Operador tensorial

El operador tensorial generaliza la noción de operadores que son escalares y vectores.

En matemáticas puras y aplicadas , mecánica cuántica y gráficos por computadora , un operador tensorial generaliza la noción de operadores que son escalares y vectores . Una clase especial de estos son los operadores tensoriales esféricos que aplican la noción de base esférica y armónicos esféricos . La base esférica se relaciona estrechamente con la descripción del momento angular en mecánica cuántica y funciones armónicas esféricas. La generalización sin coordenadas de un operador tensorial se conoce como operador de representación . ^[1]

La noción general de operadores escalares, vectoriales y tensoriales

En mecánica cuántica, los observables físicos que son escalares, vectores y tensores deben representarse mediante operadores escalares, vectoriales y tensoriales, respectivamente. Que algo sea un escalar, un vector o un tensor depende de cómo lo vean dos observadores cuyos marcos de coordenadas están relacionados entre sí por una rotación. Alternativamente, uno puede preguntar cómo, para un solo observador, una cantidad física se transforma si se rota el estado del sistema. Consideremos, por ejemplo, un sistema que consiste en una molécula de masa , que se desplaza con un momento definido en el centro de masas, , en la dirección. Si rotamos el sistema alrededor del eje, el momento cambiará a , que está en la dirección. Sin embargo, la energía cinética del centro de masas de la molécula no cambiará en . La energía cinética es un escalar y el momento es un vector, y estas dos cantidades deben representarse mediante un operador escalar y un operador vectorial, respectivamente. Por este último en particular, nos referimos a un operador cuyos valores esperados en los estados inicial y rotado son y . La energía cinética, por otra parte, debe representarse mediante un operador escalar, cuyo valor esperado debe ser el mismo en el estado inicial y en el estado rotado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p^{2}/2M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$

De la misma manera, las magnitudes tensoriales deben representarse mediante operadores tensoriales. Un ejemplo de una magnitud tensorial (de rango dos) es el momento cuadrupolar eléctrico de la molécula anterior. Asimismo, los momentos octupolar y hexadecapólico serían tensores de rango tres y cuatro, respectivamente.

Otros ejemplos de operadores escalares son el operador de energía total (más comúnmente llamado hamiltoniano ), la energía potencial y la energía de interacción dipolo-dipolo de dos átomos. Ejemplos de operadores vectoriales son el momento, la posición, el momento angular orbital, , y el momento angular de espín, . (Letra pequeña: el momento angular es un vector en lo que respecta a las rotaciones, pero a diferencia de la posición o el momento, no cambia de signo bajo inversión espacial, y cuando uno desea proporcionar esta información, se dice que es un pseudovector). ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

Los operadores escalares, vectoriales y tensoriales también pueden formarse mediante productos de operadores. Por ejemplo, el producto escalar de los dos operadores vectoriales, y , es un operador escalar, que ocupa un lugar destacado en los análisis de la interacción espín-órbita . De manera similar, el tensor de momento cuadrupolar de nuestra molécula de ejemplo tiene nueve componentes ${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij}\right).}$$Aquí, los índices y pueden tomar independientemente los valores 1, 2 y 3 (o , , y ) correspondientes a los tres ejes cartesianos, el índice recorre todas las partículas (electrones y núcleos) de la molécula, es la carga de la partícula y es el componente -ésimo de la posición de esta partícula. Cada término de la suma es un operador tensorial. En particular, los nueve productos juntos forman un tensor de segundo rango, formado al tomar el producto externo del operador vectorial consigo mismo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}$

Rotaciones de estados cuánticos

Operador de rotación cuántica

El operador de rotación sobre el vector unitario n (que define el eje de rotación) a través del ángulo θ es

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

donde J = ( J _x , J _y , J _z ) son los generadores de rotación (también las matrices de momento angular):

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

y sea una matriz de rotación . Según la fórmula de rotación de Rodrigues , el operador de rotación entonces equivale a ${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$ $${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$$

Un operador es invariante bajo una transformación unitaria U si en este caso para la rotación , ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$ $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$ ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$ $${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

Elementos propios del momento angular

La base ortonormal establecida para el momento angular total es , donde j es el número cuántico del momento angular total y m es el número cuántico del momento angular magnético, que toma valores − j , − j + 1, ..., j − 1, j . Un estado general dentro del subespacio j ${\displaystyle |j,m\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

gira a un nuevo estado mediante:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

Utilizando la condición de completitud :

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

tenemos

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Presentación de los elementos de la matriz D de Wigner :

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

da la multiplicación de matrices:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

Para un mercado base:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

Para el caso del momento angular orbital, los estados propios del operador de momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3d son armónicos esféricos : ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

donde P _ℓ ^m es un polinomio de Legendre asociado , ℓ es el número cuántico del momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalismo de los armónicos esféricos tiene amplias aplicaciones en las matemáticas aplicadas y está estrechamente relacionado con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.

Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polares y azimutales, ϕ y θ respectivamente, que pueden recopilarse convenientemente en un vector unitario n ( θ , ϕ ) que apunta en la dirección de esos ángulos, en la base cartesiana es:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

Por lo tanto, un armónico esférico también se puede escribir como . Los estados armónicos esféricos giran según la matriz de rotación inversa , mientras que gira según la matriz de rotación inicial . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$ ${\displaystyle |m,\ell \rangle }$ ${\displaystyle U(R^{-1})}$ ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

Rotación de operadores tensoriales

Definimos la rotación de un operador al requerir que el valor esperado del operador original con respecto al estado inicial sea igual al valor esperado del operador rotado con respecto al estado rotado. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

Ahora bien, como,

$${\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$$

tenemos,

$${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

ya que, es arbitrario, ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$$

Operadores escalares

Un operador escalar es invariante bajo rotaciones: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

Esto equivale a decir que un operador escalar conmuta con los generadores de rotación:

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

Los ejemplos de operadores escalares incluyen

• El operador energético : $${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• energía potencial V (sólo en el caso de un potencial central) $${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• energía cinética T : $${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• El acoplamiento espín-órbita : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

Operadores vectoriales

Los operadores vectoriales (así como los operadores pseudovectoriales ) son un conjunto de 3 operadores que se pueden rotar según: ^[2]

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$Cualquier cantidad vectorial observable de un sistema mecánico cuántico debería ser invariante del marco de referencia elegido. La transformación del vector de valores esperados que se aplica a cualquier función de onda garantiza la igualdad anterior. En la notación de Dirac: donde el RHS se debe a la transformación de rotación que actúa sobre el vector formado por los valores esperados. Dado que | Ψ ⟩ es cualquier estado cuántico, se sigue el mismo resultado: Nótese que aquí, el término "vector" se utiliza de dos formas diferentes: los kets como | ψ ⟩ son elementos de espacios de Hilbert abstractos, mientras que el operador vectorial se define como una cantidad cuyos componentes se transforman de una determinada manera bajo rotaciones. $${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$

A partir de la relación anterior para rotaciones infinitesimales y el lema de Baker Hausdorff , al igualar los coeficientes de orden , se puede derivar la relación de conmutación con el generador de rotación: ^[2] ${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita , que todos los operadores vectoriales deben satisfacer, por construcción. La regla del conmutador anterior también se puede utilizar como una definición alternativa para los operadores vectoriales que se puede demostrar utilizando el lema de Baker Hausdorff . Como el símbolo ε _ijk es un pseudotensor , los operadores pseudovectoriales son invariantes hasta un signo: +1 para rotaciones propias y −1 para rotaciones impropias .

Dado que se puede demostrar que los operadores forman un operador vectorial mediante su relación de conmutación con los componentes del momento angular (que son generadores de rotación), sus ejemplos incluyen:

• El operador de posición : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• El operador de momento : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

y los operadores peusodovector incluyen

• El operador del momento angular orbital : $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• así como el operador de espín S y, por tanto, el momento angular total $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

Operadores escalares a partir de operadores vectoriales

Si y son dos operadores vectoriales, el producto escalar entre los dos operadores vectoriales se puede definir como: ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}$

Bajo la rotación de coordenadas, el operador recientemente definido se transforma como: Reordenando los términos y utilizando la transposición de la matriz de rotación como su propiedad inversa: Donde el lado derecho es el operador definido originalmente. Dado que el producto escalar definido es invariante bajo la transformación de rotación, se dice que es un operador escalar. $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}}$$ ${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$

Operadores vectoriales esféricos

Un operador vectorial en la base esférica es V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) donde los componentes son: ^[2] utilizando los diversos conmutadores con los generadores de rotación y los operadores de escalera son: $${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$
${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

que son de forma similar a $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

En la base esférica los generadores de rotación son: $${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

De la transformación de operadores y el lema de Baker Hausdorff :

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

en comparación con

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

Se puede argumentar que el conmutador con operador reemplaza la acción del operador sobre el estado para las transformaciones de operadores en comparación con la de los estados:

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

La transformación de rotación en la base esférica (originalmente escrita en la base cartesiana) es entonces, debido a la similitud de la conmutación y el operador mostrados arriba: $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

El concepto de operador vectorial se puede generalizar fácilmente a los operadores tensoriales , que se muestran a continuación.

Operadores tensoriales

En general, un operador tensorial es aquel que transforma de acuerdo a un tensor: donde la base se transforma por o los componentes del vector se transforman por . $${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$ ${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

En la discusión posterior sobre los operadores tensoriales, se ignora por completo la notación de índices sobre el comportamiento covariante/contravariante. En cambio, los componentes contravariantes están implícitos en el contexto. Por lo tanto, para un tensor contravariante n veces: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

Ejemplos de operadores tensoriales

• El operador de momento cuadrupolar , $${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$$
• Los componentes de dos operadores de vector tensorial se pueden multiplicar para dar otro operador tensorial. En general, n operadores tensoriales también darán otro operador tensorial o, $${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$$ $${\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}}$$ $${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$$

Nota: En general, un operador tensorial no se puede escribir como el producto tensorial de otros operadores tensoriales como se da en el ejemplo anterior.

Operador tensorial a partir de operadores vectoriales

Si y son dos operadores vectoriales tridimensionales, entonces se pueden formar tensores diádicos cartesianos de rango 2 a partir de nueve operadores de la forma , Reordenando los términos, obtenemos: El lado derecho de la ecuación es ecuación de cambio de base para tensores dos veces contravariantes donde las bases se transforman por o los componentes vectoriales se transforman por lo que coincide con la transformación de los componentes del operador vectorial. Por lo tanto, el tensor operador descrito forma un tensor de rango 2, en representación tensorial, De manera similar, un operador tensorial n veces contravariante se puede formar de manera similar mediante n operadores vectoriales. ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)}$$ ${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}$$

Observamos que el subespacio abarcado por combinaciones lineales de los componentes tensoriales de rango dos forma un subespacio invariante, es decir, el subespacio no cambia bajo rotación ya que los componentes transformados en sí mismos son una combinación lineal de los componentes tensoriales. Sin embargo, este subespacio no es irreducible, es decir, puede dividirse en subespacios invariantes bajo rotación. De lo contrario, el subespacio se llama reducible. En otras palabras, existen conjuntos específicos de diferentes combinaciones lineales de los componentes tales que se transforman en una combinación lineal del mismo conjunto bajo rotación. ^[3] En el ejemplo anterior, mostraremos que los 9 componentes tensoriales independientes se pueden dividir en un conjunto de 1, 3 y 5 combinaciones de operadores que forman cada uno subespacios invariantes irreducibles.

Operadores tensoriales irreducibles

El subespacio generado por se puede dividir en dos subespacios; tres componentes antisimétricos independientes y seis componentes simétricos independientes , definidos como y . Utilizando la fórmula de transformación bajo rotación, se puede demostrar que tanto y se transforman en una combinación lineal de miembros de sus propios conjuntos. Aunque es irreducible, no se puede decir lo mismo de . ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$

El conjunto de seis componentes simétricos independientes se puede dividir en cinco componentes simétricos independientes sin traza y la traza invariante puede ser su propio subespacio.

Por tanto, los subespacios invariantes de están formados respectivamente por: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Un rastro invariante del tensor, ${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. Tres componentes antisimétricos linealmente independientes de: ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. Cinco componentes simétricos linealmente independientes y sin trazas de ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

Si , los subespacios invariantes de formados están representados por: ^[4] ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Un operador escalar invariante ${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. Tres componentes linealmente independientes de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. Cinco componentes linealmente independientes de ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

A partir de los ejemplos anteriores, los nueve componentes se dividen en subespacios formados por uno, tres y cinco componentes. Estos números se suman al número de componentes del tensor original de una manera similar a la suma de la dimensión de los subespacios vectoriales con la dimensión del espacio que es una suma directa de estos subespacios. De manera similar, cada elemento de se puede expresar en términos de una combinación lineal de componentes de sus subespacios invariantes: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

o

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

dónde: $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$ $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$ $${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

En general, los tensores cartesianos de rango mayor que 1 son reducibles. En mecánica cuántica, este ejemplo particular se asemeja a la adición de dos partículas de espín uno, donde ambas son tridimensionales, por lo que el espacio total es de 9 dimensiones, y puede formarse mediante sistemas de espín 0, espín 1 y espín 2, cada uno con un espacio unidimensional, tridimensional y pentadimensional respectivamente. ^[4] Estos tres términos son irreducibles, lo que significa que no se pueden descomponer más y seguir siendo tensores que satisfacen las leyes de transformación definitorias bajo las cuales deben ser invariantes. Cada una de las representaciones irreducibles T ⁽⁰⁾ , T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ ... se transforma como estados propios del momento angular según el número de componentes independientes.

Es posible que un tensor dado tenga uno o más de estos componentes que se anulen. Por ejemplo, el tensor de momento cuadrupolar ya es simétrico y sin trazas, y por lo tanto tiene solo 5 componentes independientes para empezar. ^[3]

Operadores tensoriales esféricos

Los operadores tensoriales esféricos se definen generalmente como operadores con la siguiente regla de transformación, bajo rotación del sistema de coordenadas:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Las relaciones de conmutación se pueden encontrar expandiendo LHS y RHS como: ^[4]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Simplificando y aplicando límites para seleccionar sólo términos de primer orden, obtenemos:

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

Para las opciones de o , obtenemos: Nótese la similitud de lo anterior con: Dado que y son combinaciones lineales de , comparten la misma similitud debido a la linealidad. ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{\pm }}$

Si sólo se cumplen las relaciones de conmutación, utilizando la siguiente relación, ${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$

Encontramos, debido a la similitud de las acciones de la función de onda en y las relaciones de conmutación en , que: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

donde la forma exponencial está dada por el lema de Baker-Hausdorff . Por lo tanto, las relaciones de conmutación anteriores y la propiedad de transformación son definiciones equivalentes de operadores tensoriales esféricos. También se puede demostrar que se transforman como un vector debido a su relación de conmutación. ${\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}$

En la siguiente sección se discutirá la construcción de tensores esféricos. Por ejemplo, dado que se muestra un ejemplo de operadores vectoriales esféricos, se puede utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior. En general, los operadores tensoriales esféricos se pueden construir desde dos perspectivas. ^[5] Una forma es especificar cómo se transforman los tensores esféricos bajo una rotación física - una definición teórica de grupo . Un estado propio del momento angular rotado se puede descomponer en una combinación lineal de los estados propios iniciales: los coeficientes en la combinación lineal consisten en entradas de la matriz de rotación de Wigner. O continuando el ejemplo anterior del tensor diádico de segundo orden T = a ⊗ b , convirtiendo cada uno de a y b en la base esférica y sustituyendo en T se obtienen los operadores tensoriales esféricos de segundo orden. ^{[ cita requerida ]}

Construcción utilizando coeficientes de Clebsch-Gordan

La combinación de dos tensores esféricos de la siguiente manera, involucrando los coeficientes de Clebsch-Gordan, puede demostrarse que da otro tensor esférico de la forma: ^[4] ${\displaystyle A_{q_{1}}^{(k_{1})}}$ ${\displaystyle B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$ $${\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$$

Esta ecuación se puede utilizar para construir operadores tensoriales esféricos de orden superior, por ejemplo, operadores tensoriales esféricos de segundo orden utilizando dos operadores tensoriales esféricos de primer orden, digamos A y B, discutidos anteriormente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}$$

Utilizando el operador de rotación infinitesimal y su conjugado hermítico, se puede derivar la relación de conmutación en la base esférica: y se puede verificar la transformación de rotación finita en la base esférica: $${\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$ $${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$

Uso de armónicos esféricos

Defina un operador por su espectro: Dado que para armónicos esféricos bajo rotación: También se puede demostrar que: Entonces , donde es un operador vectorial, también se transforma de la misma manera, es decir, es un operador tensorial esférico. El proceso implica expresar en términos de x, y y z y reemplazar x, y y z con los operadores V _x V _y y V _z que del operador vectorial. El operador resultante es, por lo tanto, un operador tensorial esférico . ^ Esto puede incluir constante debido a la normalización de armónicos esféricos que no tiene sentido en el contexto de los operadores. $${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle }$$ $${\displaystyle Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )}$$ $${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})}$$ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{m}^{(l)}}$

El adjunto hermítico de un tensor esférico puede definirse como Existe cierta arbitrariedad en la elección del factor de fase: cualquier factor que contenga (−1) ^{± q} satisfará las relaciones de conmutación. ^[6] La elección anterior de la fase tiene las ventajas de ser real y de que el producto tensorial de dos operadores hermíticos conmutativos sigue siendo hermítico. ^[7] Algunos autores lo definen con un signo diferente en q , sin el k , o utilizan solo el piso de k . ^[8] $${\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}$$

Momento angular y armónicos esféricos

Momento angular orbital y armónicos esféricos

Los operadores de momento angular orbital tienen los operadores de escalera :

$${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético orbital m _ℓ en una unidad. Tiene casi exactamente la misma forma que la base esférica, aparte de los factores multiplicativos constantes.

Operadores tensoriales esféricos y espín cuántico

Los tensores esféricos también pueden formarse a partir de combinaciones algebraicas de los operadores de espín S _x , S _y , S _z , como matrices, para un sistema de espín con número cuántico total j = ℓ + s (y ℓ = 0). Los operadores de espín tienen los operadores de escalera:

$${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$$

que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético de espín m _s en una unidad.

Aplicaciones

Las bases esféricas tienen amplias aplicaciones en matemáticas puras y aplicadas y en ciencias físicas donde ocurren geometrías esféricas.

Transiciones radiativas dipolares en un átomo de un solo electrón (álcali)

La amplitud de transición es proporcional a los elementos de la matriz del operador dipolar entre los estados inicial y final. Utilizamos un modelo electrostático sin espín para el átomo y consideramos la transición desde el nivel de energía inicial E _nℓ al nivel final E _n′ℓ′ . Estos niveles son degenerados, ya que la energía no depende del número cuántico magnético m o m′. Las funciones de onda tienen la forma,

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

El operador dipolar es proporcional al operador de posición del electrón, por lo que debemos evaluar elementos de la matriz de la forma,

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }$$

donde, el estado inicial está a la derecha y el final a la izquierda. El operador de posición r tiene tres componentes, y los niveles inicial y final consisten en estados degenerados 2ℓ + 1 y 2ℓ′ + 1, respectivamente. Por lo tanto, si deseamos evaluar la intensidad de una línea espectral tal como se observaría, realmente tenemos que evaluar 3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1) elementos de la matriz, por ejemplo, 3×3×5 = 45 en una transición 3d → 2p. Esto es en realidad una exageración, como veremos, porque muchos de los elementos de la matriz se anulan, pero todavía hay muchos elementos de la matriz que no se anulan por calcular.

Se puede lograr una gran simplificación expresando los componentes de r, no con respecto a la base cartesiana, sino con respecto a la base esférica. Primero definimos,

$${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$$

A continuación, al inspeccionar una tabla de Y _ℓm ′s, encontramos que para ℓ = 1 tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$

donde, hemos multiplicado cada Y _{1 m} por el radio r . En el lado derecho vemos las componentes esféricas r _q del vector de posición r . Los resultados se pueden resumir en,

$${\displaystyle rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}}$$

para q = 1, 0, −1, donde q aparece explícitamente como un número cuántico magnético. Esta ecuación revela una relación entre los operadores vectoriales y el valor del momento angular ℓ = 1, algo sobre lo que hablaremos más adelante. Ahora los elementos de la matriz se convierten en un producto de una integral radial por una integral angular, $${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|r_{q}|n\ell m\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'\ell '}^{*}(r)rR_{n\ell }(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\right)}$$

Vemos que toda la dependencia de los tres números cuánticos magnéticos (m′,q,m) está contenida en la parte angular de la integral. Además, la integral angular puede evaluarse mediante la fórmula de tres Y _ℓm , con lo que se vuelve proporcional al coeficiente de Clebsch-Gordan,

$${\displaystyle \langle \ell 'm'|\ell 1mq\rangle }$$

La integral radial es independiente de los tres números cuánticos magnéticos ( m ′, q , m ), y el truco que acabamos de utilizar no nos ayuda a evaluarla. Pero es solo una integral, y una vez realizada, todas las demás integrales pueden evaluarse simplemente calculando o buscando los coeficientes de Clebsch-Gordan.

La regla de selección m ′ = q + m en el coeficiente de Clebsch–Gordan significa que muchas de las integrales se anulan, por lo que hemos exagerado el número total de integrales que se deben realizar. Pero si hubiéramos trabajado con los componentes cartesianos r _i de r , esta regla de selección podría no haber sido obvia. En cualquier caso, incluso con la regla de selección, todavía puede haber muchas integrales distintas de cero por realizar (nueve, en el caso 3d → 2p). El ejemplo que acabamos de dar de simplificación del cálculo de elementos de matriz para una transición dipolar es en realidad una aplicación del teorema de Wigner–Eckart, que retomamos más adelante en estas notas.

Resonancia magnética

El formalismo tensorial esférico proporciona una plataforma común para tratar la coherencia y la relajación en resonancia magnética nuclear . En RMN y EPR , se emplean operadores tensoriales esféricos para expresar la dinámica cuántica del espín de la partícula , por medio de una ecuación de movimiento para las entradas de la matriz de densidad , o para formular la dinámica en términos de una ecuación de movimiento en el espacio de Liouville . La ecuación de movimiento del espacio de Liouville gobierna los promedios observables de las variables de espín. Cuando la relajación se formula utilizando una base tensorial esférico en el espacio de Liouville, se obtiene conocimiento porque la matriz de relajación exhibe la relajación cruzada de los observables de espín directamente. ^[5]

Procesamiento de imágenes y gráficos por computadora

Véase también

• Teorema de Wigner-Eckart
• Tensor de estructura
• Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)

Referencias

Notas

1. Jeevanjee, Nadir (2015). Introducción a los tensores y la teoría de grupos para físicos (2.ª ed.). Birkhauser. ISBN 978-0-8176-4714-8.
2. E. Abers (2004). "5". Mecánica Cuántica . Addison Wesley. ISBN 978-0-13-146100-0.
3. Littlejohn, Robert G. (23 de septiembre de 2023). «Operadores tensoriales irreducibles y el teorema de Wigner-Eckart» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 10 de febrero de 2023. Consultado el 23 de septiembre de 2023 .
4. Sakurai, Jun J.; Napolitano, Jim J. (2014). Mecánica cuántica moderna (2.ª ed.). Nueva Delhi: Pearson Education India. ISBN 978-93-325-1900-8.
5. RD Nielsen; BH Robinson (2006). "El formalismo tensorial esférico aplicado a la relajación en resonancia magnética". Conceptos en resonancia magnética , parte A. 28A (4): 270–271. doi :10.1002/cmr.a.20055 . Consultado el 6 de abril de 2023 .

Fuentes

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• MS Anwar (2004). "Operadores tensoriales esféricos en RMN" (PDF) .
• P. Callaghan (1993). Principios de la microscopía de resonancia magnética nuclear. Oxford University Press. pp. 56–57. ISBN 978-0-198-539-971.

Lectura adicional

Armónicos esféricos

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• FA Dahlen; J. Tromp (1998). Sismología global teórica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. pag. apéndice C. ISBN 978-0-69100-1241.
• DO Thompson; DE Chimenti (1997). Revisión de los avances en la evaluación cuantitativa no destructiva. Vol. 16. Springer. pág. 1708. ISBN 978-0-3064-55971.
• H. Paetz; G. Schieck (2011). Física nuclear con partículas polarizadas. Apuntes de clases de física. Vol. 842. Springer. pág. 31. ISBN. 978-364-224-225-0.
• V. Devanathan (1999). Técnicas de momento angular en mecánica cuántica. Teorías fundamentales de la física. Vol. 108. Springer. Págs. 34, 61. ISBN. 978-0-7923-5866-4.
• VD Kleiman; RN Zare (1998). "5". Un compañero para el momento angular . John Wiley & Sons. pág. 112. ISBN 978-0-4711-9249-7.

Momento angular y giro

• Devanathan, V (2002). "Vectores y tensores en base esférica". Técnicas de momento angular en mecánica cuántica . Teorías fundamentales de la física. Vol. 108. págs. 24–33. doi :10.1007/0-306-47123-X_3. ISBN 978-0-306-47123-0.
• KT Hecht (2000). Mecánica cuántica. Textos de posgrado en física contemporánea. Springer. ISBN 978-0-387-989-198.

Física de la materia condensada

• JA Mettes; JB Keith; RB McClurg (2002). "Diagramas de fases globales de cristales moleculares: método de construcción" (PDF) .
• B. Henderson, RH Bartram (2005). Ingeniería de campos cristalinos de materiales láser de estado sólido. Cambridge Studies in Modern Optics. Vol. 25. Cambridge University Press. pág. 49. ISBN. 978-0-52101-8012.
• Edward U. Condon y Halis Odabaşı (1980). Estructura atómica. Archivo CUP. ISBN 978-0-5212-98933.
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Resonancia magnética

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Procesamiento de imágenes

• M. Reisert; H. Burkhardt (2009). S. Aja-Fernández (ed.). Tensores en procesamiento de imágenes y visión artificial. Springer. ISBN 978-184-8822-993.
• DH Laidlaw; J. Weickert (2009). Visualización y procesamiento de campos tensoriales: avances y perspectivas. Matemáticas y visualización. Springer. ISBN 978-354-088-378-4.
• M. Felsberg; E. Jonsson (2005). Tensores de energía: operadores de imagen cuadráticos e invariantes de fase . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 3663. Springer. págs. 493–500.
• E. König; S. Kremer (1979). "Álgebra de operadores tensoriales para grupos puntuales". Diagramas de magnetismo para iones de metales de transición . Apuntes de clase en informática. Vol. 3663. Springer. págs. 13-20. doi :10.1007/978-1-4613-3003-5_3. ISBN 978-1-4613-3005-9.

Enlaces externos

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• Los armónicos esféricos tensoriales
• (2010) Operadores tensoriales irreducibles y el teorema de Wigner-Eckart Archivado el 20 de julio de 2014 en Wayback Machine.
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• (2004) Transformaciones rotacionales y operadores tensoriales esféricos
• Operadores tensoriales
• Evaluación de los elementos de la matriz para transiciones radiativas
• DK Ghosh, (2013) Momento angular - III: Teorema de Wigner-Eckart
• B. Baragiola (2002) Operadores tensoriales
• Tensores esféricos