Teorema de aproximación de Artin

1969 resultado en la teoría de la deformación.

En matemáticas , el teorema de aproximación de Artin es un resultado fundamental de Michael Artin  (1969) en la teoría de la deformación , lo que implica que las series de potencias formales con coeficientes en un campo k están bien aproximadas por las funciones algebraicas en k .

Más precisamente, Artin demostró dos de esos teoremas: uno, en 1968, sobre la aproximación de soluciones analíticas complejas mediante soluciones formales (en el caso ); y una versión algebraica de este teorema en 1969. ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Declaración del teorema

Denotemos una colección de n indeterminados , el anillo de series de potencias formales con indeterminados sobre un campo k , y un conjunto diferente de indeterminados. Dejar ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

ser un sistema de ecuaciones polinómicas en , yc un entero positivo . Entonces, dada una solución formal en series de potencias , existe una solución algebraica que consta de funciones algebraicas (más precisamente, series de potencias algebraicas) tales que ${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.}$

Discusión

Dado cualquier entero positivo c deseado , este teorema muestra que se puede encontrar una solución algebraica que se aproxima a una solución formal en serie de potencias hasta el grado especificado por c . Esto conduce a teoremas que deducen la existencia de ciertos espacios de módulos formales de deformaciones como esquemas . Véanse también: El criterio de Artin .

Declaración alternativa

La siguiente afirmación alternativa se da en el Teorema 1.12 de Michael Artin  (1969).

Sea un campo o un anillo de valoración discreto excelente, sea la henselización en un ideal primo de un -álgebra de tipo finito, sea m un ideal propio de , sea la terminación m -ádica de , y sea ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{sets}}),}$

ser un functor que envía colimits filtrados a colimits filtrados (Artin llama a dicho functor localmente de presentación finita). Entonces, para cualquier número entero c y cualquiera , existe un tal que ${\displaystyle {\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})}$ ${\displaystyle \xi \in F(A)}$

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$.

Ver también

• Anillo con la propiedad de aproximación.
• teorema de popescu
• El criterio de Artín.

Referencias

• Artin, Michael (1969), "Aproximación algebraica de estructuras sobre anillos locales completos", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, SEÑOR  0268188
• Artín, Michael (1971). Espacios algebraicos . Monografías de matemáticas de Yale. vol. 3. New Haven, CT – Londres: Yale University Press . SEÑOR  0407012.
• Raynaud, Michel (1971), "Travaux récents de M. Artin", Séminaire Nicolas Bourbaki , 11 (363): 279–295, SEÑOR  3077132