En álgebra, el teorema de Schlessinger es un teorema en la teoría de la deformación introducido por Schlessinger (1968) que da condiciones para que un funtor de anillos locales artinianos sea pro-representable, refinando un teorema anterior de Grothendieck .
Λ es un anillo local noetheriano completo con cuerpo de residuos k , y C es la categoría de las Λ-álgebras artinianas locales (lo que significa en particular que como módulos sobre Λ son finitamente generadas y artinianas) con cuerpo de residuos k .
Una pequeña extensión en C es un morfismo Y → Z en C que es sobreyectivo con núcleo en un espacio vectorial unidimensional sobre k .
Un funtor se llama representable si tiene la forma h X donde h X ( Y )=hom( X , Y ) para algún X , y se llama pro-representable si tiene la forma Y →lim hom( X i , Y ) para un límite directo filtrado sobre i en algún conjunto ordenado filtrado.
Un morfismo de funtores F → G de C a conjuntos se llama suave si siempre que Y → Z es un epimorfismo de C , la función de F ( Y ) a F ( Z )× G ( Z ) G ( Y ) es sobreyectiva. Esta definición está estrechamente relacionada con la noción de un morfismo formalmente suave de esquemas. Si además la función entre los espacios tangentes de F y G es un isomorfismo, entonces F se llama una envoltura de G .
Grothendieck (1960, proposición 3.1) demostró que un funtor de la categoría C de las álgebras artinianas a conjuntos es pro-representable si y sólo si preserva todos los límites finitos. Esta condición es equivalente a pedir que el funtor preserve los pullbacks y el objeto final. De hecho, el teorema de Grothendieck se aplica no sólo a la categoría C de las álgebras artinianas, sino a cualquier categoría con límites finitos cuyos objetos sean artinianos.
Tomando el límite proyectivo del funtor pro-representable en la categoría más grande de anillos locales topológicos lineales, se obtiene un anillo local topológico lineal completo que representa al funtor.
Una dificultad en la aplicación del teorema de Grothendieck es que puede resultar difícil comprobar que un funtor conserva todos los pullbacks. Schlessinger demostró que es suficiente comprobar que el funtor conserva los pullbacks de una forma especial, lo que suele ser más fácil de comprobar. El teorema de Schlessinger también proporciona condiciones bajo las cuales el funtor tiene una envoltura, incluso si no es representable.
El teorema de Schessinger proporciona las condiciones para que un funtor de valores conjuntos F en C sea representable por una Λ-álgebra local completa R con un ideal máximo m tal que R / m n está en C para todo n .
El teorema de Schlessinger establece que un funtor de C a conjuntos con F ( k ) un conjunto de 1 elemento es representable por un álgebra local noetheriana completa si tiene las siguientes propiedades, y tiene una envoltura si tiene las primeras tres propiedades: