparecen de manera diferente, en función de las estructuras de pequeña escala que contienen. Los gráficos de recurrencia son herramientas que visualizan el comportamiento de recurrencia de la trayectoria del espacio de fase de sistemas dinámicos : ${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$

${\displaystyle {R}(i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)}$,

¿Dónde está la función Heaviside y una tolerancia predefinida? ${\displaystyle \Theta :\mathbf {R} \rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Los gráficos de recurrencia contienen principalmente puntos y líneas individuales que son paralelas a la diagonal media ( línea de identidad , LOI) o que son verticales/horizontales. Las líneas paralelas a la LOI se denominan líneas diagonales y las estructuras verticales, líneas verticales . Debido a que un RP suele ser simétrico, las líneas horizontales y verticales se corresponden entre sí y, por lo tanto, solo se consideran las líneas verticales. Las líneas corresponden a un comportamiento típico de la trayectoria del espacio de fases: mientras que las líneas diagonales representan segmentos de la trayectoria del espacio de fases que discurren paralelos durante algún tiempo, las líneas verticales representan segmentos que permanecen en la misma región del espacio de fases durante algún tiempo.

Si solo hay disponible una serie de tiempo , el espacio de fase se puede reconstruir utilizando una incrustación de retardo de tiempo (consulte el teorema de Takens ):

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

¿Dónde está la serie de tiempo, la dimensión de incrustación y el retraso de tiempo? ${\displaystyle u(i)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \tau }$

El RQA cuantifica las estructuras a pequeña escala de gráficos de recurrencia, que presentan el número y la duración de las recurrencias de un sistema dinámico. Las medidas introducidas para el RQA se desarrollaron heurísticamente entre 1992 y 2002 (Zbilut y Webber 1992; Webber y Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). En realidad son medidas de complejidad . La principal ventaja del análisis de cuantificación de recurrencia es que puede proporcionar información útil incluso para datos cortos y no estacionarios, donde otros métodos fallan.

RQA se puede aplicar a casi todo tipo de datos. Se utiliza ampliamente en fisiología , pero también se aplicó con éxito en problemas de ingeniería , química , ciencias de la Tierra , etc.

Medidas RQA

La medida más simple es la tasa de recurrencia , que es la densidad de puntos de recurrencia en un gráfico de recurrencia:

${\displaystyle {\text{RR}}={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}{R}(i,j).}$

La tasa de recurrencia se corresponde con la probabilidad de que se repita un estado específico. Es casi igual a la definición de suma de correlación , donde la LOI se excluye del cálculo.

La siguiente medida es el porcentaje de puntos de recurrencia que forman líneas diagonales en el gráfico de recurrencia de longitud mínima : ${\displaystyle \ell _{\min }}$

${\displaystyle {\text{DET}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =1}^{N}\ell P(\ell )}},}$

¿Dónde está la distribución de frecuencia de las longitudes de las líneas diagonales (es decir, cuenta cuántas instancias tienen longitud )? Esta medida se llama determinismo y está relacionada con la previsibilidad del sistema dinámico , porque el ruido blanco tiene un gráfico de recurrencia con casi sólo puntos únicos y muy pocas líneas diagonales, mientras que un proceso determinista tiene un gráfico de recurrencia con muy pocos puntos individuales pero muchos largos. líneas diagonales. ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

El número de puntos de recurrencia que forman líneas verticales se puede cuantificar de la misma forma:

${\displaystyle {\text{LAM}}={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=1}^{N}vP(v)}},}$

donde es la distribución de frecuencia de las longitudes de las líneas verticales, que tienen al menos una longitud de . Esta medida se llama laminaridad y está relacionada con la cantidad de fases laminares en el sistema ( intermitencia ). ${\displaystyle P(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\min }}$

También se pueden medir las longitudes de las líneas diagonales y verticales. La longitud promedio de la línea diagonal

${\displaystyle {\text{L}}={\frac {\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}\ell \,P(\ell )}{\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

está relacionado con el tiempo de previsibilidad del sistema dinámico y el tiempo de captura , midiendo la longitud promedio de las líneas verticales,

${\displaystyle TT={\frac {\sum _{v=v_{\min }}^{N}vP(v)}{\sum _{v=v_{\min }}^{N}P(v)}}}$

está relacionado con el tiempo de laminaridad del sistema dinámico, es decir, cuánto tiempo permanece el sistema en un estado específico.

Debido a que la longitud de las líneas diagonales está relacionada con el tiempo en que los segmentos de la trayectoria del espacio de fase corren paralelos, es decir, con el comportamiento de divergencia de las trayectorias, a veces se afirmó que el recíproco de la longitud máxima de las líneas diagonales (sin LOI ) sería un estimador del exponente máximo positivo de Lyapunov del sistema dinámico. Por lo tanto, la longitud máxima de la línea diagonal o la divergencia ${\displaystyle L_{\max }}$

${\displaystyle DIV={\frac {1}{L_{\max }}}}$

También son medidas del RQA. Sin embargo, la relación entre estas medidas con el exponente de Lyapunov máximo positivo no es tan fácil como se ha dicho, sino aún más compleja (para calcular el exponente de Lyapunov a partir de un RP, se debe considerar toda la distribución de frecuencias de las líneas diagonales). La divergencia puede tener la tendencia del exponente máximo positivo de Lyapunov, pero no más. Además, también los RP de procesos de ruido blanco pueden tener una línea diagonal muy larga, aunque muy raramente, sólo por una probabilidad finita. Por tanto, la divergencia no puede reflejar el exponente máximo de Lyapunov.

La probabilidad de que una línea diagonal tenga exactamente la longitud se puede estimar a partir de la distribución de frecuencias con . La entropía de Shannon de esta probabilidad, ${\displaystyle p(\ell )}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle P(\ell )}$ ${\displaystyle p(\ell )={\frac {P(\ell )}{\sum _{\ell =l_{\min }}^{N}P(\ell )}}}$

${\displaystyle {\text{ENTR}}=-\sum _{\ell =\ell _{\min }}^{N}p(\ell )\ln p(\ell ),}$

refleja la complejidad de la estructura determinista del sistema. Sin embargo, esta entropía depende sensiblemente del número de bin y, por lo tanto, puede diferir para diferentes realizaciones del mismo proceso, así como para diferentes preparaciones de datos.

La última medida del RQA cuantifica la reducción del gráfico de recurrencia. La tendencia es el coeficiente de regresión de una relación lineal entre la densidad de puntos de recurrencia en una línea paralela a la LOI y su distancia a la LOI. Más exactamente, considere la tasa de recurrencia en una línea diagonal paralela a la LOI de distancia k ( tasa de recurrencia en diagonal o tasa de recurrencia τ ):

${\displaystyle {\text{RR}}_{k}={\frac {1}{N-k}}\sum _{j-i=k}^{N-k}{R}(i,j),}$

entonces la tendencia está definida por

${\displaystyle {\text{TREND}}={\frac {\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)(RR_{i}-\langle RR_{i}\rangle )}{\sum _{i=1}^{\tilde {N}}(i-{\tilde {N}}/2)^{2}}},}$

con como valor promedio y . Esta última relación debería garantizar que se eviten los efectos de borde de densidades de puntos de recurrencia demasiado bajas en los bordes del gráfico de recurrencia. La tendencia de la medida proporciona información sobre la estacionariedad del sistema. ${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\tilde {N}}<N}$

De manera similar a la tasa de recurrencia, las otras medidas basadas en las líneas diagonales (DET, L, ENTR) se pueden definir en diagonal. Estas definiciones son útiles para estudiar las interrelaciones o la sincronización entre diferentes sistemas (utilizando gráficos de recurrencia o gráficos de recurrencia cruzada ). ${\displaystyle \tau }$

RQA dependiente del tiempo

En lugar de calcular las medidas RQA de todo el gráfico de recurrencia, se pueden calcular en pequeñas ventanas que se mueven sobre el gráfico de recurrencia a lo largo de la LOI. Esto proporciona medidas RQA dependientes del tiempo que permiten detectar, por ejemplo, transiciones caos-caos (Marwan et al. 2002). Nota: la elección del tamaño de la ventana puede influir fuertemente en la tendencia de la medida .

Ejemplo

Diagrama de bifurcación del mapa Logístico.

Medidas RQA del mapa logístico para diversos ajustes del parámetro de control a. Las medidas RR y DET exhiben máximos en las transiciones caos-orden/orden-caos. La medida DIV tiene una tendencia similar a la del exponente máximo de Lyapunov (¡pero no es lo mismo!). La medida LAM tiene máximos en las transiciones caos-caos ( fases laminares , intermitencia ).

Ver también

• Gráfico de recurrencia , una poderosa herramienta de visualización de recurrencias en sistemas dinámicos (y otros).
• Entropía de densidad del período de recurrencia , un método teórico de la información para resumir las propiedades de recurrencia de sistemas dinámicos tanto deterministas como estocásticos.
• Entropía aproximada

Otras lecturas

• Marwan, N. (2008). "Una revisión histórica de los gráficos de recurrencia". Revista Física Europea ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Código Bib : 2008EPJST.164....3M. doi :10.1140/epjst/e2008-00829-1. S2CID  119494395.
• Marwan, N., Romano, MC, Thiel, M., Kurths, J. (2007). "Gráficos de recurrencia para el análisis de sistemas complejos". Informes de Física . 438 (5–6): 237–329. Código bibliográfico : 2007PhR...438..237M. doi :10.1016/j.physrep.2006.11.001.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Marwan, N., Wessel, N., Meyerfeldt, U., Schirdewan, A., Kurths, J. (2002). "Medidas de complejidad basadas en gráficos de recurrencia y su aplicación a los datos de variabilidad de la frecuencia cardíaca". Revisión física E. 66 (2): 026702. arXiv : física/0201064 . Código bibliográfico : 2002PhRvE..66b6702M. doi : 10.1103/PhysRevE.66.026702. PMID  12241313. S2CID  14803032.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Marwan, N., Kurths, J. (2002). "Análisis no lineal de datos bivariados con gráficos de recurrencia cruzada". Letras de Física A. 302 (5–6): 299–307. arXiv : física/0201061 . Código bibliográfico : 2002PhLA..302..299M. doi :10.1016/S0375-9601(02)01170-2. S2CID  8020903.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Webber Jr., CL, Zbilut, JP (1994). "Evaluación dinámica de sistemas y estados fisiológicos mediante estrategias de gráficos de recurrencia". Revista de fisiología aplicada . 76 (2): 965–973. doi :10.1152/jappl.1994.76.2.965. PMID  8175612.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Zbilut, JP, Webber Jr., CL (1992). "Incrustaciones y retrasos derivados de la cuantificación de gráficos de recurrencia". Letras de Física A. 171 (3–4): 199–203. Código bibliográfico : 1992PhLA..171..199Z. doi :10.1016/0375-9601(92)90426-M.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Pratyasa Bhui; Nilanjan Senroy (2016). "Aplicación del análisis de cuantificación de recurrencia a estudios dinámicos de sistemas de energía". Transacciones IEEE sobre sistemas de energía . 31 (1): 581–591. Código Bib : 2016ITPSy..31..581B. doi :10.1109/TPWRS.2015.2407894. S2CID  19049274.Papel no. TPWRS-01211-2014
• Girault, J.-M. (2015). "Recurrencia y simetría de series temporales: aplicación a la detección de transiciones" (PDF) . Caos, solitones y fractales . 77 : 11–28. Código Bib : 2015CSF....77...11G. doi :10.1016/j.caos.2015.04.010.

enlaces externos

• http://www.recurrence-plot.tk/