Traducción (geometría)

Movimiento plano dentro de un espacio euclidiano sin rotación.

Una traslación mueve cada punto de una figura o un espacio en la misma cantidad en una dirección determinada.

En geometría euclidiana , una traslación es una transformación geométrica que mueve cada punto de una figura, forma o espacio la misma distancia en una dirección determinada. Una traslación también se puede interpretar como la suma de un vector constante a cada punto, o como un desplazamiento del origen del sistema de coordenadas . En un espacio euclidiano , cualquier traslación es una isometría .

Como una función

Si es un vector fijo, conocido como vector de traducción , y es la posición inicial de algún objeto, entonces la función de traducción funcionará como . ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Si es una traducción, entonces la imagen de un subconjunto bajo la función es la traducción de by . La traducción de por se escribe a menudo . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {v} }}$ ${\displaystyle A+\mathbf {v} }$

Traducciones horizontales y verticales

En geometría , una traslación vertical (también conocida como desplazamiento vertical ) es una traslación de un objeto geométrico en una dirección paralela al eje vertical del sistema de coordenadas cartesiano . ^{[1] [2] [3]}

Las gráficas de diferentes antiderivadas, F _n ( x ) =  x ³  − 2x + c, de la función f ( x ) = 3 x ²  − 2. Todas las gráficas son traslaciones verticales entre sí.

A menudo, se consideran traslaciones verticales para la gráfica de una función . Si f es cualquier función de  x , entonces la gráfica de la función f ( x ) +  c (cuyos valores se obtienen sumando una constante c a los valores de f ) se puede obtener mediante una traslación vertical de la gráfica de f ( x ) por distancia c . Por esta razón, la función f ( x ) +  c a veces se denomina traslación vertical de f ( x ). ^[4] Por ejemplo, todas las antiderivadas de una función difieren entre sí por una constante de integración y, por lo tanto, son traslaciones verticales entre sí. ^[5]

En la gráfica de funciones , una traslación horizontal es una transformación que da como resultado una gráfica que equivale a desplazar la gráfica base hacia la izquierda o hacia la derecha en la dirección del eje x . Una gráfica se traslada k unidades horizontalmente moviendo cada punto de la gráfica k unidades horizontalmente.

Para la función base f ( x ) y una constante k , la función dada por g ( x ) =  f ( x  −  k ) se puede bosquejar f ( x ) desplazada k unidades horizontalmente.

Si se habló de la transformación de funciones en términos de transformaciones geométricas, puede quedar más claro por qué las funciones se trasladan horizontalmente de la forma en que lo hacen. Al abordar traducciones en el plano cartesiano es natural introducir traducciones en este tipo de notación:

${\displaystyle (x,y)\rightarrow (x+a,y+b)}$

o

${\displaystyle T(x,y)=(x+a,y+b)}$

donde y son cambios horizontales y verticales respectivamente. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Ejemplo

Tomando la parábola y  =  x ² , una traslación horizontal de 5 unidades hacia la derecha estaría representada por T ( x ,  y ) = ( x + 5, y ). Ahora debemos conectar esta notación de transformación con una notación algebraica. Considere el punto ( a ,  b ) de la parábola original que se mueve al punto ( c ,  d ) de la parábola trasladada. Según nuestra traducción, c  = a + 5 y d  = b . El punto de la parábola original era b  = a ² . Nuestro nuevo punto se puede describir relacionando d y c en la misma ecuación. b  = d y a  = c  − 5. Entonces d  = b  = a ²  = ( c  − 5) ² . Como esto es cierto para todos los puntos de nuestra nueva parábola, la nueva ecuación es y  = ( x  − 5) ² .

Aplicación en física clásica

En física clásica , el movimiento de traslación es un movimiento que cambia la posición de un objeto, a diferencia de la rotación . Por ejemplo, según Whittaker: ^[6]

Si un cuerpo se mueve de una posición a otra, y si las líneas que unen los puntos inicial y final de cada uno de los puntos del cuerpo son un conjunto de rectas paralelas de longitud ℓ , de modo que la orientación del cuerpo en el espacio es inalterado, el desplazamiento se llama traslación paralela a la dirección de las líneas, a través de una distancia ℓ .

—  ET Whittaker , Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos , p. 1

Una traslación es la operación que cambia las posiciones de todos los puntos de un objeto según la fórmula ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

donde es el mismo vector para cada punto del objeto. El vector de traslación común a todos los puntos del objeto describe un tipo particular de desplazamiento del objeto, generalmente llamado desplazamiento lineal para distinguirlo de los desplazamientos que involucran rotación, llamados desplazamientos angulares . ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$

Al considerar el espacio-tiempo , un cambio de coordenada temporal se considera una traslación.

como operador

El operador de traducción convierte una función de la posición original, en una función de la posición final . En otras palabras, se define de manera que este operador es más abstracto que una función, ya que define una relación entre dos funciones, en lugar de los propios vectores subyacentes. El operador de traducción puede actuar sobre muchos tipos de funciones, como cuando el operador de traducción actúa sobre una función de onda , lo cual se estudia en el campo de la mecánica cuántica. ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$ ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

Como un grupo

El conjunto de todas las traslaciones forma el grupo de traslación , que es isomorfo al espacio mismo, y un subgrupo normal del grupo euclidiano . El grupo cociente de by es isomorfo al grupo ortogonal : ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle E(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

Como la traducción es conmutativa , el grupo de traducción es abeliano . Hay un número infinito de traducciones posibles, por lo que el grupo de traducción es un grupo infinito .

En la teoría de la relatividad , debido al tratamiento del espacio y el tiempo como un solo espacio-tiempo , las traslaciones también pueden referirse a cambios en la coordenada temporal . Por ejemplo, el grupo galileano y el grupo de Poincaré incluyen traslaciones con respecto al tiempo.

Grupos de celosía

Un tipo de subgrupo del grupo de traducción tridimensional son los grupos de red , que son grupos infinitos , pero a diferencia de los grupos de traducción, se generan de forma finita . Es decir, un grupo electrógeno finito genera todo el grupo.

Representación matricial

Una traslación es una transformación afín sin puntos fijos . Las multiplicaciones de matrices siempre tienen el origen como punto fijo. Sin embargo, existe una solución común que utiliza coordenadas homogéneas para representar una traslación de un espacio vectorial con multiplicación de matrices : escriba el vector tridimensional utilizando 4 coordenadas homogéneas como . ^[7] ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

Para traducir un objeto por un vector , cada vector homogéneo (escrito en coordenadas homogéneas) se puede multiplicar por esta matriz de traducción : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

La inversa de una matriz de traslación se puede obtener invirtiendo la dirección del vector:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

De manera similar, el producto de matrices de traducción se obtiene sumando los vectores:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Debido a que la suma de vectores es conmutativa , la multiplicación de matrices de traducción también es conmutativa (a diferencia de la multiplicación de matrices arbitrarias).

Traducción de ejes

Si bien la traslación geométrica a menudo se considera un proceso activo que cambia la posición de un objeto geométrico, se puede lograr un resultado similar mediante una transformación pasiva que mueve el sistema de coordenadas pero deja el objeto fijo. La versión pasiva de una traslación geométrica activa se conoce como traslación de ejes .

Simetría traslacional

Se dice que un objeto que se ve igual antes y después de la traducción tiene simetría traslacional . Un ejemplo común es una función periódica , que es una función propia de un operador de traducción.

Aplicaciones

Dinámica del vehículo

Para describir la dinámica de un vehículo (o el movimiento de cualquier cuerpo rígido ), incluida la dinámica de un barco y de una aeronave , es común utilizar un modelo mecánico que consta de seis grados de libertad , que incluye traslaciones a lo largo de tres ejes de referencia, así como rotaciones alrededor de esos tres. ejes.

Estas traducciones a menudo se llaman:

• Oleaje , traslación a lo largo del eje longitudinal (hacia adelante o hacia atrás)
• Balanceo , traslación a lo largo del eje transversal (de lado a lado)
• Heave , traslación a lo largo del eje vertical (desplazarse hacia arriba o hacia abajo).

Las rotaciones correspondientes suelen denominarse:

• rodar , sobre el eje longitudinal
• paso , alrededor del eje transversal
• guiñada , alrededor del eje vertical.

Ver también

• Gráficos por computadora en 2D#Traducción
• advección
• Transporte paralelo
• Matriz de rotación
• Escalado (geometría)
• Matriz de transformación
• Simetría traslacional

Referencias

1. De Berg, Mark; Cheong, Otfried; Van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008), Algoritmos y aplicaciones de geometría computacional, Berlín: Springer , p. 91, doi :10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN 978-3-540-77973-5.
2. Smith, James T. (2011), Métodos de geometría, John Wiley & Sons, p. 356, ISBN 9781118031032.
3. Faulkner, John R. (2014), El papel del álgebra no asociativa en la geometría proyectiva, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 159, Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 13, ISBN 9781470418496.
4. Dougherty, Edward R.; Astol, Jaakko (1999), Filtros no lineales para procesamiento de imágenes, serie SPIE/IEEE sobre ciencia e ingeniería de imágenes, vol. 59, Prensa SPIE, pág. 169, ISBN 9780819430335.
5. Zill, Dennis; Wright, Warren S. (2009), Cálculo de una sola variable: trascendentales tempranos, Jones & Bartlett Learning, pág. 269, ISBN 9780763749651.
6. Edmund Taylor Whittaker (1988). Tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos (Reimpresión de la cuarta edición de 1936 con prólogo de William McCrea ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 1.ISBN _ 0-521-35883-3.
7. Richard Paul, 1981, Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control por computadora de manipuladores de robots, MIT Press, Cambridge, MA

Otras lecturas

• Zazkis, R., Liljedahl, P. y Gadowsky, K. Concepciones de traducción de funciones: obstáculos, intuiciones y desvíos. Revista de comportamiento matemático, 22, 437-450. Obtenido el 29 de abril de 2014 de www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformaciones de gráficas: traslaciones horizontales. (2006, 1 de enero). BioMath: Transformación de Gráficos. Consultado el 29 de abril de 2014.

enlaces externos

• Transformación de traducción al cortar el nudo
• Traducción geométrica (animación interactiva) en Math Is Fun
• Comprensión de la traducción 2D y comprensión de la traducción 3D por Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project .