Ecuación diferencial de Riemann

En matemáticas , la ecuación diferencial de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , es una generalización de la ecuación diferencial hipergeométrica , que permite que los puntos singulares regulares ocurran en cualquier lugar de la esfera de Riemann , en lugar de simplemente en 0, 1 y . La ecuación también se conoce como ecuación de Papperitz . ^[1] ${\displaystyle \infty }$

La ecuación diferencial hipergeométrica es una ecuación diferencial lineal de segundo orden que tiene tres puntos singulares regulares, 0, 1 y . Esa ecuación admite dos soluciones linealmente independientes; cerca de una singularidad , las soluciones toman la forma , donde es una variable local, y es localmente holomorfa con . El número real se llama exponente de la solución en . Sean α , β y γ los exponentes de una solución en 0, 1 y respectivamente; y sean α ′ , β ′ y γ ′ los de la otra. Entonces ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle z_{s}}$ ${\displaystyle x^{s}f(x)}$ ${\displaystyle x=z-z_{s}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z_{s}}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Aplicando cambios adecuados de variable, es posible transformar la ecuación hipergeométrica: la aplicación de transformaciones de Möbius ajustará las posiciones de los puntos singulares regulares, mientras que otras transformaciones (ver a continuación) pueden cambiar los exponentes en los puntos singulares regulares, siempre que los exponentes sumen 1.

Definición

La ecuación diferencial está dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}}$

${\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0.}$

Los puntos singulares regulares son a , b y c . Los exponentes de las soluciones en estos puntos singulares regulares son, respectivamente, α ;  α ′ , β ;  β ′ y γ ;  γ ′ . Como antes, los exponentes están sujetos a la condición

${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}$

Soluciones y relación con la función hipergeométrica

Las soluciones se denotan mediante el símbolo P de Riemann (también conocido como símbolo de Papperitz ).

${\displaystyle w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

La función hipergeométrica estándar puede expresarse como

${\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}}$

Las funciones P obedecen a varias identidades; una de ellas permite expresar una función P general en términos de la función hipergeométrica.

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}$

En otras palabras, uno puede escribir las soluciones en términos de la función hipergeométrica como

${\displaystyle w(z)=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)}$

El complemento completo de las 24 soluciones de Kummer se puede obtener de esta manera; consulte el artículo ecuación diferencial hipergeométrica para un tratamiento de las soluciones de Kummer.

Transformaciones lineales fraccionarias

La función P posee una simetría simple bajo la acción de transformaciones lineales fraccionarias conocidas como transformaciones de Möbius (que son las reasignaciones conformes de la esfera de Riemann), o equivalentemente, bajo la acción del grupo GL (2,  C ) . Dados números complejos arbitrarios A , B , C , D tales que AD − BC ≠ 0 , defina las cantidades

${\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}$

y

${\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}}$

Entonces se tiene la relación simple

${\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}$

expresando la simetría.

Exponentes

Si la transformación de Moebius anterior mueve los puntos singulares pero no cambia los exponentes, la siguiente transformación no mueve los puntos singulares pero cambia los exponentes: ^{[2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{k}\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{l}P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha +k&\beta -k-l&\gamma +l&z\\\alpha '+k&\beta '-k-l&\gamma '+l&\;\end{matrix}}\right\}}$

Véase también

• El método de Frobenius
• Monodromía

Notas

1. Siklos, Stephen. «La ecuación de Papperitz» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Consultado el 21 de abril de 2014 .
2. Whittaker. "10.7,14.2". Un curso de análisis moderno. pp. 201, 277. Consultado el 30 de septiembre de 2021 .
3. Richard Chapling. «La función hipergeométrica y la ecuación de Papperitz» (PDF) . Consultado el 30 de septiembre de 2021 .

Referencias

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds., Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (Dover: Nueva York, 1972)
  • Capítulo 15 Funciones hipergeométricas
    • Sección 15.6 Ecuación diferencial de Riemann