Esquema formal

Tipos de espacio en matemáticas

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica , un esquema formal es un tipo de espacio que incluye datos sobre su entorno. A diferencia de un esquema ordinario , un esquema formal incluye datos infinitesimales que, en efecto, apuntan en una dirección fuera del esquema. Por esta razón, los esquemas formales aparecen con frecuencia en temas como la teoría de la deformación . Pero el concepto también se utiliza para demostrar un teorema como el teorema sobre funciones formales , que se utiliza para deducir teoremas de interés para esquemas habituales.

Un esquema localmente noetheriano es un esquema formal localmente noetheriano en el sentido canónico: la completitud formal a lo largo de sí mismo. En otras palabras, la categoría de esquemas formales localmente noetherianos contiene todos los esquemas localmente noetherianos.

Los esquemas formales fueron motivados por la teoría de funciones holomorfas formales de Zariski y la generalizan .

La geometría algebraica basada en esquemas formales se denomina geometría algebraica formal .

Definición

Los esquemas formales suelen definirse únicamente en el caso noetheriano . Si bien existen varias definiciones de esquemas formales no noetherianos, estas presentan problemas técnicos. En consecuencia, definiremos únicamente esquemas formales noetherianos a nivel local.

Se supondrá que todos los anillos son conmutativos y con unidad . Sea A un anillo topológico (noetheriano) , es decir, un anillo A que es un espacio topológico tal que las operaciones de adición y multiplicación son continuas. A está topologizado linealmente si cero tiene una base que consiste en ideales . Un ideal de definición para un anillo topologizado linealmente es un ideal abierto tal que para cada entorno abierto V de 0, existe un entero positivo n tal que . Un anillo topologizado linealmente es preadmisible si admite un ideal de definición, y es admisible si también es completo . (En la terminología de Bourbaki , esto es "completo y separado"). ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$

Supóngase que A es admisible, y sea un ideal de definición. Un ideal primo es abierto si y solo si contiene . El conjunto de ideales primos abiertos de A , o equivalentemente el conjunto de ideales primos de , es el espacio topológico subyacente del espectro formal de A , denotado Spf A . Spf A tiene un haz de estructura que se define utilizando el haz de estructura del espectro de un anillo . Sea una base de vecindad para cero que consiste en ideales de definición. Todos los espectros de tienen el mismo espacio topológico subyacente pero un haz de estructura diferente. El haz de estructura de Spf A es el límite proyectivo . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$

Se puede demostrar que si f ∈ A y D _f es el conjunto de todos los ideales primos abiertos de A que no contienen f , entonces , donde es la completitud de la localización A _f . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$

Finalmente, un esquema formal localmente noetheriano es un espacio topológicamente anillado (es decir, un espacio anillado cuyo haz de anillos es un haz de anillos topológicos) tal que cada punto admite un vecindario abierto isomorfo (como espacios topológicamente anillados) al espectro formal de un anillo noetheriano. ${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Morfismos entre esquemas formales

Un morfismo de esquemas formales localmente noetherianos es un morfismo de ellos como espacios localmente anillados tales que el mapa inducido es un homomorfismo continuo de anillos topológicos para cualquier subconjunto abierto afín U. ${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$ ${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$

Se dice que f es ádico o es un esquema formal -ádico si existe un ideal de definición tal que es un ideal de definición para . Si f es ádico, entonces esta propiedad se cumple para cualquier ideal de definición. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Ejemplos

Para cualquier ideal I y anillo A podemos definir la topología I-ádica en A , definida por su base consistente en conjuntos de la forma a+I ⁿ . Esto es preadmisible, y admisible si A es I -ádicamente completo. En este caso Spf A es el espacio topológico Spec A/I con haz de anillos en lugar de . ${\displaystyle {\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$

1. A=k[[t]] e I=(t) . Entonces A/I=k , por lo que el espacio Spf A tiene un único punto (t) en el que su haz de estructura toma el valor k[[t]] . Compárese esto con Spec A/I , cuyo haz de estructura toma el valor k en este punto: este es un ejemplo de la idea de que Spf A es un 'engrosamiento formal' de A alrededor de I .
2. La completitud formal de un subesquema cerrado. Considérese el subesquema cerrado X del plano afín sobre k , definido por el ideal I=(y ² -x ³ ) . Nótese que A ₀ =k[x,y] no es I -ádicamente completo; escriba A para su completitud I -ádica. En este caso, la función espacial A=X como espacios y su haz de estructura es . Sus secciones globales son A , a diferencia de X cuyas secciones globales son A/I . ${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$

Véase también

• función holomorfa formal
• Teoría de la deformación
• Teorema de Schlessinger

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Yasuda, T. (2009). "Esquemas formales no ádicos". International Mathematics Research Notices . arXiv : 0711.0434 . doi :10.1093/imrn/rnp021.
• McQuillan, Michael (2002). "Esquemas formales formales". Topología y geometría: conmemoración de SISTAG. Matemáticas contemporáneas. Vol. 314. págs. 187–198. doi :10.1090/conm/314/05431. ISBN 9780821828205.

Enlaces externos

• finalización formal