Teoría de la representación del grupo de Lorentz.

Representación del grupo de simetría del espacio-tiempo en la relatividad especial

Hendrik Antoon Lorentz (derecha), que da nombre al grupo de Lorentz , y Albert Einstein , cuya teoría especial de la relatividad es la principal fuente de aplicación. Foto tomada por Paul Ehrenfest 1921.

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de simetrías del espaciotiempo de la relatividad especial . Este grupo se puede realizar como una colección de matrices , transformaciones lineales u operadores unitarios en algún espacio de Hilbert ; tiene una variedad de representaciones . ^{[nb 1]} Este grupo es significativo porque la relatividad especial junto con la mecánica cuántica son las dos teorías físicas más completamente establecidas, ^{[nb 2]} y la conjunción de estas dos teorías es el estudio de las representaciones unitarias de dimensión infinita de Lorentz. grupo. Estos tienen importancia histórica en la física convencional, así como conexiones con teorías actuales más especulativas.

Desarrollo

La teoría completa de las representaciones de dimensión finita del álgebra de Lie del grupo de Lorentz se deduce utilizando el marco general de la teoría de representaciones de álgebras de Lie semisimples . Las representaciones de dimensión finita del componente conectado del grupo de Lorentz completo O (3; 1) se obtienen empleando la correspondencia de Lie y la matriz exponencial . La teoría completa de representación de dimensión finita del grupo de cobertura universal (y también el grupo de espín , una doble cobertura) de se obtiene y se da explícitamente en términos de acción en un espacio funcional en representaciones de SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} y s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Los representantes de la inversión del tiempo y la inversión del espacio se dan en inversión del espacio y en inversión del tiempo, completando la teoría de dimensión finita para el grupo de Lorentz completo. Se describen las propiedades generales de las representaciones (m, n). Se considera la acción sobre espacios funcionales, apareciendo como ejemplos la acción sobre armónicos esféricos y las funciones P de Riemann. El caso de dimensión infinita de representaciones unitarias irreductibles se realiza para la serie principal y la serie complementaria . Finalmente, se da la fórmula de Plancherel y se clasifican y realizan representaciones de SO(3, 1) para álgebras de Lie. ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

El desarrollo de la teoría de la representación ha seguido históricamente el desarrollo de la teoría más general de la teoría de la representación de grupos semisimples , en gran parte debido a Élie Cartan y Hermann Weyl , pero el grupo de Lorentz también ha recibido especial atención debido a su importancia en la física. Los contribuyentes notables son el físico EP Wigner y el matemático Valentine Bargmann con su programa Bargmann-Wigner , ^[1] una de cuyas conclusiones es, aproximadamente, que una clasificación de todas las representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz equivale a una clasificación de todas las ecuaciones de ondas relativistas posibles . ^[2] La clasificación de las representaciones irreductibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz fue establecida por el estudiante de doctorado en física teórica de Paul Dirac , Harish-Chandra , más tarde convertido en matemático, ^{[nb 3]} en 1947. La clasificación correspondiente fue publicada de forma independiente por Bargmann e Israel Gelfand junto con Mark Naimark en el mismo año. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Aplicaciones

Muchas de las representaciones, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita, son importantes en la física teórica. Las representaciones aparecen en la descripción de campos en la teoría de campos clásica , principalmente el campo electromagnético , y de partículas en la mecánica cuántica relativista , así como de partículas y campos cuánticos en la teoría cuántica de campos y de varios objetos en la teoría de cuerdas y más allá. La teoría de la representación también proporciona la base teórica para el concepto de espín . La teoría entra en la relatividad general en el sentido de que en regiones suficientemente pequeñas del espacio-tiempo, la física es la de la relatividad especial. ^[3]

Las representaciones no unitarias irreducibles de dimensión finita junto con las representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita del grupo no homogéneo de Lorentz, el grupo de Poincaré, son las representaciones que tienen relevancia física directa. ^{[4] [5]}

Las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz aparecen por restricción de las representaciones unitarias de dimensión infinita irreducibles del grupo de Poincaré que actúan sobre los espacios de Hilbert de la mecánica cuántica relativista y la teoría cuántica de campos . Pero estos también son de interés matemático y de potencial relevancia física directa en otros roles además del de mera restricción. ^[6] Hubo teorías especulativas, ^{[7] [8]} (los tensores y espinores tienen infinitas contrapartes en los expansores de Dirac y los expinores de Harish-Chandra) consistentes con la relatividad y la mecánica cuántica, pero no han encontrado ninguna aplicación física probada. Las teorías especulativas modernas tienen potencialmente ingredientes similares, según se detalla a continuación.

Teoría clásica de campos

Si bien el campo electromagnético, junto con el campo gravitacional, son los únicos campos clásicos que proporcionan descripciones precisas de la naturaleza, otros tipos de campos clásicos también son importantes. En el enfoque de la teoría cuántica de campos (QFT) denominado segunda cuantificación , el punto de partida es uno o más campos clásicos, donde, por ejemplo, las funciones de onda que resuelven la ecuación de Dirac se consideran campos clásicos antes de la (segunda) cuantificación. ^[9] Si bien la segunda cuantificación y el formalismo lagrangiano asociado a ella no es un aspecto fundamental de QFT, ^[10] es cierto que hasta ahora todas las teorías cuánticas de campos pueden abordarse de esta manera, incluido el modelo estándar . ^[11] En estos casos, existen versiones clásicas de las ecuaciones de campo que se derivan de las ecuaciones de Euler-Lagrange derivadas del lagrangiano utilizando el principio de mínima acción . Estas ecuaciones de campo deben ser relativistas invariantes y sus soluciones (que calificarán como funciones de onda relativistas según la definición siguiente) deben transformarse bajo alguna representación del grupo de Lorentz.

La acción del grupo de Lorentz sobre el espacio de configuraciones de campo (una configuración de campo es la historia espacio-temporal de una solución particular, por ejemplo, el campo electromagnético en todo el espacio a lo largo de todo el tiempo es una configuración de campo) se asemeja a la acción sobre los espacios de Hilbert de la tecnología cuántica. mecánica, excepto que los soportes del conmutador se reemplazan por soportes de Poisson teóricos de campo . ^[9]

Mecánica cuántica relativista

Para los presentes propósitos se hace la siguiente definición: ^[12] Una función de onda relativista es un conjunto de n funciones ψ ^α en el espacio-tiempo que se transforma bajo una transformación arbitraria propia de Lorentz Λ como

$${\displaystyle \psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),}$$

donde D [Λ] es una matriz de n dimensiones representativa de Λ que pertenece a alguna suma directa de las representaciones ( m , n ) que se presentarán a continuación.

Las teorías de una partícula de la mecánica cuántica relativista más útiles (no existen teorías de este tipo totalmente consistentes) son la ecuación de Klein-Gordon ^[13] y la ecuación de Dirac ^[14] en su configuración original. Son relativistas invariantes y sus soluciones se transforman bajo el grupo de Lorentz como escalares de Lorentz ( ( m , n ) = (0, 0) ) y bispinores respectivamente ( (0,1/2) ⊕ (1/2, 0) ). El campo electromagnético es una función de onda relativista según esta definición, que se transforma bajo (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[15]

Las representaciones de dimensión infinita se pueden utilizar en el análisis de la dispersión. ^[dieciséis]

Teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos , la exigencia de invariancia relativista entra, entre otras cosas, en el sentido de que la matriz S necesariamente debe ser invariante de Poincaré. ^[17] Esto tiene la implicación de que hay una o más representaciones de dimensión infinita del grupo de Lorentz actuando en el espacio de Fock . ^{[nb 4]} Una forma de garantizar la existencia de tales representaciones es la existencia de una descripción lagrangiana (con requisitos modestos impuestos, ver la referencia) del sistema utilizando el formalismo canónico, a partir del cual se puede realizar una realización de los generadores del grupo de Lorentz. ser deducido. ^[18]

Las transformaciones de los operadores de campo ilustran el papel complementario desempeñado por las representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz y las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Poincaré, testimoniando la profunda unidad entre las matemáticas y la física. ^[19] A modo de ilustración, considere la definición de operador de campo de n componentes : ^[20] Un operador de campo relativista es un conjunto de n funciones valoradas por operadores en el espacio-tiempo que se transforma bajo transformaciones de Poincaré adecuadas (Λ, a ) según ^{[21] [ 22]}

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)}$$

Aquí U [Λ, a] es el operador unitario que representa (Λ, a) en el espacio de Hilbert en el que se define Ψ y D es una representación n -dimensional del grupo de Lorentz. La regla de transformación es el segundo axioma de Wightman de la teoría cuántica de campos.

Por consideraciones de restricciones diferenciales a las que debe estar sujeto el operador de campo para describir una sola partícula con masa m y espín s (o helicidad) definidos, se deduce que ^{[23] [nb 5]}

donde a ^† , a se interpretan como operadores de creación y aniquilación respectivamente. El operador de creación a ^† se transforma según ^{[23] [24]}

$${\displaystyle a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$$

y lo mismo ocurre con el operador de aniquilación. El punto a destacar es que el operador de campo se transforma según una representación no unitaria de dimensión finita del grupo de Lorentz, mientras que el operador de creación se transforma bajo la representación unitaria de dimensión infinita del grupo de Poincaré caracterizado por la masa y el espín ( m , s ) de la partícula. La conexión entre ambos son las funciones de onda , también llamadas funciones de coeficientes.

$${\displaystyle u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}}$$

que llevan tanto los índices ( x , α ) operados por transformaciones de Lorentz como los índices ( p , σ ) operados por transformaciones de Poincaré. A esto se le puede llamar conexión Lorentz-Poincaré. ^[25] Para exhibir la conexión, someta ambos lados de la ecuación (X1) a una transformación de Lorentz que resulte, por ejemplo, en u ,

$${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$$

donde D es el grupo de Lorentz no unitario representativo de Λ y D ^{( s )} es un representante unitario de la denominada rotación de Wigner R asociada a Λ y p que se deriva de la representación del grupo de Poincaré, y s es el espín de la partícula.

Todas las fórmulas anteriores, incluida la definición del operador de campo en términos de operadores de creación y aniquilación, así como las ecuaciones diferenciales satisfechas por el operador de campo para una partícula con masa, espín y la representación ( m , n ) específicos bajo las cuales se supone que se transforma ^{[nb 6]} , así como el de la función de onda, pueden derivarse únicamente de consideraciones teóricas de grupo una vez que se conocen los marcos de la mecánica cuántica y de la relatividad especial. ^{[nota 7]}

Teorías especulativas

En teorías en las que el espacio-tiempo puede tener más de D = 4 dimensiones, los grupos generalizados de Lorentz O( D − 1; 1) de la dimensión apropiada toman el lugar de O(3; 1) . ^{[nota 8]}

El requisito de la invariancia de Lorentz adquiere quizás su efecto más dramático en la teoría de cuerdas . Las cadenas relativistas clásicas se pueden manejar en el marco lagrangiano utilizando la acción Nambu-Goto . ^[26] Esto da como resultado una teoría relativistamente invariante en cualquier dimensión del espacio-tiempo. ^[27] Pero resulta que la teoría de cuerdas bosónicas abiertas y cerradas (la teoría de cuerdas más simple) es imposible de cuantificar de tal manera que el grupo de Lorentz esté representado en el espacio de estados (un espacio de Hilbert ) a menos que la dimensión del espaciotiempo es 26. ^[28] El resultado correspondiente para la teoría de supercuerdas se deduce nuevamente exigiendo invariancia de Lorentz, pero ahora con supersimetría . En estas teorías, el álgebra de Poincaré se reemplaza por un álgebra de supersimetría que es un álgebra de Lie de grado Z 2 que extiende el álgebra de Poincaré. La estructura de tal álgebra está fijada en gran medida por las exigencias de la invariancia de Lorentz. En particular, los operadores fermiónicos (grado 1 ) pertenecen a (0,1/2) o (1/2, 0) espacio de representación del álgebra de Lorentz Lie (ordinaria). ^[29] La única dimensión posible del espacio-tiempo en tales teorías es 10. ^[30]

Representaciones de dimensión finita

La teoría de la representación de grupos en general, y de los grupos de Lie en particular, es un tema muy rico. El grupo de Lorentz tiene algunas propiedades que lo hacen "agradable" y otras que lo hacen "no muy agradable" dentro del contexto de la teoría de la representación; el grupo es simple y por lo tanto semisimple , pero no está conexo y ninguno de sus componentes está simplemente conexo . Además, el grupo Lorentz no es compacto . ^[31]

Para las representaciones de dimensión finita, la presencia de semisimplicidad significa que el grupo de Lorentz puede abordarse de la misma manera que otros grupos semisimples utilizando una teoría bien desarrollada. Además, todas las representaciones se construyen a partir de las irreducibles , ya que el álgebra de Lie posee la propiedad de reducibilidad completa . ^{[nb 9] [32]} Pero la falta de compacidad del grupo de Lorentz, en combinación con la falta de conectividad simple, no puede abordarse en todos los aspectos como en el marco simple que se aplica a grupos compactos y simplemente conectados. La no compacidad implica, para un grupo de Lie simple conectado, que no existen representaciones unitarias de dimensión finita no triviales . ^[33] La falta de conexión simple da lugar a representaciones de espín del grupo. ^[34] La falta de conexión significa que, para las representaciones del grupo de Lorentz completo, la inversión del tiempo y la inversión de la orientación espacial deben tratarse por separado. ^{[35] [36]}

Historia

El desarrollo de la teoría de la representación de dimensión finita del grupo de Lorentz sigue principalmente al de la teoría de la representación en general. La teoría de la mentira se originó con Sophus Lie en 1873. ^{[37] [38]} En 1888, Wilhelm Killing completó esencialmente la clasificación de las álgebras de Lie simples . ^{[39] [40]} En 1913, Élie Cartan completó el teorema de mayor peso para las representaciones de álgebras de Lie simples, el camino que se seguirá aquí . ^{[41] [42]} Richard Brauer fue durante el período 1935-1938 en gran parte responsable del desarrollo de las matrices de Weyl-Brauer que describen cómo las representaciones de espín del álgebra de Lorentz Lie pueden integrarse en las álgebras de Clifford . ^{[43] [44]} El grupo de Lorentz también ha recibido históricamente especial atención en la teoría de la representación, ver Historia de las representaciones unitarias de dimensión infinita a continuación, debido a su importancia excepcional en la física. Los matemáticos Hermann Weyl ^{[41] [45] [37] [46] [47]} y Harish-Chandra ^{[48] [49]} y los físicos Eugene Wigner ^{[50] [51]} y Valentine Bargmann ^{[52] [53] [54]} Hizo contribuciones sustanciales tanto a la teoría general de la representación como, en particular, al grupo de Lorentz. ^[55] El físico Paul Dirac fue quizás el primero en unir manifiestamente todo en una aplicación práctica de gran importancia duradera con la ecuación de Dirac en 1928. ^{[56] [57] [nb 10]}

El álgebra de la mentira

Wilhelm Killing , descubridor independiente de las álgebras de Lie . Las álgebras de Lie simples fueron clasificadas por primera vez por él en 1888.

Esta sección aborda las representaciones lineales complejas irreducibles de la complejización del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Una base conveniente para está dada por los tres generadores Ji de rotaciones y los tres generadores Ki _{de impulsos} . Se dan explícitamente en convenciones y bases del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

El álgebra de Lie se complejiza y se cambia la base a los componentes de sus dos ideales ^[58]

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.}$$

Los componentes de A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ ) y B = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ ) satisfacen por separado las relaciones de conmutación del álgebra de Lie y, además, conmutan entre sí, ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$$

donde i ,  j ,  k son índices, cada uno de los cuales toma valores 1, 2, 3 , y ε _ijk es el símbolo tridimensional de Levi-Civita . Sea y denote el tramo lineal complejo de A y B respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$

Se tienen los isomorfismos ^{[60] [nb 11]}

¿Dónde está la complejización de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .}$

La utilidad de estos isomorfismos proviene del hecho de que se conocen todas las representaciones irreducibles de ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ y, por tanto, todas las representaciones lineales complejas irreducibles de . La representación lineal compleja irreducible de es isomorfa a una de las representaciones de mayor peso . Éstos se dan explícitamente en representaciones lineales complejas de s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

El truco unitario

Hermann Weyl , inventor del truco unitario . Hay varios conceptos y fórmulas en la teoría de la representación que llevan el nombre de Weyl, por ejemplo, el grupo Weyl y la fórmula del carácter de Weyl .

Foto cortesía de ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv ^{[ enlace muerto permanente ]}

El álgebra de Lie es el álgebra de Lie de Contiene el subgrupo compacto SU(2) × SU(2) con álgebra de Lie Esta última es una forma real compacta de Por lo tanto, a partir del primer enunciado del truco unitario, representaciones de SU(2) × SU(2) están en correspondencia uno a uno con representaciones holomorfas de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Por compacidad, el teorema de Peter-Weyl se aplica a SU(2) × SU(2) , ^[61] y, por tanto, se puede apelar a la ortonormalidad de caracteres irreducibles . Las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) × SU(2) son precisamente los productos tensoriales de las representaciones unitarias irreducibles de SU(2) . ^[62]

Apelando a la simple conexión, se aplica la segunda afirmación del truco unitario. Los objetos de la siguiente lista están en correspondencia uno a uno:

• Representaciones holomorfas de ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• Representaciones suaves de SU(2) × SU(2)
• Representaciones lineales reales de ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• Representaciones lineales complejas de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Los productos tensoriales de representaciones aparecen en el nivel de álgebra de Lie como cualquiera de ^{[nb 12]}

donde Id es el operador de identidad. Aquí se pretende la última interpretación, que se desprende de (G6) . Las representaciones de mayor peso están indexadas por μ para μ = 0, 1/2, 1, .... (Los pesos más altos son en realidad 2 μ = 0, 1, 2, ... , pero la notación aquí está adaptada a la de ) Los productos tensoriales de dos de estos factores lineales complejos forman las representaciones lineales complejas irreducibles de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Finalmente, las representaciones lineales de las formas reales de la extrema izquierda, y de la extrema derecha, ^{[nb 13]} en (A1) se obtienen a partir de las representaciones lineales de caracterizadas en el párrafo anterior. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Las representaciones ( μ , ν ) de sl(2, C)

Las representaciones lineales complejas de la complejización de obtenidas mediante isomorfismos en (A1) , se corresponden uno a uno con las representaciones lineales reales de ^[63] El conjunto de todas las representaciones lineales irreducibles reales de están indexadas por un par ( μ , ν ) . Las lineales complejas, que corresponden precisamente a la complejización de las representaciones lineales reales, son de la forma ( μ , 0) , mientras que las lineales conjugadas son las (0, ν ) . ^[63] Todos los demás son sólo lineales reales. Las propiedades de linealidad se derivan de la inyección canónica, el extremo derecho en (A1) , o de su complejización. Las representaciones en la forma ( ν , ν ) o ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) están dadas por matrices reales (estas últimas no son irreducibles). Explícitamente, las representaciones lineales reales ( μ , ν ) de son ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$

0, 1, 2, ...(A0 ) ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

Las ( m , n ) -representaciones de so(3; 1)

A través de los isomorfismos mostrados en (A1) y el conocimiento de las representaciones lineales complejas irreducibles de al resolver para J y K , se obtienen todas las representaciones irreducibles de y, por restricción, las de . Las representaciones obtenidas de esta manera son lineales reales (y no lineales complejas o conjugadas) porque el álgebra no está cerrada por conjugación, pero aún así son irreducibles. ^[60] Dado que es semisimple , ^[60] todas sus representaciones pueden construirse como sumas directas de las irreducibles. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Así, las representaciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de Lorentz se clasifican mediante un par ordenado de semienteros m = μ y n = ν , escrito convencionalmente como uno de

$${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$

Vtransformación de similitud^{[nb 14]}

donde 1 _n es la matriz unitaria de n dimensiones y

$${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$

representaciones irreducibles (2 n  + 1)matrices de espínmatrices de momento angular^[64] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$

δdelta de Kronecker− m ≤ a , a′ ≤ m− n ≤ b , b′ ≤ n^[65]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

Representaciones comunes

• La representación (0, 0) es la representación trivial unidimensional y la llevan a cabo las teorías relativistas de campos escalares .
• Los generadores de supersimetría fermiónica se transforman bajo uno de los (0, 1/2) o (1/2, 0) representaciones (espinores de Weyl). ^[29]
• El cuatro momento de una partícula (ya sea sin masa o masiva ) se transforma bajo el (1/2, 1/2) representación, un cuatro vectores.
• Un ejemplo físico de un campo tensor simétrico sin trazas (1,1) es la parte sin trazas ^{[nb 15]} del tensor de energía-momento T ^μν . ^{[66] [nota 16]}

Sumas directas fuera de la diagonal

Dado que para cualquier representación irreducible para la cual m ≠ n es esencial operar sobre el campo de números complejos , la suma directa de las representaciones ( m ,  n ) y ( n ,  m ) tiene particular relevancia para la física, ya que permite utilizar lineales. operadores sobre números reales .

• (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) es la representación bispinor . Véase también el espinor de Dirac y el espinor y bispinor de Weyl a continuación.
• (1, 1/2) ⊕ (1/2, 1) es la representación del campo Rarita-Schwinger .
• (3/2, 0) ⊕ (0,3/2) sería la simetría del hipotético gravitino . ^{[nb 17]} Se puede obtener de (1, 1/2) ⊕ (1/2, 1) representación.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) es la representación de un campo de 2 formas invariante de paridad (también conocido como forma de curvatura ). El tensor del campo electromagnético se transforma bajo esta representación.

El grupo

El enfoque de esta sección se basa en teoremas que, a su vez, se basan en la correspondencia de Lie fundamental . ^[67] La ​​correspondencia de Lie es en esencia un diccionario entre grupos de Lie conectados y álgebras de Lie. ^[68] El vínculo entre ellos es el mapeo exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie, denotado ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}$

Si para algún espacio vectorial V es una representación, una representación Π del componente conexo de G se define por ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

Esta definición se aplica tanto si la representación resultante es proyectiva como si no.

Sobreyectividad del mapa exponencial para SO (3, 1)

Desde un punto de vista práctico, es importante si la primera fórmula de (G2) se puede utilizar para todos los elementos del grupo . Es válido para todos , sin embargo, en el caso general, por ejemplo, para , no todos g ∈ G están en la imagen de exp . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Pero es sobrejetivo. Una forma de demostrar esto es hacer uso del isomorfismo, siendo este último el grupo de Möbius . Es un cociente de (ver el artículo vinculado). El mapa cociente se denota con El mapa está en. ^[69] Aplicar (Lie) siendo π el diferencial de p en la identidad. Entonces ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

Dado que el lado izquierdo es sobreyectivo (tanto exp como p lo son), el lado derecho es sobreyectivo y, por tanto, es sobreyectivo. ^[70] Finalmente, recicle el argumento una vez más, pero ahora con el isomorfismo conocido entre SO(3; 1) ⁺ y encuentre que exp es correcto para el componente conexo del grupo de Lorentz. ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$

grupo fundamental

El grupo de Lorentz está doblemente conexo , es decir, π ₁ (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como elementos.

Prueba

Para exhibir el grupo fundamental de SO(3; 1) ⁺ , se considera la topología de su grupo de cobertura SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}. Según el teorema de la descomposición polar , cualquier matriz puede expresarse de forma única como ^[71] ${\displaystyle \lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \lambda =ue^{h},}$$

donde u es unitario con determinante uno, por lo tanto en SU(2) , y h es hermitiano con traza cero. Las condiciones de seguimiento y determinantes implican: ^[72]

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{aligned}}}$$

El mapa uno a uno manifiestamente continuo es un homeomorfismo con inverso continuo dado por (el lugar geométrico de u se identifica con ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}}$$

exhibiendo explícitamente que está simplemente conectado. Pero ¿ dónde está el centro de ? Identificar λ y − λ equivale a identificar u con − u , lo que a su vez equivale a identificar puntos antípodas en Así, topológicamente, ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}.}$

$${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),}$$

donde el último factor no es simplemente conexo: Geométricamente, se ve (para propósitos de visualización, puede ser reemplazado por ) que un camino de u a − u in es un bucle ya que u y − u son puntos antípodas, y que no es contráctil hasta un punto. Pero un camino de u a − u , de allí a u nuevamente, un bucle y un bucle doble (considerando p ( ue ^h ) = p (− ue ^h ) , donde está el mapa de cobertura) que es contráctil hasta un punto ( alejarse continuamente de − u "arriba" hacia adentro y reducir el camino hasta el punto u ). ^[72] Por lo tanto, π ₁ (SO(3; 1)) es un grupo con dos clases de equivalencia de bucles como elementos, o dicho más simplemente, SO(3; 1) está doblemente conexo . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Representaciones proyectivas

Dado que π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) tiene dos elementos, algunas representaciones del álgebra de Lie producirán representaciones proyectivas . ^{[73] [nb 18]} Una vez que se sabe si una representación es proyectiva, la fórmula (G2) se aplica a todos los elementos del grupo y a todas las representaciones, incluidas las proyectivas, en el entendido de que el representante de un elemento del grupo dependerá de qué elemento en el álgebra de Lie (la X en (G2) ) se utiliza para representar el elemento del grupo en la representación estándar.

Para el grupo de Lorentz, la representación ( m , n ) es proyectiva cuando m + n es un semientero. Ver § Spinores.

Para una representación proyectiva Π de SO(3; 1) ⁺ , se cumple que ^[72]

dado que cualquier bucle en SO(3; 1) ⁺ atravesado dos veces, debido a la doble conexión, es contráctil hasta un punto, de modo que su clase de homotopía es la de un mapa constante. De ello se deduce que Π es una función de doble valor. No es posible elegir consistentemente un signo para obtener una representación continua de todo SO(3; 1) ⁺ , pero esto es posible localmente alrededor de cualquier punto. ^[33]

El grupo de cobertura SL(2, C)

Considere como un álgebra de Lie real con base. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$$

donde las sigmas son las matrices de Pauli . De las relaciones

es obtenido

que tienen exactamente la forma de la versión tridimensional de las relaciones de conmutación (ver convenciones y bases del álgebra de Lie a continuación). Por tanto, el mapa Ji ↔ j _i , K _i ↔ k _i , extendido por linealidad es un isomorfismo _. Dado que es simplemente conexo, es el grupo de cobertura universal de SO(3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Más información sobre la cobertura de grupos en general y la cobertura del grupo Lorentz en particular ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Una vista geométrica

EP Wigner investigó en profundidad el grupo de Lorentz y es conocido por las ecuaciones de Bargmann-Wigner . La realización del grupo de cobertura que se presenta aquí proviene de su artículo de 1939.

Sea p _g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 un camino desde 1 ∈ SO(3; 1) ⁺ hasta g ∈ SO(3; 1) ⁺ , denote su clase de homotopía por [ p _g ] y sea π _g el conjunto de todas esas clases de homotopía. Definir el conjunto

y dotarlo de la operación de multiplicación

¿ Dónde está la multiplicación de caminos de y ? ${\displaystyle p_{12}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

$${\displaystyle p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$$

Con esta multiplicación, G se convierte en un grupo isomorfo a ^[74] el grupo de cobertura universal de SO(3; 1) ⁺ . Dado que cada π _g tiene dos elementos, según la construcción anterior, hay un mapa de cobertura 2:1 p  : G → SO(3; 1) ⁺ . Según la teoría de grupos de cobertura , las álgebras de Lie y de G son todas isomorfas. El mapa de cobertura p  : G → SO(3; 1) ⁺ viene dado simplemente por p ( g , [ p _g ]) = g . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Una visión algebraica

Para obtener una visión algebraica del grupo de cobertura universal, actuemos sobre el conjunto de todas las matrices hermitianas 2 × 2 mediante la operación ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La acción es lineal. Un elemento de puede escribirse en la forma ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

El mapa P es un homomorfismo de grupo en Por lo tanto, es una representación de 4 dimensiones de . En particular, su núcleo debe tomar consigo la matriz identidad, A ^† IA = A ^† A = I y por lo tanto A ^† = A ⁻¹ . Así, AX = XA para A en el núcleo, según el lema de Schur , ^{[nb 19]} A es un múltiplo de la identidad, que debe ser ± I ya que det A = 1 . ^[75] El espacio se asigna al espacio M ⁴ de Minkowski , a través de ${\displaystyle {\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).}$ ${\displaystyle \mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

La acción de P ( A ) sobre preserva los determinantes. La representación inducida p de on a través del isomorfismo anterior, dada por ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

preserva el producto interno de Lorentz ya que

$${\displaystyle -\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.}$$

Esto significa que p ( A ) pertenece al grupo de Lorentz completo SO(3; 1) . Según el teorema principal de la conectividad , dado que es conexo, su imagen bajo p en SO(3; 1) es conexa y, por tanto, está contenida en SO(3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Se puede demostrar que el mapa de Lie de es un isomorfismo del álgebra de Lie: ^{[nb 20]} El mapa de P también es on. ^{[nota 21]} ${\displaystyle \mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Por lo tanto , dado que es simplemente conexo, es el grupo de cobertura universal de SO(3; 1) ⁺ , isomorfo al grupo G de arriba. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

No sobreyectividad del mapeo exponencial para SL (2, C)

Este diagrama muestra la red de mapas discutidos en el texto. Aquí V es un espacio vectorial de dimensión finita que lleva representaciones de y es el mapeo exponencial, p es el mapa de cobertura de SO (3; 1) ⁺ y σ es el isomorfismo del álgebra de Lie inducido por él. Los mapas Π, π y los dos Φ son representaciones. la imagen es sólo parcialmente cierta cuando Π es proyectiva. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$

El mapeo exponencial no es correcto. ^[76] La matriz ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

está en pero no existe tal que q = exp( Q ) . ^{[nota 22]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

En general, si g es un elemento de un grupo de Lie conectado G con álgebra de Lie entonces, por (Lie) , ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

La matriz q se puede escribir

Realización de representaciones de SL(2, C) y sl(2, C) y sus álgebras de Lie.

Las representaciones lineales complejas de y son más sencillas de obtener que las representaciones. Se pueden (y normalmente se hacen) escribir desde cero. Las representaciones de grupos holomórficos (lo que significa que la representación de álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja) están relacionadas con las representaciones de álgebra de Lie lineales complejas mediante exponenciación. Las representaciones lineales reales de son exactamente las representaciones ( μ , ν ) . También se pueden exponenciar. Las representaciones ( μ , 0) son lineales complejas y son (isomorfas a) las representaciones de mayor peso. Por lo general, están indexados con un solo número entero (pero aquí se utilizan semienteros). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

En esta sección se utiliza la convención matemática por conveniencia. Los elementos del álgebra de Lie difieren en un factor de i y no hay ningún factor de i en el mapeo exponencial en comparación con la convención de física utilizada en otros lugares. Sea la base de [ ^77] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Esta elección de base y notación es estándar en la literatura matemática.

Representaciones lineales complejas

Las representaciones holomorfas irreducibles ( n + 1 ) -dimensionales se pueden realizar en el espacio de un polinomio homogéneo de grado n en 2 variables ^{[78] [79]} cuyos elementos son ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

La acción de está dada por ^{[80] [81]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La acción asociada es, utilizando (G6) y la definición anterior, para los elementos básicos de ^[82] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

Con una elección de base para , estas representaciones se convierten en álgebras matriciales de Lie. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$

Representaciones lineales reales

Las representaciones ( μ , ν ) se realizan en un espacio de polinomios en homogéneos de grado μ in y homogéneos de grado ν en ^[79] Las representaciones vienen dadas por ^[83] ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$ ${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$

Empleando (G6) nuevamente se encuentra que

En particular para los elementos básicos,

Propiedades de las representaciones ( m ,  n )

Las representaciones ( m ,  n ) , definidas anteriormente a través de (A1) (como restricciones a la forma real ) de productos tensoriales de representaciones lineales complejas irreducibles π _{m = μ} y π _{n = ν} de son irreducibles, y son las únicas representaciones irreducibles. . ^[61] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

• La irreductibilidad se deriva del truco unitario ^[84] y que una representación Π de SU(2) × SU(2) es irreducible si y sólo si Π = Π _μ ⊗ Π _ν , ^{[nb 23]} donde Π _μ , Π _ν son irreducibles representaciones de SU(2) .
• La unicidad se deduce de que los Π _m son las únicas representaciones irreducibles de SU(2) , que es una de las conclusiones del teorema de mayor peso. ^[85]

Dimensión

Las ( m ,  n ) representaciones son (2 m  + 1)(2 n  + 1) -dimensionales. ^[86] Esto se desprende más fácilmente de contar las dimensiones en cualquier realización concreta, como la dada en las representaciones de SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} y s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Para un álgebra general de Lie, la fórmula de dimensión de Weyl , ^[87] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

$${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$

R ⁺ρδsubálgebra de Cartantenue π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1donde se debe tener en cuenta la notación actual2 μ ^[88] ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

Fidelidad

Si una representación Π de un grupo de Lie G no es fiel, entonces N = ker Π es un subgrupo normal no trivial. ^[89] Hay tres casos relevantes.

1. N es no discreto y abeliano .
2. N es no discreto y no abeliano.
3. N es discreto. En este caso N ⊂ Z , donde Z es el centro de G . ^{[nota 24]}

En el caso de SO(3; 1) ⁺ , el primer caso se excluye ya que SO(3; 1) ⁺ es semisimple. ^{[nb 25]} El segundo caso (y el primer caso) se excluye porque SO(3; 1) ⁺ es simple. ^{[nb 26]} Para el tercer caso, SO(3; 1) ⁺ es isomorfo al cociente Pero es el centro de De ello se deduce que el centro de SO(3; 1) ⁺ es trivial, y esto excluye el tercer caso. La conclusión es que toda representación Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V ) y toda representación proyectiva Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W ) para V , W espacios vectoriales de dimensión finita son fieles. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Al utilizar la correspondencia fundamental de Lie, las afirmaciones y el razonamiento anteriores se traducen directamente a álgebras de Lie con subgrupos normales (abelianos) no triviales no discretos reemplazados por ideales (unidimensionales) no triviales en el álgebra de Lie, [ ^90] y el centro de SO (3; 1) ⁺ reemplazado por el centro de El centro de cualquier álgebra de Lie semisimple es trivial ^[91] y es semisimple y simple, y por lo tanto no tiene ideales no triviales. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Un hecho relacionado es que si la representación correspondiente de es fiel, entonces la representación es proyectiva. Por el contrario, si la representación es no proyectiva, entonces la representación correspondiente no es fiel, sino que es 2:1 . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

No unitario

La representación del álgebra de Lie ( m ,  n ) no es hermitiana . En consecuencia, la representación correspondiente (proyectiva) del grupo nunca es unitaria . ^{[nb 27]} Esto se debe a la falta de compacidad del grupo Lorentz. De hecho, un grupo de Lie simple y no compacto conectado no puede tener representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. ^[33] Hay una prueba topológica de esto. ^[92] Sea u  : G → GL( V ) , donde V es de dimensión finita, una representación unitaria continua del grupo de Lie simple conectado no compacto G . Entonces u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ) donde U( V ) es el subgrupo compacto de GL( V ) que consta de transformaciones unitarias de V . El núcleo de u es un subgrupo normal de G . Dado que G es simple, ker u es todo G , en cuyo caso u es trivial, o ker u es trivial, en cuyo caso u es fiel . En el último caso u es un difeomorfismo sobre su imagen, ^[93] u ( G ) ≅ G y u ( G ) es un grupo de Lie. Esto significaría que u ( G ) es un subgrupo de Lie no compacto incrustado del grupo compacto U ( V ) . Esto es imposible con la topología subespacial en u ( G ) ⊂ U ( V ) ya que todos los subgrupos de Lie incrustados de un grupo de Lie están cerrados ^[94] Si u ( G ) fuera cerrado, sería compacto, ^{[nb 28]} y luego G sería compacto, ^{[nb 29]} contrariamente a lo que se supone. ^{[nota 30]}

En el caso del grupo de Lorentz esto también se desprende directamente de las definiciones. Las representaciones de A y B utilizadas en la construcción son hermitianas. Esto significa que J es hermitiano, pero K es antihermitiano . ^[95] La no unitaridad no es un problema en la teoría cuántica de campos, ya que no se requiere que los objetos de interés tengan una norma definida positiva invariante de Lorentz. ^[96]

Restricción al SO(3)

Sin embargo, la representación ( m ,  n ) es unitaria cuando se restringe al subgrupo de rotación SO(3) , pero estas representaciones no son irreducibles como representaciones de SO(3). Se puede aplicar una descomposición de Clebsch-Gordan que muestra que una representación ( m ,  n ) tiene subespacios invariantes SO(3) de mayor peso (giro) m + n , m + n − 1, ..., | metro - norte |  , ^[97] donde cada peso más alto posible (giro) ocurre exactamente una vez. Un subespacio de peso de mayor peso (giro) j es (2 j + 1) -dimensional. Así, por ejemplo, el (1/2, 1/2) la representación tiene subespacios de giro 1 y giro 0 de dimensión 3 y 1 respectivamente.

Dado que el operador del momento angular viene dado por J = A + B , el espín más alto en mecánica cuántica de la subrepresentación de rotación será ( m + n )ℏ y las reglas "habituales" de suma de momentos angulares y el formalismo de 3 Se aplican símbolos -j , símbolos 6-j , etc. ^[98]

Espinores

Son los subespacios invariantes SO (3) de las representaciones irreducibles los que determinan si una representación tiene espín. Del párrafo anterior, se ve que la representación ( m ,  n ) tiene espín si m + n es un medio entero. Los más simples son (1/2, 0) y (0, 1/2) , los espinores de Weyl de dimensión 2 . Entonces, por ejemplo, (0, 3/2) y 1, 1/2) son representaciones de espín de dimensiones 2⋅3/2+ 1 = 4 y (2 + 1)(2⋅1/2+ 1) = 6 respectivamente. Según el párrafo anterior, existen subespacios con espín tanto3/2y1/2en los dos últimos casos, por lo que es probable que estas representaciones no representen una sola partícula física que deba comportarse bien bajo SO(3) . Sin embargo, en general no se puede descartar que representaciones con múltiples subrepresentaciones de SO(3) con diferente espín puedan representar partículas físicas con espín bien definido. Puede ser que exista una ecuación de onda relativista adecuada que proyecte componentes no físicos , dejando solo un espín. ^[99]

Construcción de espín puronorte/2Las representaciones para cualquier n (bajo SO (3) ) de las representaciones irreducibles implican tomar productos tensoriales de la representación de Dirac con una representación sin espín, extraer un subespacio adecuado y, finalmente, imponer restricciones diferenciales. ^[100]

Representaciones duales

El sistema de raíces A ₁ × A ₁ de ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Se aplican los siguientes teoremas para examinar si la representación dual de una representación irreducible es isomorfa a la representación original:

1. El conjunto de pesos de la representación dual de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple es, incluidas las multiplicidades, el negativo del conjunto de pesos de la representación original. ^[101]
2. Dos representaciones irreductibles son isomorfas si y sólo si tienen el mismo peso máximo . ^{[nota 31]}
3. Para cada álgebra de Lie semisimple existe un elemento único w ₀ del grupo de Weyl tal que si μ es un peso integral dominante, entonces w ₀ ⋅ (− μ ) es nuevamente un peso integral dominante. ^[102]
4. Si es una representación irreducible con mayor peso μ ₀ , entonces tiene mayor peso w ₀ ⋅ (− μ ) . ^[102] ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}^{*}}$

Aquí, los elementos del grupo de Weyl se consideran transformaciones ortogonales, actuando por multiplicación de matrices, sobre el espacio vectorial real de raíces . Si − I es un elemento del grupo Weyl de un álgebra de Lie semisimple, entonces w ₀ = − I . En el caso del grupo Weyl es W = { I , − I } . ^[103] De ello se deduce que cada π _μ , μ = 0, 1, ... es isomorfo a su dual. El sistema de raíces de se muestra en la figura de la derecha. ^{[nb 32]} El grupo Weyl se genera por dónde está la reflexión en el plano ortogonal a γ cuando γ abarca todas las raíces. ^{[nb 33]} La inspección muestra que w _α ⋅ w _β = − I entonces − I ∈ W . Utilizando el hecho de que si π , σ son representaciones de álgebra de Lie y π ≅ σ , entonces Π ≅ Σ , ^[104] la conclusión para SO(3; 1) ⁺ es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}}$ ${\displaystyle w_{\gamma }}$

$${\displaystyle \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$$

Representaciones conjugadas complejas

Si π es una representación de un álgebra de Lie, entonces es una representación, donde la barra denota conjugación compleja de entrada en las matrices representativas. Esto se deduce de que la conjugación compleja conmuta con la suma y la multiplicación. ^[105] En general, cada representación irreducible π de se puede escribir de forma única como π = π ⁺ + π ⁻ , donde ^[106] ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),}$$

antiholomórfico(S8)(S8) ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }}$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu }}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0}}$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu }}$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }}$

$${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.}$$

Usando las identidades anteriores (interpretadas como suma puntual de funciones), para SO(3; 1) ⁺ se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}}$$

exp( X ) = exp( X )( m , n )m = n( m , n ) ⊕ ( n , m )

La representación adjunta, el álgebra de Clifford y la representación del espinor de Dirac

Richard Brauer y su esposa Ilse 1970. Brauer generalizó las representaciones de espín de las álgebras de Lie ubicadas dentro de las álgebras de Clifford para girar más alto que1/2.

Foto cortesía de MFO.

En la teoría de representación general, si ( π ,  V ) es una representación de un álgebra de Lie, entonces hay una representación asociada de End ( V ) , también denotada por π , dada por ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

Asimismo, una representación (Π,  V ) de un grupo G produce una representación Π en el extremo ( V ) de G , todavía denotada como Π , dada por ^[107]

Si π y Π son las representaciones estándar y si la acción se restringe a entonces las dos representaciones anteriores son la representación adjunta del álgebra de Lie y la representación adjunta del grupo, respectivamente. Las representaciones correspondientes (algunas o ) siempre existen para cualquier grupo de Lie matricial y son fundamentales para la investigación de la teoría de la representación en general, y para cualquier grupo de Lie determinado en particular. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Aplicando esto al grupo de Lorentz, si (Π,  V ) es una representación proyectiva, entonces el cálculo directo usando (G5) muestra que la representación inducida en End( V ) es una representación adecuada, es decir, una representación sin factores de fase.

En mecánica cuántica esto significa que si ( π ,  H ) o (Π,  H ) es una representación que actúa sobre algún espacio de Hilbert H , entonces la representación inducida correspondiente actúa sobre el conjunto de operadores lineales en H. Como ejemplo, la representación inducida del giro proyectivo (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) la representación en End( H ) es el 4-vector no proyectivo (1/2, 1/2) representación. ^[108]

Para simplificar, considere sólo la "parte discreta" de End( H ) , es decir, dada una base para H , el conjunto de matrices constantes de varias dimensiones, incluidas posiblemente dimensiones infinitas. La representación inducida de 4 vectores anterior en este End simplificado ( H ) tiene un subespacio invariante de 4 dimensiones que está abarcado por las cuatro matrices gamma . ^[109] (La convención métrica es diferente en el artículo vinculado.) De manera correspondiente, el álgebra completa de Clifford del espacio-tiempo , cuya complejización es generada por las matrices gamma, se descompone como una suma directa de espacios de representación de una representación escalar irreducible (irrep ), el (0, 0) , un irrep pseudoescalar , también el (0, 0) , pero con valor propio de inversión de paridad −1 , consulte la siguiente sección a continuación, el vector irrep ya mencionado, ( ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\text{M}}(4,\mathbb {C} ),}$1/2,1/2) , un pseudovector irrep, (1/2,1/2) con valor propio de inversión de paridad +1 (no −1), y un tensor irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[110] Las dimensiones suman 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . En otras palabras,

donde, como es habitual , se confunde una representación con su espacio de representación.

El (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) representación de giro

El espacio de representación de seis dimensiones del tensor (1, 0) ⊕ (0, 1) tiene dos funciones. El ^[111] ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

donde están las matrices gamma, las sigmas, de las cuales solo 6 son distintas de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación del tensor. Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz Lie, ^[112] ${\displaystyle \gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

y por lo tanto constituyen una representación (además de abarcar un espacio de representación) ubicada dentro del ( ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$1/2, 0) ⊕ (0,1/2) representación de giro. Para más detalles, consulte bispinor y álgebra de Dirac .

La conclusión es que cada elemento del complejizado en End( H ) (es decir, cada matriz compleja de 4 × 4 ) tiene propiedades de transformación de Lorentz bien definidas. Además, tiene una representación de espín del álgebra de Lorentz Lie, que al exponenciar se convierte en una representación de espín del grupo, actuando para convertirlo en un espacio de bispinores. ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4},}$

Representaciones reducibles

Hay multitud de otras representaciones que se pueden deducir de las irreducibles, como las que se obtienen tomando sumas directas, productos tensoriales y cocientes de las representaciones irreducibles. Otros métodos para obtener representaciones incluyen la restricción de una representación de un grupo mayor que contenga el grupo de Lorentz, por ejemplo, y el grupo de Poincaré. Estas representaciones en general no son irreductibles. ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$

El grupo de Lorentz y su álgebra de Lie tienen la propiedad de reducibilidad completa . Esto significa que toda representación se reduce a una suma directa de representaciones irreductibles. Por lo tanto, no se discutirán las representaciones reducibles.

Inversión espacial y inversión del tiempo.

La representación (posiblemente proyectiva) ( m ,  n ) es irreducible como una representación SO(3; 1) ⁺ , el componente de identidad del grupo de Lorentz, en terminología física, el grupo de Lorentz ortocrónico adecuado . Si m = n, se puede extender a una representación de todo O(3; 1) , el grupo de Lorentz completo, incluida la inversión de paridad espacial y la inversión de tiempo . Las representaciones ( m , n ) ⊕ ( n , m ) se pueden ampliar de la misma manera. ^[113]

Inversión de paridad espacial

Para la inversión de paridad espacial, se considera la acción adjunta Ad P de P ∈ SO(3; 1), donde P es _el representante estándar de la inversión de paridad espacial, P = diag(1, −1, −1, −1) , dada por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Son estas propiedades de K y J bajo P las que motivan los términos vector para K y pseudovector o vector axial para J. De manera similar, si π es cualquier representación de y Π es su representación de grupo asociada, entonces Π(SO(3; 1) ⁺ ) actúa sobre la representación de π mediante la acción adjunta, π ( X ) ↦ Π( g )  π ( X ) Π( gramo ) ⁻¹ para gramo ∈ SO(3; 1) ⁺ . Si P debe incluirse en Π , entonces la coherencia con (F1) requiere que ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {so}}(3;1),}$

se cumple, donde A y B se definen como en la primera sección. Esto sólo puede ser válido si A _i y B _i tienen las mismas dimensiones, es decir, sólo si m = n . Cuando m ≠ n entonces ( m ,  n ) ⊕ ( n ,  m ) se puede extender a una representación irreducible de SO(3; 1) ⁺ , el grupo ortocrónico de Lorentz. El representante de inversión de paridad Π( P ) no viene automáticamente con la construcción general de las representaciones ( m ,  n ) . Debe especificarse por separado. La matriz β = i  γ ⁰ (o un múltiplo del módulo −1 veces) se puede utilizar en (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) ^[114] representación.

Si la paridad se incluye con un signo menos (la matriz 1×1 [−1] ) en la representación (0,0) , se denomina representación pseudoescalar .

Inversión del tiempo

La inversión de tiempo T = diag(−1, 1, 1, 1) , actúa de manera similar mediante ^[115] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Al incluir explícitamente un representante para T , así como uno para P , se obtiene una representación del grupo de Lorentz completo O(3; 1) . Sin embargo, aparece un problema sutil en la aplicación a la física, en particular a la mecánica cuántica. Al considerar el grupo de Poincaré completo , cuatro generadores más, el P ^μ , además del Ji ^y Ki ^generan el grupo. Estos se interpretan como generadores de traducciones. El componente temporal P ⁰ es el hamiltoniano H . El operador T satisface la relación ^[116]

en analogía con las relaciones anteriores reemplazadas por el álgebra de Poincaré completa . Simplemente cancelando las i , el resultado THT ⁻¹ = − H implicaría que para cada estado Ψ con energía positiva E en un espacio de Hilbert de estados cuánticos con invariancia de inversión del tiempo, habría un estado Π( T ⁻¹ )Ψ con energía negativa − E . Estos estados no existen. Por lo tanto, el operador Π( T ) se elige antilineal y antiunitario , de modo que anticonmuta con i , lo que resulta en THT ⁻¹ = H , y su acción en el espacio de Hilbert también se vuelve antilineal y antiunitaria. ^[117] Puede expresarse como la composición de una conjugación compleja con multiplicación por una matriz unitaria. ^[118] Esto es matemáticamente sólido, ver el teorema de Wigner , pero con requisitos terminológicos muy estrictos, Π no es una representación . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Al construir teorías como QED , que es invariante bajo paridad espacial e inversión del tiempo, se pueden utilizar espinores de Dirac, mientras que teorías que no lo son, como la fuerza electrodébil , deben formularse en términos de espinores de Weyl. La representación de Dirac, (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) , generalmente se considera que incluye tanto la paridad espacial como las inversiones de tiempo. Sin inversión de paridad espacial, no es una representación irreductible.

La tercera simetría discreta que entra en el teorema CPT junto con P y T , la simetría de conjugación de carga C , no tiene nada que ver directamente con la invariancia de Lorentz. ^[119]

Acción sobre espacios funcionales

Si V es un espacio vectorial de funciones de un número finito de variables n , entonces la acción sobre una función escalar dada por ${\displaystyle f\in V}$

produce otra función Π f ∈ V . Aquí Π _x es una representación de n dimensiones y Π es una representación posiblemente de dimensión infinita. Un caso especial de esta construcción es cuando V es un espacio de funciones definido en el propio grupo lineal G , visto como una variedad n -dimensional incrustada (con m la dimensión de las matrices). ^[120] Este es el escenario en el que se formulan el teorema de Peter-Weyl y el teorema de Borel-Weil . El primero demuestra la existencia de una descomposición de Fourier de funciones en un grupo compacto en caracteres de representaciones de dimensión finita. ^[61] Este último teorema, que proporciona representaciones más explícitas, hace uso del truco unitario para producir representaciones de grupos complejos no compactos, por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m^{2}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

A continuación se ejemplifica la acción del grupo de Lorentz y el subgrupo de rotación en algunos espacios funcionales.

rotaciones euclidianas

El subgrupo SO (3) de rotaciones euclidianas tridimensionales tiene una representación de dimensión infinita en el espacio de Hilbert

$${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$$

¿ Dónde están los armónicos esféricos ? Una función cuadrada arbitraria integrable f en la esfera unitaria se puede expresar como ^[121] ${\displaystyle Y_{m}^{l}}$

donde los f _lm son coeficientes de Fourier generalizados .

La acción del grupo Lorentz se limita a la de SO(3) y se expresa como

donde los D ^l se obtienen de los representantes de dimensión impar de los generadores de rotación.

El grupo de Moebius

El componente de identidad del grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de Möbius M. Este grupo puede considerarse como mapeos conformes del plano complejo o, mediante proyección estereográfica , de la esfera de Riemann . De esta manera, se puede pensar que el propio grupo de Lorentz actúa conforme en el plano complejo o en la esfera de Riemann.

En el plano, una transformación de Möbius caracterizada por los números complejos a ,  b ,  c ,  d actúa en el plano de acuerdo con ^[122]

y puede representarse mediante matrices complejas

ya que la multiplicación por un escalar complejo distinto de cero no cambia f . Estos son elementos de y son únicos hasta un signo (ya que ±Π _f dan el mismo f ), por lo tanto ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$

Las funciones P de Riemann

Las funciones P de Riemann , soluciones de la ecuación diferencial de Riemann, son un ejemplo de un conjunto de funciones que se transforman entre sí bajo la acción del grupo de Lorentz. Las funciones P de Riemann se expresan como ^[123]

donde a ,   b ,   c ,   α ,   β ,   γ ,   α′ ,   β′ ,   γ′ son constantes complejas. La función P del lado derecho se puede expresar utilizando funciones hipergeométricas estándar . La conexión es ^[124]

El conjunto de constantes 0, ∞, 1 en la fila superior del lado izquierdo son los puntos singulares regulares de la ecuación hipergeométrica de Gauss . ^[125] Sus exponentes , es decir, soluciones de la ecuación inicial , para la expansión alrededor del punto singular 0 son 0 y 1 − c , correspondientes a las dos soluciones linealmente independientes, ^{[nb 34]} y para la expansión alrededor del punto singular 1 son 0 y c − a − b . ^[126] De manera similar, los exponentes de ∞ son a y b para las dos soluciones. ^[127]

Uno tiene así

donde la condición (a veces llamada identidad de Riemann) ^[128]

$${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1}$$

γ ′

El primer conjunto de constantes en el lado izquierdo en (T1) , a , b , c denota los puntos singulares regulares de la ecuación diferencial de Riemann. El segundo conjunto, α ,  β ,  γ , son los exponentes correspondientes en a , b , c para una de las dos soluciones linealmente independientes y, en consecuencia, α′ ,  β′ ,  γ′ son exponentes en a , b , c para la segunda solución.

Defina una acción del grupo de Lorentz en el conjunto de todas las funciones P de Riemann configurando primero

donde A ,   B ,   C ,  D son las entradas en

para Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ una transformación de Lorentz.

Definir

donde P es una función P de Riemann. La función resultante es nuevamente una función P de Riemann. El efecto de la transformación de Möbius del argumento es el de desplazar los polos a nuevas ubicaciones, cambiando así los puntos críticos, pero no hay cambios en los exponentes de la ecuación diferencial que satisface la nueva función. La nueva función se expresa como

dónde

Representaciones unitarias de dimensión infinita

Historia

El grupo de Lorentz SO(3; 1) ⁺ y su doble cubierta también tienen representaciones unitarias de dimensión infinita, estudiadas de forma independiente por Bargmann (1947), Gelfand & Naimark (1947) y Harish-Chandra (1947) a instancias de Paul Dirac . ^{[129] [130]} Este camino de desarrollo comenzó con Dirac (1936), donde ideó las matrices U y B necesarias para la descripción del espín superior (compárese con las matrices de Dirac ), elaboradas por Fierz (1939), véase también Fierz y Pauli (1939). ), y precursores propuestos de las ecuaciones de Bargmann-Wigner . ^[131] En Dirac (1945) propuso un espacio de representación concreto de dimensión infinita cuyos elementos se denominaron expansores como una generalización de los tensores. ^{[nb 35]} Estas ideas fueron incorporadas por Harish-Chandra y ampliadas con expinores como una generalización de dimensiones infinitas de los espinores en su artículo de 1947. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La fórmula de Plancherel para estos grupos fue obtenida por primera vez por Gelfand y Naimark mediante complicados cálculos. Posteriormente, Harish-Chandra (1951) y Gelfand & Graev (1953) simplificaron considerablemente el tratamiento, basándose en un análogo de la fórmula de integración de Hermann Weyl para grupos compactos de Lie . ^[132] Se pueden encontrar explicaciones elementales de este enfoque en Rühl (1970) y Knapp (2001). ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

La teoría de funciones esféricas del grupo de Lorentz, necesaria para el análisis armónico en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico tridimensional ubicado en el espacio de Minkowski , es considerablemente más sencilla que la teoría general. Sólo involucra representaciones de la serie principal esférica y puede tratarse directamente, porque en coordenadas radiales el laplaciano en el hiperboloide es equivalente al laplaciano en Esta teoría se analiza en Takahashi (1963), Helgason (1968), Helgason (2000) y el texto póstumo de Jorgenson & Lang (2008). ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Serie principal para SL(2, C)

Las series principales , o series principales unitarias , son las representaciones unitarias inducidas a partir de las representaciones unidimensionales del subgrupo triangular inferior  B de Dado que las representaciones unidimensionales de B corresponden a las representaciones de las matrices diagonales, con entradas complejas distintas de cero. z y z ⁻¹ , por lo tanto tienen la forma ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

$${\displaystyle \chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },}$$

kνz = re ^iθirreductiblesk− kL ²haces de líneasesfera de Riemannk = 0serie principal esférica ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2},}$

La restricción de una serie principal al subgrupo compacto máximo K = SU(2) de  G también se puede realizar como una representación inducida de  K usando la identificación G / B = K / T , donde T = B ∩ K es el toro máximo en  K que consta de matrices diagonales con | z  | = 1 . Es la representación inducida a partir de la representación unidimensional z ^k T y es independiente de  ν . Por reciprocidad de Frobenius , sobre  K se descomponen como suma directa de las representaciones irreducibles de  K con dimensiones | k | + 2 m + 1 siendo m un número entero no negativo.

Usando la identificación entre la esfera de Riemann menos un punto y la serie principal se puede definir directamente mediante la fórmula ^[133] ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

La irreductibilidad se puede comprobar de diversas formas:

• La representación ya es irreductible en  B . Esto se puede ver directamente, pero también es un caso especial de resultados generales sobre la irreductibilidad de representaciones inducidas debido a François Bruhat y George Mackey , basándose en la descomposición de Bruhat G = B ∪ BsB donde s es el elemento del grupo Weyl ^[134]
  $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  .
• La acción del álgebra de Lie de  G se puede calcular sobre la suma directa algebraica de los subespacios irreducibles de  K , se puede calcular explícitamente y se puede verificar directamente que el subespacio de menor dimensión genera esta suma directa como un módulo. ^{[8] [135]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Serie complementaria para SL(2, C)

Para 0 < t < 2 , la serie complementaria se define para el producto interno ^[136] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle (f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,}$$

^{[137] [138]}

$${\displaystyle \pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

Las representaciones de las series complementarias son irreducibles y no isomorfas por pares. Como representación de  K , cada una es isomorfa a la suma directa del espacio de Hilbert de todas las representaciones irreducibles de dimensiones impares de K = SU(2) . La irreducibilidad se puede demostrar analizando la acción de sobre la suma algebraica de estos subespacios ^{[8] [135]} o directamente sin utilizar el álgebra de Lie. ^{[139] [140]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorema de Plancherel para SL(2, C)

Las únicas representaciones unitarias irreductibles son la serie principal, la serie complementaria y la representación trivial. Dado que − I actúa como (−1) ^k en la serie principal y trivialmente en el resto, estas darán todas las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz, siempre que k se considere par. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Para descomponer la representación regular izquierda de  G solo se requiere la serie principal. Esto produce inmediatamente la descomposición en las subrepresentaciones, la representación regular izquierda del grupo de Lorentz y la representación regular en el espacio hiperbólico tridimensional. (El primero solo involucra representaciones de series principales con k par y el segundo solo aquellas con k = 0 ). ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G/\{\pm I\}),}$ ${\displaystyle L^{2}(G/K),}$

Las representaciones regulares izquierda y derecha λ y ρ están definidas por ${\displaystyle L^{2}(G)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}}$$

Ahora bien, si f es un elemento de C _c ( G ) , el operador definido por ${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)}$

$${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg}$$

Hilbert-SchmidtH

$${\displaystyle H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$$

$${\displaystyle c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}}$$

^{[nb 36]}UC _c ( G ) ${\displaystyle {\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} ).}$

$${\displaystyle U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)}$$

H ${\displaystyle L^{2}(G)}$

El mapa  U satisface la propiedad de entrelazamiento.

$${\displaystyle U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).}$$

Si f ₁ , f ₂ están en C _c ( G ) entonces por unitaridad

$${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Por tanto, si denota la convolución de y y entonces ^[141] ${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}^{*},}$ ${\displaystyle f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},}$

$${\displaystyle f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Las dos últimas fórmulas mostradas suelen denominarse fórmula de Plancherel y fórmula de inversión de Fourier , respectivamente.

La fórmula de Plancherel se extiende a todos Por un teorema de Jacques Dixmier y Paul Malliavin , cada función suave apoyada compactamente en es una suma finita de convoluciones de funciones similares, la fórmula de inversión es válida para tal f . Puede extenderse a clases de funciones mucho más amplias que satisfagan condiciones leves de diferenciabilidad. ^[61] ${\displaystyle f_{i}\in L^{2}(G).}$ ${\displaystyle G}$

Clasificación de representaciones de SO(3, 1)

La estrategia seguida en la clasificación de las representaciones irreductibles de dimensión infinita es, en analogía con el caso de dimensión finita, asumir que existen e investigar sus propiedades. Por lo tanto, supongamos primero que se dispone de una representación irreducible, fuertemente continua , de dimensión infinita Π _H en un espacio de Hilbert H de SO(3; 1) ^{+ . [142]} Dado que SO(3) es un subgrupo, Π _H también es una representación del mismo. Cada subrepresentación irreducible de SO(3) es de dimensión finita, y la representación de SO(3) es reducible a una suma directa de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita de SO(3) si Π _H es unitario. ^[143]

Los pasos son los siguientes: ^[144]

1. Elija una base adecuada de vectores propios comunes de J ² y J ₃ .
2. Calcule los elementos de la matriz de J ₁ , J ₂ , J ₃ y K ₁ , K ₂ , K ₃ .
3. Aplicar relaciones de conmutación del álgebra de Lie.
4. Requiere unitaridad junto con ortonormalidad de la base. ^{[nota 37]}

Paso 1

Una elección adecuada de base y etiquetado viene dada por

$${\displaystyle \left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}$$

Si se tratara de una representación de dimensión finita , entonces j ₀ correspondería al valor propio más bajo j ( j + 1) de J ² en la representación, igual a | metro - norte | , y j ₁ correspondería al valor propio más alto que ocurre, igual a m + n . En el caso de dimensión infinita, j ₀ ≥ 0 conserva este significado, pero j ₁ no. ^[66] Por simplicidad, se supone que un j dado ocurre como máximo una vez en una representación dada (este es el caso de las representaciones de dimensión finita), y se puede demostrar ^[145] que la suposición es posible evitar (con un cálculo un poco más complicado) con los mismos resultados.

Paso 2

El siguiente paso es calcular los elementos matriciales de los operadores J ₁ , J ₂ , J ₃ y K ₁ , K ₂ , K ₃ que forman la base del álgebra de Lie de Los elementos matriciales de y (se comprende el álgebra de Lie complejada ) se conocen a partir de la teoría de representación del grupo de rotación y están dados por ^{[146] [147]} ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$$

j ₀j ₁

Debido a las relaciones de conmutación.

$${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$$

( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) ≡ Koperador vectorial ^[148]teorema de Wigner-Eckart ^[149][150]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}}$$

donde el superíndice (1) significa que las cantidades definidas son los componentes de un operador tensor esférico de rango k = 1 (lo que también explica el factor √ 2 ) y los subíndices 0, ±1 se denominan q en las fórmulas siguientes, están dados por ^[151]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Aquí los primeros factores en el lado derecho son los coeficientes de Clebsch-Gordan para acoplar j ′ con k para obtener j . Los segundos factores son los elementos de la matriz reducida . No dependen de m , m′ o q , sino que dependen de j , j′ y, por supuesto , K. Para obtener una lista completa de ecuaciones que no desaparecen, consulte Harish-Chandra (1947, p. 375).

Paso 3

El siguiente paso es exigir que se cumplan las relaciones del álgebra de Lie, es decir, que

$${\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}$$

Esto da como resultado un conjunto de ecuaciones ^[152] cuyas soluciones son ^[153]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$$

Etapa 4

La imposición del requisito de unitaridad de la representación correspondiente del grupo restringe los valores posibles para los números complejos arbitrarios j ₀ y ξ _j . La unitaridad de la representación del grupo se traduce en el requisito de que los representantes del álgebra de Lie sean hermitianos, es decir

$${\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}$$

Esto se traduce en ^[154]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}}$$

^[155]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$$

β _jB _j| B _j | ≠ 0 ${\displaystyle \left|\xi _{j}\right|^{2}=1}$ ${\displaystyle \xi _{j}=1}$

• ${\displaystyle {\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}}$En este caso j ₁ = − iν , ν real, ^[156]
  $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$$
  Esta es la serie principal . Sus elementos se denotan. ${\displaystyle (j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle {\underline {j_{0}=0.}}}$Sigue: ^[157]
  $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$$
  Dado que B ₀ = B _{j 0} , B²
  _jes real y positivo para j = 1, 2, ... , lo que lleva a −1 ≤ ν ≤ 1 . Esta es una serie complementaria . Sus elementos se denotan (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1

Esto muestra que las representaciones anteriores son todas representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita.

Fórmulas explícitas

Convenciones y bases del álgebra de Lie

La métrica elegida viene dada por η = diag(−1, 1, 1, 1) y se utiliza la convención de física para las álgebras de Lie y el mapeo exponencial. Estas elecciones son arbitrarias, pero una vez que se toman, son fijas. Una posible elección de base para el álgebra de Lie está, en la representación de 4 vectores, dada por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}}$$

Las relaciones de conmutación del álgebra de Lie son: ^[158] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

$${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).}$$

En notación tridimensional, estos son ^[159]

$${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$$

La elección de la base anterior satisface las relaciones, pero son posibles otras elecciones. Debe observarse el uso múltiple del símbolo J arriba y en lo sucesivo.

Por ejemplo, un impulso típico y una rotación típica se exponencian como,

$${\displaystyle \exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

Espinores y bispinores de Weyl

Las soluciones a la ecuación de Dirac se transforman bajo la ecuación (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) -representación. Dirac descubrió las matrices gamma en su búsqueda de una ecuación relativista invariante, entonces ya conocida por los matemáticos. ^[109]

Tomando a su vez m =1/2, norte = 0 y metro = 0, norte =1/2y estableciendo

$${\displaystyle J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}}$$

(G1)1 ₁ = 1J ⁽⁰⁾ = 0

Estas son las representaciones de espinor de Weyl para diestros y zurdos . Actúan mediante multiplicación de matrices en espacios vectoriales complejos bidimensionales (con opción de base) V _L y V _R , cuyos elementos Ψ _L y Ψ _R se denominan espinores de Weyl zurdos y diestros, respectivamente. Dado

$${\displaystyle \left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$$

^[160]

Esto es, hasta una transformación de similitud, el (1/2,0) ⊕ (0,1/2) La representación del espinor de Dirac actúa sobre los elementos de 4 componentes (Ψ _L , Ψ _R ) de ( V _L ⊕ V _R ) , llamados bispinores , mediante multiplicación de matrices. La representación se puede obtener de forma más general e independiente de las bases utilizando las álgebras de Clifford . Todas estas expresiones para bispinores y espinores de Weyl se extienden por linealidad de las álgebras de Lie y las representaciones de todas las expresiones para las representaciones de grupos se obtienen mediante exponenciación. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Problemas abiertos

La clasificación y caracterización de la teoría de la representación del grupo de Lorentz se completó en 1947. Pero en asociación con el programa Bargmann-Wigner, aún quedan problemas puramente matemáticos sin resolver, relacionados con las representaciones unitarias de dimensión infinita.

Las representaciones unitarias irreductibles de dimensión infinita pueden tener relevancia indirecta para la realidad física en las teorías especulativas modernas, ya que el grupo de Lorentz (generalizado) aparece como el pequeño grupo del grupo de Poincaré de vectores espaciales en una dimensión espacio-temporal superior. Las correspondientes representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo (generalizado) de Poincaré son las llamadas representaciones taquiónicas . Los taquiones aparecen en el espectro de las cuerdas bosónicas y están asociados con la inestabilidad del vacío. ^{[161] [162]} Aunque los taquiones pueden no existir en la naturaleza, estas representaciones deben entenderse matemáticamente para comprender la teoría de cuerdas. Esto es así porque los estados taquiónicos también aparecen en las teorías de supercuerdas en un intento de crear modelos realistas. ^[163]

Un problema abierto es la finalización del programa Bargmann-Wigner para el grupo de isometría SO ( D − 2, 1) del espaciotiempo de De Sitter dS _{D −2} . Idealmente, los componentes físicos de las funciones de onda se realizarían en el hiperboloide dS _{D −2} de radio μ > 0 incrustado y se conocerían las correspondientes ecuaciones de onda covariantes O( D −2, 1) de la representación unitaria de dimensión infinita. ^[162] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-2,1}}$

Ver también

• Ecuaciones de Bargmann-Wigner
• Álgebra de Dirac
• Matrices gamma
• grupo lorentz
• Transformación de Moebius
• grupo poincaré
• Teoría de la representación del grupo de Poincaré
• Simetría en mecánica cuántica
• clasificación de Wigner

Observaciones

1. La forma en que se representan las simetrías del espacio-tiempo puede tomar muchas formas según la teoría en cuestión. Si bien no es el tema actual, se proporcionarán algunos detalles en las notas a pie de página denominadas "nb" y en la sección de aplicaciones.
2. Weinberg 2002, pag. 1 "Si resultase que un sistema no puede describirse mediante una teoría cuántica de campos, sería una sensación; si resultase que no obedece las reglas de la mecánica cuántica y de la relatividad, sería un cataclismo".
3. En 1945, Harish-Chandra fue a ver a Dirac a Cambridge. Harish-Chandra se convenció de que la física teórica no era el campo en el que debería estar. Había encontrado un error en una demostración de Dirac en su trabajo en el grupo de Lorentz. Dirac dijo: "No me interesan las pruebas, sólo me interesa lo que hace la naturaleza". Harish-Chandra escribió más tarde: "Este comentario confirmó mi creciente convicción de que no tenía el misterioso sexto sentido que se necesita para tener éxito en física y pronto decidí pasar a las matemáticas". Sin embargo, Dirac sugirió el tema de la tesis de Harish-Chandra, la clasificación de las representaciones irreductibles de dimensión infinita del grupo de Lorentz. Véase Dalitz y Peierls 1986.
4. Consulte la fórmula (1) en S-matrix#De estados de partículas libres para saber cómo se transforman los estados libres de múltiples partículas.
5. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.4–5. Weinberg deduce la necesidad de operadores de creación y aniquilación de otra consideración, el principio de descomposición de conglomerados , Weinberg (2002, Capítulo 4).
6. También es posible que se requiera una prescripción sobre cómo debe comportarse la partícula bajo simetría CPT.
7. Por ejemplo, existen versiones (ecuaciones de campo libre, es decir, sin términos de interacción) de la ecuación de Klein-Gordon , la ecuación de Dirac , las ecuaciones de Maxwell , la ecuación de Proca , la ecuación de Rarita-Schwinger y las ecuaciones de campo de Einstein que pueden sistemáticamente deducirse partiendo de una representación dada del grupo de Lorentz. En general, estas son colectivamente las versiones de la teoría cuántica de campos de las ecuaciones de Bargmann-Wigner .

   Véase Weinberg (2002, Capítulo 5), Tung (1985, Sección 10.5.2) y las referencias dadas en estos trabajos.

   Cabe señalar que las teorías de alto espín ( s > 1 ) encuentran dificultades. Véase Weinberg (2002, Sección 5.8), sobre campos generales ( m , n ) , donde esto se analiza con cierta profundidad y las referencias allí contenidas. Sin duda existen partículas con alto espín , p. ej. los núcleos, pero las conocidas simplemente no son elementales .

8. Para conocer parte de su teoría de la representación, consulte Bekaert y Boulanger (2006), que está dedicado a la teoría de la representación del grupo Poincaré. Estas representaciones se obtienen mediante el método de las representaciones inducidas o, en el lenguaje físico, el método del pequeño grupo , iniciado por Wigner en 1939 para este tipo de grupos y asentado sobre una base matemática firme por George Mackey en los años cincuenta.
9. Salón (2015, Sección 4.4.)

   Se dice que un grupo tiene la propiedad de reducibilidad completa si cada representación se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles.

10. Dirac sugirió el tema de Wigner (1939) ya en 1928 (como se reconoce en el artículo de Wigner). También publicó uno de los primeros artículos sobre representaciones unitarias explícitas de dimensión infinita en Dirac (1945) (Langlands 1985), y sugirió el tema para la tesis de Harish-Chandra que clasifica las representaciones irreducibles de dimensión infinita (Dalitz y Peierls 1986).
11. Knapp 2001 El tercer isomorfismo, de aspecto bastante misterioso, se demuestra en el capítulo 2, párrafo 4.
12. Los productos tensoriales de representaciones, π _g  ⊗  π _h de pueden, cuando ambos factores provienen del mismo álgebra de Lie , considerarse como una representación de o . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}}$
13. Al complejizar un álgebra de Lie compleja , se debe considerar como un álgebra de Lie real de dimensión real el doble de su dimensión compleja. Asimismo, una forma real también puede ser compleja, como es el caso aquí.
14. Combine Weinberg (2002, Ecuaciones 5.6.7–8, 5.6.14–15) con Hall (2015, Proposición 4.18) sobre representaciones de álgebra de Lie de representaciones de productos tensoriales de grupo.
15. La propiedad "sin rastro" se puede expresar como S _αβ g ^αβ = 0 , o S _α ^α = 0 , o S ^αβ g _αβ = 0 dependiendo de la presentación del campo: covariante, mixto y contravariante respectivamente.
16. Esto no necesariamente viene simétrico directamente del lagrangiano usando el teorema de Noether , pero puede simetrizarse como el tensor tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld .
17. Esto se proporciona siempre que la paridad sea una simetría. De lo contrario, habría dos sabores (3/2, 0) y (0,3/2) en analogía con los neutrinos .
18. La terminología difiere entre matemáticas y física. En el artículo vinculado, el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente que en física, donde se piensa en una representación proyectiva como una sección local (un inverso local) del mapa de cobertura desde el grupo de cobertura hasta el grupo que se está cubriendo, compuesto con una adecuada representación del grupo de cobertura. Dado que esto se puede hacer (localmente) continuamente de dos maneras en el caso que nos ocupa, como se explica a continuación, la terminología de una representación de doble valor o de dos valores es natural.
19. En particular, A conmuta con las matrices de Pauli , por lo tanto, con todo SU(2), lo que hace aplicable el lema de Schur.
20. Lo que significa que el núcleo es trivial; para ver esto, recuerde que el núcleo de un homomorfismo de álgebra de Lie es un ideal y, por tanto, un subespacio. Dado que p es 2:1 y tanto SO(3; 1) ⁺ son de 6 dimensiones , el núcleo debe ser de 0 dimensiones , por lo tanto , {0}. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
21. El mapa exponencial es uno a uno en una vecindad de la identidad, por lo tanto, la composición donde σ es el isomorfismo del álgebra de Lie, está en una vecindad abierta U ⊂ SO(3; 1) ⁺ que contiene la identidad. Tal vecindad genera el componente conectado. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$
22. Rossmann 2002 Del ejemplo 4 de la sección 2.1: Esto se puede ver de la siguiente manera. La matriz q tiene valores propios {−1, −1} , pero no es diagonalizable . Si q = exp( Q ) , entonces Q tiene valores propios λ , − λ con λ = iπ + 2 πik para algunos k porque los elementos de no tienen rastros. Pero entonces Q es diagonalizable, por tanto q es diagonalizable, lo cual es una contradicción. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$
23. Rossmann 2002, Proposición 10, párrafo 6.3. Esto se demuestra más fácilmente utilizando la teoría del carácter .
24. Cualquier subgrupo normal discreto de un grupo G conectado por ruta está contenido en el centro Z de G.

    Salón 2015, Ejercicio 11, capítulo 1.

25. Un grupo de Lie semisimple no tiene subgrupos abelianos normales no discretos . Esto puede tomarse como la definición de semisimplicidad.
26. Un grupo simple no tiene subgrupos normales no discretos.
27. Por el contrario, hay un truco, también llamado truco unitario de Weyl, pero no relacionado con el truco unitario anterior que muestra que todas las representaciones de dimensión finita son, o pueden hacerse, unitarias. Si (Π, V ) es una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto G y si (·, ·) es cualquier producto interno en V , defina un nuevo producto interno (·, ·) _Π por ( x , y ) _Π = ∫ _G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ ( g ) , donde μ es la medida de Haar en G . Entonces Π es unitario con respecto a (·, ·) _Π . Véase Hall (2015, Teorema 4.28. )

    Otra consecuencia es que todo grupo de Lie compacto tiene la propiedad de reducibilidad completa , lo que significa que todas sus representaciones de dimensión finita se descomponen como una suma directa de representaciones irreducibles . Hall (2015, Definición 4.24., Teorema 4.28.)

    También es cierto que no existen representaciones unitarias irreducibles de dimensión infinita de grupos de Lie compactos, como se afirma, pero no se prueba, en Greiner y Müller (1994, Sección 15.2.).

28. Lee 2003 Lema A.17 (c). Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos.
29. Lee 2003 Lema A.17 (a). Si f  : X → Y es continua, X es compacta, entonces f ( X ) es compacta.
30. La no unitaridad es un ingrediente vital en la prueba del teorema de Coleman-Mandula , que tiene la implicación de que, al contrario de lo que ocurre en las teorías no relativistas, no puede existir una simetría ordinaria que relacione partículas de diferente espín. Ver Weinberg (2000)
31. Ésta es una de las conclusiones del teorema de Cartan , el teorema de mayor peso.
    Hall (2015, teoremas 9.4–5.)
32. Hall 2015, Sección 8.2 El sistema raíz es la unión de dos copias de A ₁ , donde cada copia reside en sus propias dimensiones en el espacio vectorial de incrustación.
33. Rossmann 2002 Esta definición es equivalente a la definición en términos del grupo de Lie conectado cuyo álgebra de Lie es el álgebra de Lie del sistema raíz bajo consideración.
34. Consulte Simmons (1972, Sección 30) para conocer las condiciones precisas bajo las cuales dos métodos de Frobenius producen dos soluciones linealmente independientes. Si los exponentes no difieren en un número entero, este es siempre el caso.
35. "Esto es lo más cerca que uno llega a la fuente de la teoría de las representaciones de dimensión infinita de grupos semisimples y reductivos..." , Langlands (1985, p. 204), refiriéndose a un pasaje introductorio del artículo de Dirac de 1945.
36. Tenga en cuenta que para un espacio de Hilbert  H , HS( H ) puede identificarse canónicamente con el producto tensorial del espacio de Hilbert de H y su espacio conjugado.
37. Si se exige dimensión finita, el resultado son las representaciones ( m , n ) , ver Tung (1985, Problema 10.8). Si no se exige ninguna de las dos, entonces se obtiene una clasificación más amplia de todas las representaciones irreducibles, incluidas las de dimensión finita y los unitarios. Este enfoque se adopta en Harish-Chandra (1947).

Notas

1. Bargmann y Wigner 1948
2. Bekaert y Boulanger 2006
3. Misner, Thorne y Wheeler 1973
4. Weinberg 2002, Sección 2.5, Capítulo 5.
5. Tung 1985, Secciones 10.3, 10.5.
6. Tung 1985, sección 10.4.
7. Dirac 1945
8. Harish-Chandra 1947
9. Greiner y Reinhardt 1996, Capítulo 2.
10. Weinberg 2002, Prólogo e introducción al capítulo 7.
11. Weinberg 2002, Introducción al capítulo 7.
12. Tung 1985, Definición 10.11.
13. Greiner y Müller (1994, capítulo 1)
14. Greiner y Müller (1994, capítulo 2)
15. Tung 1985, pag. 203.
16. Delbourgo, Salam y Strathdee 1967
17. Weinberg (2002, sección 3.3)
18. Weinberg (2002, sección 7.4.)
19. Tung 1985, Introducción al capítulo 10.
20. Tung 1985, Definición 10.12.
21. Tung 1985, Ecuación 10.5-2.
22. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.6–7.
23. Tung 1985, Ecuación 10.5-18.
24. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.1.11-12.
25. Tung 1985, sección 10.5.3.
26. Zwiebach 2004, sección 6.4.
27. Zwiebach 2004, Capítulo 7.
28. Zwiebach 2004, sección 12.5.
29. Weinberg 2000, sección 25.2.
30. Zwiebach 2004, último párrafo, sección 12.6.
31. Estos hechos se pueden encontrar en la mayoría de los textos de introducción a las matemáticas y la física. Véase, por ejemplo, Rossmann (2002), Hall (2015) y Tung (1985).
32. Hall (2015, teorema 4.34 y discusión posterior).
33. Wigner 1939
34. Salón 2015, Apéndice D2.
35. Greiner y Reinhardt 1996
36. Weinberg 2002, Sección 2.6 y Capítulo 5.
37. Coleman 1989, pág. 30.
38. Mentira 1888, 1890, 1893. Fuente primaria.
39. Coleman 1989, pag. 34.
40. Matar 1888 Fuente primaria.
41. Rossmann 2002, Datos históricos esparcidos por el texto.
42. Cartan 1913 Fuente primaria.
43. Verde 1998, p = 76.
44. Brauer & Weyl 1935 Fuente primaria.
45. Tung 1985, Introducción.
46. Weyl 1931 Fuente primaria.
47. Weyl 1939 Fuente primaria.
48. Langlands 1985, págs. 203-205
49. Harish-Chandra 1947 Fuente primaria.
50. Tung 1985, Introducción
51. Wigner 1939 Fuente primaria.
52. Klauder 1999
53. Bargmann 1947 Fuente primaria.
54. Bargmann también fue matemático . Trabajó como asistente de Albert Einstein en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (Klauder (1999)).
55. Bargmann & Wigner 1948 Fuente primaria.
56. Dalitz y Peierls 1986
57. Dirac 1928 Fuente primaria.
58. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.7–8.
59. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.9–11.
60. Hall 2003, Capítulo 6.
61. Knapp 2001
62. Esta es una aplicación de Rossmann 2002, Sección 6.3, Proposición 10.
63. Knapp 2001, pág. 32.
64. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.6.16-17.
65. Weinberg 2002, sección 5.6. Las ecuaciones se derivan de las ecuaciones 5.6.7–8 y 5.6.14–15.
66. Tung 1985
67. Mentira 1888
68. Rossmann 2002, sección 2.5.
69. Salón 2015, Teorema 2.10.
70. Bourbaki 1998, pag. 424.
71. Weinberg 2002, Sección 2.7 p.88.
72. Weinberg 2002, sección 2.7.
73. Salón 2015, Apéndice C.3.
74. Wigner 1939, pag. 27.
75. Gelfand, Minlos & Shapiro 1963 Esta construcción del grupo de cobertura se trata en el párrafo 4, sección 1, capítulo 1 de la Parte II.
76. Rossmann 2002, sección 2.1.
77. Salón 2015, ecuaciones mostradas por primera vez en la sección 4.6.
78. Salón 2015, Ejemplo 4.10.
79. Knapp 2001, Capítulo 2.
80. Knapp 2001 Ecuación 2.1.
81. Salón 2015, Ecuación 4.2.
82. Salón 2015, Ecuación anterior a 4.5.
83. Knapp 2001 Ecuación 2.4.
84. Knapp 2001, sección 2.3.
85. Salón 2015, Teoremas 9.4–5.
86. Weinberg 2002, Capítulo 5.
87. Salón 2015, Teorema 10.18.
88. Salón 2003, pag. 235.
89. Consulte cualquier texto sobre teoría básica de grupos.
90. Rossmann 2002 Proposiciones 3 y 6 párrafo 2.5.
91. Hall 2003 Ver ejercicio 1, Capítulo 6.
92. Bekaert y Boulanger 2006 p.4.
93. Propuesta 1.20 del Salón 2003.
94. Lee 2003, Teorema 8.30.
95. Weinberg 2002, sección 5.6, p. 231.
96. Weinberg 2002, sección 5.6.
97. Weinberg 2002, pag. 231.
98. Weinberg 2002, secciones 2.5, 5.7.
99. Tung 1985, sección 10.5.
100. Weinberg 2002 Esto se describe (muy brevemente) en la página 232, poco más que una nota a pie de página.
101. Salón 2003, Proposición 7.39.
102. Hall 2003, teorema 7.40.
103. Salón 2003, Sección 6.6.
104. Salón 2003, segundo punto de la proposición 4.5.
105. Salón 2003, pag. 219.
106. Rossmann 2002, Ejercicio 3 en el párrafo 6.5.
107. Salón 2003 Ver apéndice D.3
108. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.8.
109. Weinberg 2002, Sección 5.4.
110. Weinberg 2002, págs. 215-216.
111. Weinberg 2002, Ecuación 5.4.6.
112. Weinberg 2002 Sección 5.4.
113. Weinberg 2002, sección 5.7, págs. 232-233.
114. Weinberg 2002, sección 5.7, p. 233.
115. Weinberg 2002 Ecuación 2.6.5.
116. Weinberg 2002 Ecuación siguiente 2.6.6.
117. Weinberg 2002, sección 2.6.
118. Para una discusión detallada sobre el giro 0,1/2y 1 caso, ver Greiner y Reinhardt 1996.
119. Weinberg 2002, Capítulo 3.
120. Rossmann 2002 Consulte la sección 6.1 para obtener más ejemplos, tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.
121. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
122. Churchill y Brown 2014, capítulo 8, págs. 307–310.
123. González, PA; Vásquez, Y. (2014). "Modos cuasinormales de Dirac de nuevos tipos de agujeros negros en una nueva gravedad masiva". EUR. Física. J.C. _ 74:2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Código Bib : 2014EPJC...74.2969G. doi :10.1140/epjc/s10052-014-2969-1. ISSN  1434-6044. S2CID  118725565.
124. Abramowitz y Stegun 1965, Ecuación 15.6.5.
125. Simmons 1972, secciones 30, 31.
126. Simmons 1972, secciones 30.
127. Simmons 1972, sección 31.
128. Simmons 1972, Ecuación 11 en el apéndice E, capítulo 5.
129. Langlands 1985, pag. 205.
130. Varadarajan 1989, Secciones 3.1. 4.1.
131. Langlands 1985, pag. 203.
132. Varadarajan 1989, sección 4.1.
133. Gelfand, Graev y Pyatetskii-Shapiro 1969
134. Knapp 2001, Capítulo II.
135. Taylor 1986
136. Knapp 2001 Capítulo 2. Ecuación 2.12.
137. Bargmann 1947
138. Gelfand y Graev 1953
139. Gelfand y Naimark 1947
140. Takahashi 1963, pag. 343.
141. Knapp 2001, Ecuación 2.24.
142. Folland 2015, Sección 3.1.
143. Folland 2015, Teorema 5.2.
144. Tung 1985, Sección 10.3.3.
145. Harish-Chandra 1947, nota al pie p. 374.
146. Tung 1985, Ecuaciones 7.3–13, 7.3–14.
147. Harish-Chandra 1947, Ecuación 8.
148. Salón 2015, Proposición C.7.
149. Salón 2015, Apéndice C.2.
150. Tung 1985, Paso II, sección 10.2.
151. Tung 1985, Ecuaciones 10.3–5. La notación de Tung para los coeficientes de Clebsch-Gordan difiere de la utilizada aquí.
152. Tung 1985, Ecuación VII-3.
153. Tung 1985, Ecuaciones 10.3–5, 7, 8.
154. Tung 1985, Ecuación VII-9.
155. Tung 1985, Ecuaciones VII-10, 11.
156. Tung 1985, Ecuaciones VII-12.
157. Tung 1985, Ecuaciones VII-13.
158. Weinberg 2002, Ecuación 2.4.12.
159. Weinberg 2002, Ecuaciones 2.4.18–2.4.20.
160. Weinberg 2002, Ecuaciones 5.4.19, 5.4.20.
161. Zwiebach 2004, sección 12.8.
162. Bekaert y Boulanger 2006, pág. 48.
163. Zwiebach 2004, sección 18.8.

Referencias en línea disponibles gratuitamente

• Bekaert, X.; Boulanger, N. (2006). "Las representaciones unitarias del grupo Poincaré en cualquier dimensión espacio-temporal". arXiv : hep-th/0611263 .Versión ampliada de las conferencias presentadas en la segunda escuela de verano de física matemática de Modave (Bélgica, agosto de 2006).
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Referencias

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