Teorema de aproximación de Artin

El resultado de 1969 en la teoría de la deformación

En matemáticas , el teorema de aproximación de Artin es un resultado fundamental de Michael Artin  (1969) en la teoría de la deformación que implica que las series de potencias formales con coeficientes en un campo k están bien aproximadas por las funciones algebraicas en k .

Más precisamente, Artin demostró dos de estos teoremas: uno, en 1968, sobre la aproximación de soluciones analíticas complejas mediante soluciones formales (en el caso ); y una versión algebraica de este teorema en 1969. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Enunciado del teorema

Sea una colección de n indeterminados , el anillo de series de potencias formales con indeterminados sobre un cuerpo k y un conjunto diferente de indeterminados. Sea ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

sea ​​un sistema de ecuaciones polinómicas en , y c un entero positivo . Entonces, dada una solución formal en serie de potencias , existe una solución algebraica que consiste en funciones algebraicas (más precisamente, series de potencias algebraicas) tales que ${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.}$

Discusión

Dado cualquier entero positivo deseado c , este teorema muestra que se puede encontrar una solución algebraica que se aproxime a una solución de serie de potencias formales hasta el grado especificado por c . Esto conduce a teoremas que deducen la existencia de ciertos espacios de módulos formales de deformaciones como esquemas . Véase también: Criterio de Artin .

Declaración alternativa

La siguiente afirmación alternativa se da en el Teorema 1.12 de Michael Artin  (1969).

Sea un campo o un anillo de valoración discreto excelente, sea la henselización en un ideal primo de un -álgebra de tipo finito, sea m un ideal propio de , sea la completitud m -ádica de , y sea ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{sets}}),}$

sea ​​un funtor que envía colimites filtrados a colimites filtrados (Artin llama a un funtor de este tipo localmente de presentación finita). Entonces, para cualquier entero c y cualquier , existe un tal que ${\displaystyle {\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})}$ ${\displaystyle \xi \in F(A)}$

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$.

Véase también

• Anillo con la propiedad de aproximación
• Teorema de Popescu
• El criterio de Artin

Referencias

• Artin, Michael (1969), "Aproximación algebraica de estructuras sobre anillos locales completos", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, SEÑOR  0268188
• Artin, Michael (1971). Espacios algebraicos . Yale Mathematical Monographs. Vol. 3. New Haven, CT–Londres: Yale University Press . MR  0407012.
• Raynaud, Michel (1971), "Travaux récents de M. Artin", Séminaire Nicolas Bourbaki , 11 (363): 279–295, SEÑOR  3077132