En matemáticas , particularmente en teoría de categorías , un funtor representable es un determinado funtor de una categoría arbitraria a la categoría de conjuntos . Dichos funtores dan representaciones de una categoría abstracta en términos de estructuras conocidas (es decir, conjuntos y funciones ), lo que permite utilizar, en la medida de lo posible, el conocimiento sobre la categoría de conjuntos en otros entornos.
Desde otro punto de vista, los functores representables para una categoría C son los functores dados con C . Su teoría es una amplia generalización de los conjuntos superiores en posets y del teorema de Cayley en teoría de grupos .
Sea C una categoría localmente pequeña y sea Set la categoría de conjuntos . Para cada objeto A de C, sea Hom( A ,–) el functor hom que asigna el objeto X al conjunto Hom( A , X ).
Se dice que un funtor F : C → Set es representable si es naturalmente isomorfo a Hom( A ,–) para algún objeto A de C . Una representación de F es un par ( A , Φ) donde
es un isomorfismo natural.
Un funtor contravariante G de C a Set es lo mismo que un funtor G : C op → Set y comúnmente se llama presheaf . Un presheaf es representable cuando es naturalmente isomorfo al funtor hom contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C .
Según el lema de Yoneda , las transformaciones naturales de Hom( A ,–) a F están en correspondencia uno a uno con los elementos de F ( A ). Dada una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F el elemento correspondiente u ∈ F ( A ) viene dado por
Por el contrario, dado cualquier elemento u ∈ F ( A ) podemos definir una transformación natural Φ : Hom( A ,–) → F vía
donde f es un elemento de Hom( A , X ). Para obtener una representación de F queremos saber cuándo la transformación natural inducida por u es un isomorfismo. Esto lleva a la siguiente definición:
Un elemento universal puede verse como un morfismo universal desde el conjunto de un punto {•} al funtor F o como un objeto inicial en la categoría de elementos de F.
La transformación natural inducida por un elemento u ∈ F ( A ) es un isomorfismo si y sólo si ( A , u ) es un elemento universal de F . Por lo tanto , concluimos que las representaciones de F están en correspondencia uno a uno con elementos universales de F. Por este motivo, es común referirse a los elementos universales ( A , u ) como representaciones.
Las representaciones de functores son únicas hasta un isomorfismo único. Es decir, si ( A 1 ,Φ 1 ) y ( A 2 ,Φ 2 ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ : A 1 → A 2 tal que
como isomorfismos naturales de Hom( A 2 ,–) a Hom( A 1 ,–). Este hecho se desprende fácilmente del lema de Yoneda .
Expresado en términos de elementos universales: si ( A 1 , u 1 ) y ( A 2 , u 2 ) representan el mismo funtor, entonces existe un isomorfismo único φ: A 1 → A 2 tal que
Los functores representables son naturalmente isomorfos a los functores Hom y, por lo tanto, comparten sus propiedades. En particular, los funtores representables (covariantes) preservan todos los límites . De ello se deduce que cualquier funtor que no consiga preservar algún límite no es representable.
Los functores representables contravariantes llevan los colimits a límites.
Cualquier funtor K : C → Conjunto con un adjunto izquierdo F : Conjunto → C está representado por ( FX , η X (•)) donde X = {•} es un conjunto singleton y η es la unidad del adjunto.
Por el contrario, si K está representado por un par ( A , u ) y todos los copoderes pequeños de A existen en C , entonces K tiene un adjunto izquierdo F que envía cada conjunto I al I - ésimo copoder de A.
Por lo tanto, si C es una categoría con todos los copoderes pequeños, un funtor K : C → Set es representable si y sólo si tiene un adjunto izquierdo.
Las nociones categóricas de morfismos universales y funtores adjuntos se pueden expresar utilizando funtores representables.
Sea G : D → C un funtor y sea X un objeto de C . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de X a G si y sólo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom C ( X , G –) de D a Set . Se deduce que G tiene un F adjunto izquierdo si y sólo si Hom C ( X , G –) es representable para todo X en C . El isomorfismo natural Φ X : Hom D ( FX ,–) → Hom C ( X , G –) produce la conjunción; eso es
es una biyección para todos X e Y .
Las afirmaciones duales también son ciertas. Sea F : C → D un functor y sea Y un objeto de D . Entonces ( A ,φ) es un morfismo universal de F a Y si y solo si ( A ,φ) es una representación del funtor Hom D ( F –, Y ) de C a Set . De ello se deduce que F tiene un G adjunto derecho si y sólo si Hom D ( F –, Y ) es representable para todo Y en D . [2]