El criterio de Artin

En matemáticas, los criterios de Artin ^{[1] [2] [3] [4]} son ​​una colección de condiciones necesarias y suficientes relacionadas sobre los funtores de deformación que prueban la representabilidad de estos funtores como espacios algebraicos ^[5] o como pilas algebraicas . En particular, estas condiciones se utilizan en la construcción de la pila de módulos de curvas elípticas ^[6] y la construcción de la pila de módulos de curvas puntiagudas ^[7] .

Notación y notas técnicas

A lo largo de este artículo, sea un esquema de tipo finito sobre un campo o un DVR excelente . será una categoría fibrada en grupoides , será el grupoide que se encuentra sobre . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p:F\to (Sch/S)}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle X\to S}$

Se dice que una pila preserva los límites si es compatible con los límites directos filtrados en , lo que significa que dado un sistema filtrado existe una equivalencia de categorías. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Sch/S}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \lim _{\rightarrow }F(X_{i})\to F(\lim _{\rightarrow }X_{i})}$

Un elemento de se llama elemento algebraico si es la henselización de un -álgebra de tipo finito. ${\displaystyle x\in F(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Una pila que preserva el límite se denomina pila algebraica si ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Sch/S}$

1. Para cualquier par de elementos el producto de fibras se representa como un espacio algebraico ${\displaystyle x\in F(X),y\in F(Y)}$ ${\displaystyle X\times _{F}Y}$
2. Hay un esquema localmente de tipo finito, y un elemento que es suave y sobreyectivo tal que para cualquier mapa inducido es suave y sobreyectivo. ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle x\in F(X)}$ ${\displaystyle y\in F(Y)}$ ${\displaystyle X\times _{F}Y\to Y}$

Véase también

• Teorema de aproximación de Artin
• Teorema de Schlessinger

Referencias

1. Artin, M. (septiembre de 1974). "Deformaciones versales y pilas algebraicas". Inventiones Mathematicae . 27 (3): 165–189. doi :10.1007/bf01390174. ISSN  0020-9910. S2CID  122887093.
2. Artin, M. (31 de diciembre de 2015), "Algebrización de módulos formales: I", Análisis global: artículos en honor a K. Kodaira (PMS-29) , Princeton: Princeton University Press, págs. 21-72, doi : 10.1515/9781400871230-003, ISBN 978-1-4008-7123-0
3. Artin, M. (enero de 1970). "Algebrización de módulos formales: II. Existencia de modificaciones". Anales de matemáticas . 91 (1): 88–135. doi :10.2307/1970602. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970602.
4. Artin, M. (enero de 1969). "Aproximación algebraica de estructuras sobre anillos locales completos". Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 (1): 23–58. doi :10.1007/bf02684596. ISSN  0073-8301. S2CID  4617543.
5. Hall, Jack; Rydh, David (2019). "Revisión de los criterios de algebraicidad de Artin". Álgebra y teoría de números . 13 (4): 749–796. arXiv : 1306.4599 . doi :10.2140/ant.2019.13.749. S2CID  119597571.
6. Deligne, P.; Rapoport, M. (1973), Les schémas de module de courbes elliptiques , Lecture Notes in Mathematics, vol. 349, Springer Berlin Heidelberg, págs. 143–316, doi :10.1007/bfb0066716, ISBN 978-3-540-06558-6
7. Knudsen, Finn F. (1983-12-01). "La proyectividad del espacio de módulos de curvas estables, II: Las pilas $M_{g,n}$". Mathematica Scandinavica . 52 : 161–199. doi : 10.7146/math.scand.a-12001 . ISSN  1903-1807.

• Teoría de la deformación y pilas algebraicas: descripción general de los artículos de Artin y la investigación relacionada