En matemáticas , la dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades cualitativas y asintóticas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .
El objeto central de estudio en dinámica topológica es un sistema dinámico topológico , es decir, un espacio topológico , junto con una transformación continua , un flujo continuo o, más generalmente, un semigrupo de transformaciones continuas de ese espacio. Los orígenes de la dinámica topológica se encuentran en el estudio de las propiedades asintóticas de las trayectorias de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas , en particular, el comportamiento de los conjuntos límite y varias manifestaciones de "repetitividad" del movimiento, como trayectorias periódicas, recurrencia y minimalidad, estabilidad, puntos no errantes . George Birkhoff es considerado el fundador del campo. Un teorema de estructura para flujos distales mínimos demostrado por Hillel Furstenberg a principios de la década de 1960 inspiró mucho trabajo sobre la clasificación de flujos mínimos. Una gran cantidad de investigación en la década de 1970 y 1980 se dedicó a la dinámica topológica de aplicaciones unidimensionales, en particular, autoaplicaciones lineales por partes del intervalo y el círculo.
A diferencia de la teoría de sistemas dinámicos suaves, donde el objeto principal de estudio es una variedad suave con un difeomorfismo o un flujo suave, los espacios de fases considerados en dinámica topológica son espacios métricos generales (usualmente, compactos ). Esto requiere el desarrollo de técnicas completamente diferentes, pero permite un grado adicional de flexibilidad incluso en el entorno suave, porque los subconjuntos invariantes de una variedad son frecuentemente muy complicados topológicamente (cf ciclo límite , atractor extraño ); además, los espacios de desplazamiento que surgen a través de representaciones simbólicas pueden considerarse en igualdad de condiciones con acciones más geométricas. La dinámica topológica tiene conexiones íntimas con la teoría ergódica de sistemas dinámicos, y muchos conceptos fundamentales de esta última tienen análogos topológicos (cf entropía de Kolmogorov-Sinai y entropía topológica ).