En matemáticas , en particular en geometría algebraica , un espacio de módulos es un espacio geométrico (normalmente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan objetos algebrogeométricos de algún tipo fijo, o clases de isomorfismo de dichos objetos. Dichos espacios surgen con frecuencia como soluciones a problemas de clasificación: si se puede demostrar que a una colección de objetos interesantes (por ejemplo, las curvas algebraicas suaves de un género fijo ) se les puede dar la estructura de un espacio geométrico, entonces se pueden parametrizar dichos objetos introduciendo coordenadas en el espacio resultante. En este contexto, el término "módulo" se utiliza como sinónimo de "parámetro"; los espacios de módulos se entendieron primero como espacios de parámetros en lugar de espacios de objetos. Una variante de los espacios de módulos son los módulos formales . Bernhard Riemann utilizó por primera vez el término "módulos" en 1857. [1]
Los espacios de módulos son espacios de soluciones de problemas de clasificación geométrica. Es decir, los puntos de un espacio de módulos corresponden a soluciones de problemas geométricos. Aquí se identifican diferentes soluciones si son isomorfas (es decir, geométricamente iguales). Se puede pensar que los espacios de módulos dan un espacio universal de parámetros para el problema. Por ejemplo, considere el problema de encontrar todos los círculos en el plano euclidiano hasta la congruencia. Cualquier círculo se puede describir de forma única dando tres puntos, pero muchos conjuntos diferentes de tres puntos dan el mismo círculo: la correspondencia es de muchos a uno. Sin embargo, los círculos se parametrizan de forma única dando su centro y radio: estos son dos parámetros reales y un parámetro real positivo. Dado que solo nos interesan los círculos "hasta la congruencia", identificamos círculos que tienen diferentes centros pero el mismo radio, y por lo tanto el radio solo es suficiente para parametrizar el conjunto de interés. El espacio de módulos es, por lo tanto, los números reales positivos .
Los espacios de módulos también suelen tener estructuras geométricas y topológicas naturales. En el ejemplo de los círculos, por ejemplo, el espacio de módulos no es solo un conjunto abstracto, sino que el valor absoluto de la diferencia de los radios define una métrica para determinar cuándo dos círculos están "cerca". La estructura geométrica de los espacios de módulos nos indica localmente cuándo dos soluciones de un problema de clasificación geométrica están "cerca", pero, por lo general, los espacios de módulos también tienen una estructura global complicada.
Por ejemplo, considere cómo describir el conjunto de líneas en R 2 que intersecan el origen. Queremos asignar a cada línea L de esta familia una cantidad que pueda identificarla de manera única: un módulo. Un ejemplo de tal cantidad es el ángulo positivo θ( L ) con 0 ≤ θ < π radianes. El conjunto de líneas L parametrizadas de esta manera se conoce como P 1 ( R ) y se llama línea proyectiva real .
También podemos describir la colección de líneas en R 2 que intersecan el origen por medio de una construcción topológica. A saber: considere el círculo unitario S 1 ⊂ R 2 y note que cada punto s ∈ S 1 da una línea L ( s ) en la colección (que une el origen y s ). Sin embargo, esta función es dos a uno, por lo que queremos identificar s ~ − s para obtener P 1 ( R ) ≅ S 1 /~ donde la topología en este espacio es la topología cociente inducida por la función cociente S 1 → P 1 ( R ).
Así, cuando consideramos P 1 ( R ) como un espacio de módulos de líneas que intersecan el origen en R 2 , capturamos las formas en que los miembros (líneas en este caso) de la familia pueden modular variando continuamente 0 ≤ θ < π.
El espacio proyectivo real P n es un espacio de módulos que parametriza el espacio de las rectas en R n +1 que pasan por el origen. De manera similar, el espacio proyectivo complejo es el espacio de todas las rectas complejas en C n +1 que pasan por el origen.
De manera más general, el Grassmanniano G ( k , V ) de un espacio vectorial V sobre un campo F es el espacio de módulos de todos los subespacios lineales de dimensión k de V .
Siempre que hay una incrustación de un esquema en el espacio proyectivo universal , [2] [3] la incrustación está dada por un fibrado de líneas y secciones que no se anulan todas al mismo tiempo. Esto significa que, dado un punto
Hay un punto asociado
dado por las composiciones
Entonces, dos haces de líneas con secciones son equivalentes
Si existe un isomorfismo tal que . Esto significa que el functor de módulos asociado
Envía un esquema al conjunto
Para demostrar que esto es cierto, se puede ejecutar una serie de tautologías: cualquier incrustación proyectiva da como resultado el haz globalmente generado con secciones . Por el contrario, dado un fibrado lineal amplio generado globalmente por secciones, se obtiene una incrustación como la anterior.
La variedad Chow Chow (d, P 3 ) es una variedad algebraica proyectiva que parametriza curvas de grado d en P 3 . Se construye de la siguiente manera. Sea C una curva de grado d en P 3 , entonces considérense todas las rectas en P 3 que intersecan la curva C . Este es un divisor de grado d D C en G (2, 4), el Grassmanniano de rectas en P 3 . Cuando C varía, asociando C a D C , obtenemos un espacio paramétrico de curvas de grado d como un subconjunto del espacio de divisores de grado d del Grassmanniano: Chow (d, P 3 ).
El esquema de Hilbert Hilb ( X ) es un esquema de módulos. Cada punto cerrado de Hilb ( X ) corresponde a un subesquema cerrado de un esquema fijo X , y cada subesquema cerrado está representado por dicho punto. Un ejemplo simple de un esquema de Hilbert es el esquema de Hilbert que parametriza hipersuperficies de grado del espacio proyectivo . Esto viene dado por el fibrado proyectivo
con familia universal dada por
donde es el esquema proyectivo asociado para el polinomio homogéneo de grado .
Existen varias nociones relacionadas con lo que podríamos llamar espacios de módulos. Cada una de estas definiciones formaliza una noción diferente de lo que significa que los puntos del espacio M representen objetos geométricos.
Este es el concepto estándar. Heurísticamente, si tenemos un espacio M para el cual cada punto m ∊ M corresponde a un objeto algebro-geométrico U m , entonces podemos ensamblar estos objetos en una familia tautológica U sobre M . (Por ejemplo, el Grassmanniano G ( k , V ) lleva un fibrado de rango k cuya fibra en cualquier punto [ L ] ∊ G ( k , V ) es simplemente el subespacio lineal L ⊂ V .) M se llama un espacio base de la familia U . Decimos que tal familia es universal si cualquier familia de objetos algebro-geométricos T sobre cualquier espacio base B es el pullback de U a lo largo de una función única B → M . Un espacio de módulos finos es un espacio M que es la base de una familia universal.
Más precisamente, supongamos que tenemos un funtor F de esquemas a conjuntos, que asigna a un esquema B el conjunto de todas las familias adecuadas de objetos con base B . Un espacio M es un espacio de módulos finos para el funtor F si M representa F , es decir, hay un isomorfismo natural τ : F → Hom (−, M ), donde Hom (−, M ) es el funtor de puntos. Esto implica que M lleva una familia universal; esta familia es la familia en M correspondiente a la función identidad 1 M ∊ Hom ( M , M ).
Los espacios de módulos finos son deseables, pero no siempre existen y con frecuencia son difíciles de construir, por lo que los matemáticos a veces usan una noción más débil, la idea de un espacio de módulos grueso. Un espacio M es un espacio de módulos grueso para el funtor F si existe una transformación natural τ : F → Hom (−, M ) y τ es universal entre tales transformaciones naturales. Más concretamente, M es un espacio de módulos grueso para F si cualquier familia T sobre una base B da lugar a una función φ T : B → M y dos objetos cualesquiera V y W (considerados como familias sobre un punto) corresponden al mismo punto de M si y solo si V y W son isomorfos. Por lo tanto, M es un espacio que tiene un punto para cada objeto que podría aparecer en una familia, y cuya geometría refleja las formas en que los objetos pueden variar en las familias. Nótese, sin embargo, que un espacio de módulos grueso no necesariamente lleva ninguna familia de objetos apropiados, y mucho menos una universal.
En otras palabras, un espacio de módulos finos incluye tanto un espacio base M como una familia universal U → M , mientras que un espacio de módulos grueso solo tiene el espacio base M .
Con frecuencia sucede que objetos geométricos interesantes vienen equipados con muchos automorfismos naturales . Esto, en particular, hace imposible la existencia de un espacio de módulos finos (intuitivamente, la idea es que si L es algún objeto geométrico, la familia trivial L × [0,1] se puede convertir en una familia retorcida en el círculo S 1 identificando L × {0} con L × {1} mediante un automorfismo no trivial. Ahora bien, si existiera un espacio de módulos finos X , la función S 1 → X no debería ser constante, pero tendría que ser constante en cualquier conjunto abierto propio por trivialidad), a veces todavía se puede obtener un espacio de módulos grueso. Sin embargo, este enfoque no es ideal, ya que no se garantiza que existan dichos espacios, con frecuencia son singulares cuando existen y omiten detalles sobre algunas familias no triviales de objetos que clasifican.
Un enfoque más sofisticado consiste en enriquecer la clasificación recordando los isomorfismos. Más precisamente, sobre cualquier base B se puede considerar la categoría de familias sobre B con sólo isomorfismos entre familias tomados como morfismos. Se considera entonces la categoría fibrada que asigna a cualquier espacio B el grupoide de familias sobre B. El uso de estas categorías fibradas en grupoides para describir un problema de módulos se remonta a Grothendieck (1960/61). En general, no se pueden representar mediante esquemas o incluso espacios algebraicos , pero en muchos casos tienen una estructura natural de pila algebraica .
Las pilas algebraicas y su uso para analizar problemas de módulos aparecieron en Deligne-Mumford (1969) como una herramienta para demostrar la irreducibilidad del espacio de módulos (basto) de curvas de un género dado. El lenguaje de las pilas algebraicas proporciona esencialmente una forma sistemática de ver la categoría fibrosa que constituye el problema de módulos como un "espacio", y la pila de módulos de muchos problemas de módulos tiene un mejor comportamiento (por ejemplo, es suave) que el espacio de módulos basto correspondiente.
La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves de género g , junto con sus isomorfismos. Cuando g > 1, esta pila puede compactarse añadiendo nuevos puntos "límite" que corresponden a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si tiene solo un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota . Ambas pilas de módulos contienen familias universales de curvas. También se pueden definir espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos se estudiaron en realidad antes de que se inventara la noción de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue inventada por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental.
Las dos pilas anteriores tienen dimensión 3 g −3; por lo tanto, se puede especificar completamente una curva nodal estable eligiendo los valores de los parámetros 3 g −3, cuando g > 1. En géneros inferiores, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Hay exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de es
De la misma manera, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada una de esas curvas tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0. Los espacios de módulos gruesos tienen dimensión 3 g −3 como las pilas cuando g > 1 porque las curvas con género g > 1 tienen solo un grupo finito como su automorfismo, es decir, dim(un grupo de automorfismos) = 0. Finalmente, en el género cero, el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno.
También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados. Se dice que dichas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curva que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas de género g suaves (o estables) con n puntos marcados se denotan (o ), y tienen dimensión 3 g − 3 + n .
Un caso de particular interés es la pila de módulos de curvas de género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas y es el hogar natural de las muy estudiadas formas modulares , que son secciones meromórficas de haces en esta pila.
En dimensiones superiores, los módulos de variedades algebraicas son más difíciles de construir y estudiar. Por ejemplo, el análogo de dimensiones superiores del espacio de módulos de curvas elípticas analizado anteriormente es el espacio de módulos de variedades abelianas, como la variedad modular de Siegel . Este es el problema subyacente a la teoría de formas modulares de Siegel . Véase también variedad de Shimura .
Utilizando técnicas que surgieron del programa de modelo mínimo, János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron construyeron espacios de módulos de variedades de tipo general , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. [4]
Utilizando técnicas que surgen de la geometría diferencial y la geometría biracional simultáneamente, se ha logrado la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano restringiéndolas a una clase especial de variedades K-estables . En este contexto, se utilizan resultados importantes sobre la acotación de las variedades de Fano demostrados por Caucher Birkar , por los que fue galardonado con la medalla Fields 2018 .
La construcción de espacios de módulos de variedades de Calabi-Yau es un problema abierto importante, y solo se entienden casos especiales como espacios de módulos de superficies K3 o variedades abelianas . [5]
Otro problema importante de módulos es entender la geometría de (varias subpilas de) la pila de módulos Vect n ( X ) de fibrados vectoriales de rango n en una variedad algebraica fija X . [6] Esta pila ha sido más estudiada cuando X es unidimensional, y especialmente cuando n es igual a uno. En este caso, el espacio de módulos grueso es el esquema de Picard , que al igual que el espacio de módulos de curvas, se estudió antes de que se inventaran las pilas. Cuando los fibrados tienen rango 1 y grado cero, el estudio del espacio de módulos grueso es el estudio de la variedad jacobiana .
En aplicaciones a la física , se ha descubierto que el número de módulos de los fibrados vectoriales y el problema estrechamente relacionado del número de módulos de los fibrados G principales son significativos en la teoría de calibre . [ cita requerida ]
Geodésicas simples y volúmenes de Weil-Petersson de espacios de módulos de superficies de Riemann bordeadas.
La formulación moderna de los problemas de módulos y la definición de los espacios de módulos en términos de los funtores de módulos (o, más generalmente, las categorías fibriladas en grupoides ) y los espacios que (casi) los representan, se remonta a Grothendieck (1960/61), en el que describió el marco general, los enfoques y los problemas principales utilizando los espacios de Teichmüller en geometría analítica compleja como ejemplo. Las charlas, en particular, describen el método general de construcción de espacios de módulos rigidizando primero el problema de módulos en consideración.
Más precisamente, la existencia de automorfismos no triviales de los objetos que se clasifican hace imposible tener un espacio de módulos fino. Sin embargo, a menudo es posible considerar un problema de módulos modificado de clasificación de los objetos originales junto con datos adicionales, elegidos de tal manera que la identidad sea el único automorfismo que también respete los datos adicionales. Con una elección adecuada de los datos rigidizantes, el problema de módulos modificado tendrá un espacio de módulos (fino) T , a menudo descrito como un subesquema de un esquema de Hilbert adecuado o esquema Quot . Los datos rigidizantes se eligen además de modo que correspondan a un fibrado principal con un grupo de estructura algebraica G . Así, uno puede retroceder del problema rigidizado al original tomando cociente por la acción de G , y el problema de construir el espacio de módulos se convierte en el de encontrar un esquema (o espacio más general) que sea (en un sentido adecuadamente fuerte) el cociente T / G de T por la acción de G . El último problema, en general, no admite una solución; Sin embargo, este problema se aborda mediante la innovadora teoría del invariante geométrico (TIG), desarrollada por David Mumford en 1965, que demuestra que, en condiciones adecuadas, el cociente efectivamente existe.
Para ver cómo podría funcionar esto, considere el problema de parametrizar curvas suaves del género g > 2. Una curva suave junto con un sistema lineal completo de grado d > 2 g es equivalente a un subesquema unidimensional cerrado del espacio proyectivo P d−g . En consecuencia, el espacio de módulos de curvas suaves y sistemas lineales (que satisfacen ciertos criterios) puede estar incluido en el esquema de Hilbert de un espacio proyectivo de dimensión suficientemente alta. Este lugar geométrico H en el esquema de Hilbert tiene una acción de PGL( n ) que mezcla los elementos del sistema lineal; en consecuencia, el espacio de módulos de curvas suaves se recupera entonces como el cociente de H por el grupo lineal general proyectivo.
Otro enfoque general se asocia principalmente con Michael Artin . Aquí la idea es comenzar con un objeto del tipo que se va a clasificar y estudiar su teoría de deformación . Esto significa primero construir deformaciones infinitesimales , luego apelar a teoremas de prorepresentabilidad para juntarlas en un objeto sobre una base formal . Luego, una apelación al teorema de existencia formal de Grothendieck proporciona un objeto del tipo deseado sobre una base que es un anillo local completo. Este objeto puede aproximarse mediante el teorema de aproximación de Artin por un objeto definido sobre un anillo finitamente generado. El espectro de este último anillo puede entonces verse como una especie de gráfico de coordenadas en el espacio de módulos deseado. Al pegar suficientes de estos gráficos, podemos cubrir el espacio, pero el mapa de nuestra unión de espectros al espacio de módulos será, en general, de muchos a uno. Por lo tanto, definimos una relación de equivalencia en la primera; esencialmente, dos puntos son equivalentes si los objetos sobre cada uno son isomorfos. Esto proporciona un esquema y una relación de equivalencia, que es suficiente para definir un espacio algebraico (en realidad una pila algebraica si somos cuidadosos) si no siempre un esquema.
El término espacio de módulos se utiliza a veces en física para referirse específicamente al espacio de módulos de valores esperados del vacío de un conjunto de campos escalares , o al espacio de módulos de posibles fondos de cuerdas .
Los espacios de módulos también aparecen en física en la teoría de campos topológicos , donde se pueden utilizar integrales de trayectorias de Feynman para calcular los números de intersección de varios espacios de módulos algebraicos.
![{\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}(R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535c341301f13e07188231a9c8e0099428d55438)
