Teoría de cuerdas bosónicas

Teoría de cuerdas de 26 dimensiones

La teoría de cuerdas bosónica es la versión original de la teoría de cuerdas , desarrollada a fines de la década de 1960 y bautizada en honor a Satyendra Nath Bose . Se llama así porque solo contiene bosones en el espectro.

En la década de 1980, se descubrió la supersimetría en el contexto de la teoría de cuerdas, y una nueva versión de la teoría de cuerdas llamada teoría de supercuerdas (teoría de cuerdas supersimétricas) se convirtió en el verdadero foco de atención. Sin embargo, la teoría de cuerdas bosónicas sigue siendo un modelo muy útil para comprender muchas características generales de la teoría de cuerdas perturbativa , y muchas de las dificultades teóricas de las supercuerdas ya se pueden encontrar en el contexto de las cuerdas bosónicas.

Problemas

Aunque la teoría de cuerdas bosónicas tiene muchas características atractivas, carece de viabilidad como modelo físico en dos áreas importantes.

En primer lugar, sólo predice la existencia de bosones mientras que muchas partículas físicas son fermiones .

En segundo lugar, predice la existencia de un modo de la cuerda con masa imaginaria , lo que implica que la teoría tiene una inestabilidad ante un proceso conocido como " condensación de taquiones ".

Además, la teoría de cuerdas bosónicas en una dimensión general del espacio-tiempo muestra inconsistencias debido a la anomalía conforme . Pero, como fue notado por primera vez por Claud Lovelace , ^[1] en un espacio-tiempo de 26 dimensiones (25 dimensiones de espacio y una de tiempo), la dimensión crítica para la teoría, la anomalía se cancela. Esta alta dimensionalidad no es necesariamente un problema para la teoría de cuerdas, porque puede formularse de tal manera que a lo largo de las 22 dimensiones en exceso el espacio-tiempo se pliegue para formar un pequeño toro u otra variedad compacta. Esto dejaría solo las cuatro dimensiones familiares del espacio-tiempo visibles para los experimentos de baja energía. La existencia de una dimensión crítica donde la anomalía se cancela es una característica general de todas las teorías de cuerdas.

Tipos de cuerdas bosónicas

Existen cuatro posibles teorías de cuerdas bosónicas, dependiendo de si se permiten cuerdas abiertas y de si las cuerdas tienen una orientación específica . Una teoría de cuerdas abiertas también debe incluir cuerdas cerradas, porque se puede pensar que las cuerdas abiertas tienen sus puntos finales fijos en una D25-brana que llena todo el espacio-tiempo. Una orientación específica de la cuerda significa que solo se permiten interacciones correspondientes a una hoja de universo orientable (por ejemplo, dos cuerdas solo pueden fusionarse con la misma orientación). Un esquema de los espectros de las cuatro teorías posibles es el siguiente:

Nótese que las cuatro teorías tienen un taquión de energía negativa ( ) y un gravitón sin masa. ${\displaystyle M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}}$

El resto de este artículo se aplica a la teoría cerrada y orientada, correspondiente a capas del mundo orientables y sin fronteras.

Matemáticas

Teoría de perturbación de la integral de trayectoria

Se puede decir ^[2] que la teoría de cuerdas bosónicas se define por la cuantificación integral de trayectoria de la acción de Polyakov :

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$es el campo en la hoja del mundo que describe la mayor incrustación de la cuerda en el espacio-tiempo 36+1; en la formulación de Polyakov, no debe entenderse como la métrica inducida a partir de la incrustación, sino como un campo dinámico independiente. es la métrica en el espacio-tiempo objetivo, que generalmente se toma como la métrica de Minkowski en la teoría perturbativa. Bajo una rotación de Wick , esto se lleva a una métrica euclidiana . M es la hoja del mundo como una variedad topológica parametrizada por las coordenadas. es la tensión de la cuerda y está relacionada con la pendiente de Regge como . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$

${\displaystyle I_{0}}$tiene difeomorfismo e invariancia de Weyl . La simetría de Weyl se rompe con la cuantificación ( anomalía conforme ) y, por lo tanto, esta acción debe complementarse con un contratérmino, junto con un término puramente topológico hipotético, proporcional a la característica de Euler :

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

La ruptura explícita de la invariancia de Weyl por el contratérmino puede cancelarse en la dimensión crítica 26.

Las cantidades físicas se construyen entonces a partir de la función de partición (euclidiana) y la función de N puntos :

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

La serie perturbativa se expresa como una suma de topologías, indexada por el género.

La suma discreta es una suma sobre topologías posibles, que para cuerdas cerradas orientables bosónicas euclidianas son superficies riemannianas orientables compactas y, por lo tanto, se identifican por un género . Se introduce un factor de normalización para compensar el recuento excesivo de simetrías. Mientras que el cálculo de la función de partición corresponde a la constante cosmológica , la función de N puntos, incluidos los operadores de vértice, describe la amplitud de dispersión de las cuerdas. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle p}$

El grupo de simetría de la acción reduce drásticamente el espacio de integración a una variedad de dimensión finita. La integral de trayectoria en la función de partición es a priori una suma sobre las posibles estructuras de Riemann; sin embargo, el cociente con respecto a las transformaciones de Weyl nos permite considerar únicamente las estructuras conformes , es decir, las clases de equivalencia de métricas bajo las identificaciones de métricas relacionadas por ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

Como la hoja del mundo es bidimensional, existe una correspondencia 1-1 entre las estructuras conformes y las estructuras complejas . Aún hay que eliminar los difeomorfismos mediante cocientes. Esto nos deja con una integración sobre el espacio de todas las posibles estructuras complejas módulo difeomorfismos, que es simplemente el espacio de módulos de la superficie topológica dada, y es de hecho una variedad compleja de dimensión finita . El problema fundamental de las cuerdas bosónicas perturbativas se convierte, por lo tanto, en la parametrización del espacio de módulos, que no es trivial para el género . ${\displaystyle h\geq 4}$

h = 0

A nivel de árbol, correspondiente al género 0, la constante cosmológica se desvanece: . ${\displaystyle Z_{0}=0}$

La función de cuatro puntos para la dispersión de cuatro taquiones es la amplitud de Shapiro-Virasoro:

${\displaystyle A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}}$

¿Dónde está el momento total y , , son las variables de Mandelstam ? ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$

h = 1

La región sombreada es un posible dominio fundamental para el grupo modular.

El género 1 es el toro y corresponde al nivel de un bucle . La función de partición equivale a:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$es un número complejo con parte imaginaria positiva ; , holomorfo al espacio de módulos del toro, es cualquier dominio fundamental para el grupo modular que actúa sobre el semiplano superior , por ejemplo . es la función eta de Dedekind . El integrando es, por supuesto, invariante bajo el grupo modular: la medida es simplemente la métrica de Poincaré que tiene PSL(2,R) como grupo de isometría; el resto del integrando también es invariante en virtud de y el hecho de que es una forma modular de peso 1/2. ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

Esta integral diverge. Esto se debe a la presencia del taquión y está relacionada con la inestabilidad del vacío perturbativo.

Véase también

• Acción Nambu-Goto
• Acción de Polyakov

Notas

1. Lovelace, Claud (1971), "Factores de forma de Pomeron y cortes duales de Regge", Physics Letters , B34 (6): 500–506, Bibcode :1971PhLB...34..500L, doi :10.1016/0370-2693(71)90665-4.
2. D'Hoker, Phong

Referencias

D'Hoker, Eric y Phong, DH (octubre de 1988). "La geometría de la teoría de perturbaciones de cuerdas". Rev. Mod. Phys . 60 (4). American Physical Society: 917–1065. Bibcode :1988RvMP...60..917D. doi :10.1103/RevModPhys.60.917.

Belavin, AA y Knizhnik, VG (febrero de 1986). «Geometría compleja y teoría de cuerdas cuánticas». ZhETF . 91 (2): 364–390. Código Bibliográfico :1986ZhETF..91..364B. Archivado desde el original el 26 de febrero de 2021 . Consultado el 24 de abril de 2015 .

Enlaces externos

• ¿Cuántas teorías de cuerdas existen?
• PIRSA:C09001 - Introducción a la cuerda bosónica