Dimensión de correlación

En la teoría del caos , la dimensión de correlación (denotada por ν ) es una medida de la dimensionalidad del espacio ocupado por un conjunto de puntos aleatorios, a menudo denominada un tipo de dimensión fractal . ^{[1] [2] [3]}

Por ejemplo, si tenemos un conjunto de puntos aleatorios en la línea de números reales entre 0 y 1, la dimensión de correlación será ν  = 1, mientras que si están distribuidos en, digamos, un triángulo incrustado en un espacio tridimensional (o espacio m -dimensional), la dimensión de correlación será ν  = 2. Esto es lo que esperaríamos intuitivamente de una medida de dimensión. La utilidad real de la dimensión de correlación está en la determinación de las dimensiones (posiblemente fraccionarias) de los objetos fractales. Hay otros métodos de medición de la dimensión (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión de conteo de cajas y la dimensión de información ), pero la dimensión de correlación tiene la ventaja de ser calculada de manera directa y rápida, de ser menos ruidosa cuando solo hay disponible un pequeño número de puntos y, a menudo, está de acuerdo con otros cálculos de dimensión.

Para cualquier conjunto de N puntos en un espacio m -dimensional

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=[x_{1}(i),x_{2}(i),\ldots ,x_{m}(i)],\qquad i=1,2,\ldots N}$

Entonces la integral de correlación C ( ε ) se calcula mediante:

${\displaystyle C(\varepsilon )=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {g}{N^{2}}}}$

donde g es el número total de pares de puntos que tienen una distancia entre ellos menor que la distancia ε (una representación gráfica de estos pares cercanos es el gráfico de recurrencia ). Como el número de puntos tiende a infinito y la distancia entre ellos tiende a cero, la integral de correlación, para valores pequeños de  ε , tomará la forma:

${\displaystyle C(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\nu }}$

Si el número de puntos es suficientemente grande y está distribuido de manera uniforme, un gráfico logarítmico de la integral de correlación en función de ε arrojará una estimación de  ν . Esta idea se puede entender de manera cualitativa si se tiene en cuenta que, en el caso de objetos de dimensiones superiores, habrá más formas de que los puntos estén cerca unos de otros, por lo que el número de pares cercanos aumentará más rápidamente en el caso de dimensiones superiores.

Grassberger y Procaccia introdujeron la técnica en 1983; ^[1] el artículo proporciona los resultados de dichas estimaciones para una serie de objetos fractales, así como la comparación de los valores con otras medidas de dimensión fractal. La técnica se puede utilizar para distinguir entre el comportamiento caótico (determinista) y el comportamiento verdaderamente aleatorio, aunque puede no ser buena para detectar el comportamiento determinista si el mecanismo de generación determinista es muy complejo. ^[4]

A modo de ejemplo, en el artículo "El Sol en el Tiempo", ^[5] se utilizó el método para demostrar que el número de manchas solares en el Sol , después de tener en cuenta los ciclos conocidos, como el diario y el de 11 años, muy probablemente no sea ruido aleatorio, sino más bien ruido caótico, con un atractor fractal de baja dimensión.

Véase también

• Teorema de Takens
• Integral de correlación
• Análisis de cuantificación de recurrencia
• Entropía aproximada

Notas

1. Peter Grassberger e Itamar Procaccia (1983). "Medición de la extrañeza de los atractores extraños". Physica D: Nonlinear Phenomena . 9 (1‒2): 189‒208. Bibcode :1983PhyD....9..189G. doi :10.1016/0167-2789(83)90298-1.
2. Peter Grassberger e Itamar Procaccia (1983). "Caracterización de atractores extraños". Physical Review Letters . 50 (5): 346‒349. Código Bibliográfico :1983PhRvL..50..346G. doi :10.1103/PhysRevLett.50.346.
3. Peter Grassberger (1983). "Dimensiones generalizadas de atractores extraños". Physics Letters A . 97 (6): 227‒230. Código Bibliográfico :1983PhLA...97..227G. doi :10.1016/0375-9601(83)90753-3.
4. DeCoster, Gregory P.; Mitchell, Douglas W. (1991). "La eficacia de la técnica de dimensión de correlación en la detección de determinismo en muestras pequeñas". Journal of Statistical Computation and Simulation . 39 (4): 221–229. doi :10.1080/00949659108811357.
5. Sonett, C., Giampapa, M. y Matthews, M. (Eds.) (1992). El sol en el tiempo . University of Arizona Press . ISBN 0-8165-1297-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)