Punto de equilibrio hiperbólico

En el estudio de sistemas dinámicos , un punto de equilibrio hiperbólico o punto fijo hiperbólico es un punto fijo que no tiene ninguna variedad central . Cerca de un punto hiperbólico , las órbitas de un sistema bidimensional no disipativo se parecen a hipérbolas. Esto no se cumple en general. Strogatz señala que "hiperbólico es un nombre desafortunado -suena como si debiera significar ' punto de silla'- pero se ha vuelto estándar". ^[1] Varias propiedades se cumplen en torno a un punto hiperbólico, en particular ^[2]

Órbitas cercanas a un punto de silla bidimensional, un ejemplo de equilibrio hiperbólico.

• Existe una variedad estable y una variedad inestable,
• Se produce sombreado ,
• La dinámica del conjunto invariante se puede representar mediante dinámica simbólica ,
• Una medida natural se puede definir,
• El sistema es estructuralmente estable .

Mapas

Si es un mapa C ^{1 y} p es un punto fijo , entonces se dice que p es un punto fijo hiperbólico cuando la matriz jacobiana no tiene valores propios en el círculo unitario complejo. ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

Un ejemplo de un mapa cuyo único punto fijo es hiperbólico es el mapa del gato de Arnold :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

Dado que los valores propios se dan por

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Sabemos que los exponentes de Lyapunov son:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

Por lo tanto, es un punto de silla.

Flujos

Sea un campo vectorial C ¹ con un punto crítico p , es decir, F ( p ) = 0, y sea J la matriz jacobiana de F en p . Si la matriz J no tiene valores propios con partes reales cero, entonces p se denomina hiperbólico . Los puntos fijos hiperbólicos también pueden denominarse puntos críticos hiperbólicos o puntos críticos elementales . ^[3] ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

El teorema de Hartman-Grobman establece que la estructura orbital de un sistema dinámico en las proximidades de un punto de equilibrio hiperbólico es topológicamente equivalente a la estructura orbital del sistema dinámico linealizado .

Ejemplo

Consideremos el sistema no lineal

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) es el único punto de equilibrio. La matriz jacobiana de la linealización en el punto de equilibrio es

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

Los valores propios de esta matriz son . Para todos los valores de α  ≠ 0, los valores propios tienen una parte real distinta de cero. Por lo tanto, este punto de equilibrio es un punto de equilibrio hiperbólico. El sistema linealizado se comportará de manera similar al sistema no lineal cerca de (0, 0). Cuando α  = 0, el sistema tiene un equilibrio no hiperbólico en (0, 0). ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

Comentarios

En el caso de un sistema de dimensión infinita (por ejemplo, sistemas que implican un retraso temporal), la noción de "parte hiperbólica del espectro" se refiere a la propiedad mencionada anteriormente.

Véase también

• Flujo de Anosov
• Conjunto hiperbólico
• Variedad invariante normalmente hiperbólica

Notas

1. Strogatz, Steven (2001). Dinámica no lineal y caos . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.
2. Ott, Edward (1994). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43799-7.
3. Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.

Referencias

• Eugene M. Izhikevich (ed.). "Equilibrio". Scholarpedia .