Matrices gamma

Generadores del álgebra de Clifford para la mecánica cuántica relativista

En física matemática , las matrices gamma , también llamadas matrices de Dirac , son un conjunto de matrices convencionales con relaciones de anticonmutación específicas que aseguran que generen una representación matricial del álgebra de Clifford . También es posible definir matrices gamma de dimensiones superiores . Cuando se interpretan como las matrices de la acción de un conjunto de vectores base ortogonales para vectores contravariantes en el espacio de Minkowski , los vectores columna sobre los que actúan las matrices se convierten en un espacio de espinores , sobre el que actúa el álgebra de Clifford del espacio-tiempo . Esto a su vez permite representar rotaciones espaciales infinitesimales y boosts de Lorentz . Los espinores facilitan los cálculos del espacio-tiempo en general, y en particular son fundamentales para la ecuación de Dirac para partículas de espín relativistas . Las matrices gamma fueron introducidas por Paul Dirac en 1928. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

En la representación de Dirac, las cuatro matrices gamma contravariantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$es la matriz hermítica , de tipo temporal . Las otras tres son matrices antihermíticas , de tipo espacial . De manera más compacta, y donde denota el producto de Kronecker y (para j = 1, 2, 3 ) denotan las matrices de Pauli . ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ \otimes \ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

Además, para las discusiones sobre la teoría de grupos, la matriz identidad ( I ) a veces se incluye con las cuatro matrices gamma, y ​​hay una matriz auxiliar, "quinta", sin traza , que se utiliza junto con las matrices gamma regulares.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

La "quinta matriz" no es un miembro adecuado del conjunto principal de cuatro; se utiliza para separar representaciones quirales nominales izquierdas y derechas . ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

Las matrices gamma tienen una estructura de grupo, el grupo gamma , que es compartida por todas las representaciones matriciales del grupo, en cualquier dimensión, para cualquier firma de la métrica. Por ejemplo, las matrices de Pauli 2×2 son un conjunto de matrices "gamma" en el espacio tridimensional con métrica de firma euclidiana (3, 0). En cinco dimensiones espaciotemporales , las cuatro gammas, arriba, junto con la quinta matriz gamma que se presentará a continuación, generan el álgebra de Clifford.

Estructura matemática

La propiedad definitoria de las matrices gamma para generar un álgebra de Clifford es la relación de anticonmutación.

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

donde las llaves representan el anticonmutador , es la métrica de Minkowski con signatura (+ − − −) , y es la matriz identidad 4 × 4 . ${\displaystyle \ \{,\}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle I_{4}}$

Esta propiedad definitoria es más fundamental que los valores numéricos utilizados en la representación específica de las matrices gamma. Las matrices gamma covariantes se definen por

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

y se asume la notación de Einstein .

Tenga en cuenta que la otra convención de signos para la métrica, (− + + +), requiere un cambio en la ecuación definitoria:

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

o una multiplicación de todas las matrices gamma por , lo que por supuesto cambia sus propiedades de hermeticidad que se detallan a continuación. Según la convención de signos alternativa para la métrica, las matrices gamma covariantes se definen entonces por ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.}$

Estructura física

El álgebra de Clifford sobre el espacio-tiempo V puede considerarse como el conjunto de operadores lineales reales desde V hasta sí mismo, End( V ) , o más generalmente, cuando se complejiza como el conjunto de operadores lineales desde cualquier espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones hasta sí mismo. Más simplemente, dada una base para V , es simplemente el conjunto de todas las matrices complejas de 4×4 , pero dotadas de una estructura de álgebra de Clifford. Se supone que el espacio-tiempo está dotado de la métrica de Minkowski η _μν . También se supone un espacio de bispinores, U _x , en cada punto del espacio-tiempo, dotado de la representación de bispinores del grupo de Lorentz . Los campos de bispinores Ψ de las ecuaciones de Dirac, evaluados en cualquier punto x del espacio-tiempo, son elementos de U _x (ver más abajo). Se supone que el álgebra de Clifford actúa también sobre U _x (mediante la multiplicación de matrices con vectores columna Ψ( x ) en U _x para todo x ). Esta será la vista principal de los elementos de esta sección. ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

Para cada transformación lineal S de U _x , existe una transformación de End( U _x ) dada por SES ⁻¹ para E en Si S pertenece a una representación del grupo de Lorentz, entonces la acción inducida E ↦ SES ⁻¹ también pertenecerá a una representación del grupo de Lorentz, véase Teoría de la representación del grupo de Lorentz . ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

Si S(Λ) es la representación bispinorial que actúa sobre U _x de una transformación de Lorentz arbitraria Λ en la representación estándar (4 vectores) que actúa sobre V , entonces hay un operador correspondiente en dado por la ecuación: ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

mostrando que la cantidad de γ ^μ puede ser vista como una base de un espacio de representación de la representación de 4 vectores del grupo de Lorentz que se encuentra dentro del álgebra de Clifford. La última identidad puede reconocerse como la relación definitoria para matrices que pertenecen a un grupo ortogonal indefinido , que se escribe en notación indexada. Esto significa que las cantidades de la forma ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

deben tratarse como vectores de 4 dimensiones en las manipulaciones. También significa que los índices se pueden aumentar y disminuir en γ utilizando la métrica η _μν como con cualquier vector de 4 dimensiones. La notación se llama notación de barra de Feynman . La operación de barra asigna la base e _μ de V , o cualquier espacio vectorial de 4 dimensiones, a vectores base γ _μ . La regla de transformación para cantidades con barra es simplemente

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

Cabe señalar que esto es diferente de la regla de transformación para los γ ^μ , que ahora se tratan como vectores de base (fijos). La designación de la tupla 4 como un vector 4 que a veces se encuentra en la literatura es, por lo tanto, un nombre ligeramente inapropiado. La última transformación corresponde a una transformación activa de los componentes de una cantidad cortada en términos de la base γ ^μ , y la primera a una transformación pasiva de la base γ ^μ misma. ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

Los elementos forman una representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz. Esta es una representación de espín. Cuando estas matrices, y combinaciones lineales de ellas, se exponen, son representaciones bispinorales del grupo de Lorentz, por ejemplo, las S(Λ) de arriba tienen esta forma. El espacio de 6 dimensiones que abarcan σ ^μν es el espacio de representación de una representación tensorial del grupo de Lorentz. Para los elementos de orden superior del álgebra de Clifford en general y sus reglas de transformación, véase el artículo Álgebra de Dirac . La representación de espín del grupo de Lorentz está codificada en el grupo de espín Spin(1, 3) (para espinores reales, no cargados) y en el grupo de espín complejizado Spin(1, 3) para espinores cargados (de Dirac). ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

Expresando la ecuación de Dirac

En unidades naturales , la ecuación de Dirac puede escribirse como

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

¿Dónde está un espinor de Dirac? ${\displaystyle \ \psi \ }$

Pasando a la notación de Feynman , la ecuación de Dirac es

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

La quinta matriz "gamma",.mw-parser-output .var-serif{font-family:"Nimbus Roman No9 L","Times New Roman",Times,serif;font-size:118%;line-height:1}gamma5

Es útil definir un producto de las cuatro matrices gamma como , de modo que ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$(en la base de Dirac).

Aunque utiliza la letra gamma, no es una de las matrices gamma de El número índice 5 es una reliquia de la antigua notación: solía llamarse " ". ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$También tiene una forma alternativa:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

utilizando la convención o ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

Usando la convención Prueba: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

Esto se puede ver explotando el hecho de que las cuatro matrices gamma son anticonmutativas, por lo que

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

donde es el delta de Kronecker generalizado de tipo (4,4) en 4 dimensiones, en antisimetrización completa . Si denota el símbolo de Levi-Civita en n dimensiones, podemos usar la identidad . Entonces obtenemos, usando la convención ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

Esta matriz es útil en las discusiones sobre quiralidad mecánica cuántica . Por ejemplo, un campo de Dirac se puede proyectar sobre sus componentes levógiros y dextrógiros mediante:

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

Algunas propiedades son:

• Es hermitiano:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• Sus valores propios son ±1, porque:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• Conmuta de forma anticonmutativa con las cuatro matrices gamma:

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

De hecho, y son vectores propios de ya que ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$y ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

Cinco dimensiones

El álgebra de Clifford en dimensiones impares se comporta como dos copias del álgebra de Clifford de una dimensión menos, una copia izquierda y una copia derecha. ^{[3] : 68} Por lo tanto, se puede emplear un pequeño truco para reutilizar i  γ ⁵ como uno de los generadores del álgebra de Clifford en cinco dimensiones. En este caso, el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } por lo tanto, por las dos últimas propiedades (teniendo en cuenta que i ² ≡ −1 ) y las de los gammas 'antiguos', forma la base del álgebra de Clifford en 5  dimensiones espaciotemporales para la signatura métrica (1,4) . ^[a]  . ^{[4] : 97} En la firma métrica (4,1) , se utiliza el conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , donde los γ ^μ son los apropiados para la firma (3,1) . ^[5] Este patrón se repite para la dimensión espaciotemporal 2 n par y la siguiente dimensión impar 2 n + 1 para todo n ≥ 1 . ^{[6] : 457} Para más detalles, véase matrices gamma de dimensiones superiores .

Identidades

Las siguientes identidades se derivan de la relación de anticonmutación fundamental, por lo que se cumplen en cualquier base (aunque la última depende de la elección del signo para ). ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

Identidades diversas

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6. donde ${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

Rastrear identidades

Las matrices gamma obedecen a las siguientes identidades de traza :

1. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
2. La traza de cualquier producto de un número impar de es cero ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
3. Rastro de veces que un producto de un número impar sigue siendo cero ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
8. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

Para demostrar lo anterior es necesario utilizar tres propiedades principales del operador de traza :

• tr( A + B ) = tr( A ) + tr( B )
• tr( rA ) = rtr ( A )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

Normalización

Las matrices gamma se pueden elegir con condiciones de hermiticidad adicionales que están restringidas por las relaciones de anticonmutación anteriores. Podemos imponer

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, compatible con ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

y para las demás matrices gamma (para k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, compatible con ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Se comprueba inmediatamente que estas relaciones de hermiticidad se cumplen para la representación de Dirac.

Las condiciones anteriores se pueden combinar en la relación

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Las condiciones de hermiticidad no son invariantes bajo la acción de una transformación de Lorentz porque no es necesariamente una transformación unitaria debido a la no compacidad del grupo de Lorentz. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\Lambda )}$

Conjugación de carga

El operador de conjugación de carga , en cualquier base, puede definirse como

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

donde denota la matriz transpuesta . La forma explícita que toma depende de la representación específica elegida para las matrices gamma, hasta un factor de fase arbitrario. Esto se debe a que, aunque la conjugación de carga es un automorfismo del grupo gamma , no es un automorfismo interno (del grupo). Se pueden encontrar matrices conjugadas, pero dependen de la representación. ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$

Las identidades independientes de la representación incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

El operador de conjugación de carga también es unitario , mientras que para también se cumple que para cualquier representación. Dada una representación de matrices gamma, el factor de fase arbitrario para el operador de conjugación de carga también se puede elegir de manera que , como es el caso de las cuatro representaciones que se dan a continuación (Dirac, Majorana y ambas variantes quirales). ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{T}=-C}$ ${\displaystyle C^{\dagger }=-C}$

Notación de barra de Feynman

La notación de barra de Feynman se define por

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

para cualquier 4-vector . ${\displaystyle a}$

A continuación se muestran algunas identidades similares a las anteriores, pero que involucran notación de barra:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^[7]

  ¿Dónde está el símbolo de Levi-Civita y En realidad los rastros de productos de número impar de es cero y por lo tanto ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$para n impar. ^[8]

Muchos se derivan directamente de la expansión de la notación de barra y la contracción de expresiones de la forma con la identidad apropiada en términos de matrices gamma. ${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

Otras representaciones

Las matrices también se escriben a veces utilizando la matriz identidad 2×2 , y ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

donde k va de 1 a 3 y las σ ^k son matrices de Pauli .

Base de Dirac

Las matrices gamma que hemos escrito hasta ahora son apropiadas para actuar sobre espinores de Dirac escritos en la base de Dirac ; de hecho, la base de Dirac está definida por estas matrices. Para resumir, en la base de Dirac:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

En la base de Dirac, el operador de conjugación de carga es antisimétrico real, ^{[9] : 691–700}

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

Base de Weyl (quiral)

Otra opción común es la base de Weyl o quiral , en la que sigue siendo la misma pero es diferente, y por lo tanto también es diferente, y diagonal, ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

o en notación más compacta:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

La base de Weyl tiene la ventaja de que sus proyecciones quirales toman una forma simple,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

La idempotencia de las proyecciones quirales es manifiesta.

Abusando ligeramente de la notación y reutilizando los símbolos podemos identificar ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

donde ahora y son espinores de Weyl de dos componentes, zurdos y diestros. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

El operador de conjugación de carga en esta base es realmente antisimétrico,

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

La base de Dirac se puede obtener a partir de la base de Weyl como

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

a través de la transformada unitaria

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Base de Weyl (quiral) (forma alternativa)

Otra posible elección ^[10] de la base de Weyl tiene

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Las proyecciones quirales toman una forma ligeramente diferente de la otra opción de Weyl,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

donde y son los espinores de Weyl de dos componentes zurdos y diestros, como antes. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

El operador de conjugación de carga en esta base es

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

Esta base se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior mediante la transformada unitaria ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Base de Majorana

También existe la base de Majorana , en la que todas las matrices de Dirac son imaginarias, y los espinores y la ecuación de Dirac son reales. En cuanto a las matrices de Pauli , la base se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

donde es la matriz de conjugación de carga, que coincide con la versión de Dirac definida anteriormente. ${\displaystyle C}$

La razón para hacer que todas las matrices gamma sean imaginarias es únicamente obtener la métrica de la física de partículas (+, −, −, −) , en la que las masas al cuadrado son positivas. Sin embargo, la representación de Majorana es real. Se puede factorizar para obtener una representación diferente con cuatro componentes de espinores reales y matrices gamma reales. La consecuencia de eliminar es que la única métrica posible con matrices gamma reales es (−, +, +, +) . ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$

La base de Majorana se puede obtener a partir de la base de Dirac anterior mediante la transformación unitaria ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Cl1,3(C) y Cl1,3(R)

El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejización del álgebra real Cl _1,3 ( ), llamada álgebra del espacio-tiempo : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) se diferencia de Cl _1,3 ( ): en Cl _1,3 ( ) solo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Dos cosas merecen ser señaladas. Como álgebras de Clifford , Cl _1,3 ( ) y Cl ₄ ( ) son isomorfas, ver clasificación de álgebras de Clifford . La razón es que la firma subyacente de la métrica del espacio-tiempo pierde su firma (1,3) al pasar a la complejización. Sin embargo, la transformación requerida para llevar la forma bilineal a la forma canónica compleja no es una transformación de Lorentz y por lo tanto no es "permisible" (por lo menos impráctica) ya que toda la física está estrechamente ligada a la simetría de Lorentz y es preferible mantenerla manifiesta. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Argumentan que, en general, es posible (y, por lo general, esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Dichas unidades surgen de una de las muchas cantidades de un álgebra de Clifford real que se elevan al cuadrado a −1, y tienen importancia geométrica debido a las propiedades del álgebra y a la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos defensores también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac. ^{[11] : x–xi}

En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl _p,q ( ) para dimensiones arbitrarias p,q . Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín . La complejización del grupo de espín, llamada grupo spinc , es un producto del grupo de espín con el círculo El producto es solo un dispositivo de notación para identificar con El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante bajo las transformaciones de Lorentz, del componente, que puede identificarse con la fibra de la interacción electromagnética. La paridad entrelazada y la conjugación de carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partícula/antipartícula de Dirac (equivalentemente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierdo y derecho linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor ELKO (operadores propios de la conjugación de la conjugación), que no pueden ( es decir, son eléctricamente neutros), ya que restringen explícitamente el espinor para que no interactúe con la parte que proviene de la complejización. El espinor ELKO es un espinor de clase 5 de Lounesto. ^{[12] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Sin embargo, en la práctica contemporánea de la física, el álgebra de Dirac, y no el álgebra del espacio-tiempo, sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac.

Otras propiedades sin representación

Las matrices gamma son diagonalizables con valores propios para , y valores propios para . ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

En particular, esto implica que es simultáneamente hermítico y unitario, mientras que son simultáneamente antihermíticos y unitarios. ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

Además, la multiplicidad de cada valor propio es dos.

En términos más generales, si no es nulo, se obtiene un resultado similar. Para ser más concretos, nos limitamos al caso de norma positiva con El caso negativo se sigue de manera similar. ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

De ello se deduce que el espacio de soluciones de (es decir, el núcleo del lado izquierdo) tiene dimensión 2. Esto significa que el espacio de soluciones para las soluciones de ondas planas de la ecuación de Dirac tiene dimensión 2. ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

Este resultado sigue siendo válido para la ecuación de Dirac sin masa. En otras palabras, si es nula, entonces tiene nulidad 2. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$

Matrices de Dirac euclidianas

En la teoría cuántica de campos, se puede rotar el eje del tiempo mediante el método Wick para pasar del espacio de Minkowski al espacio euclidiano . Esto resulta especialmente útil en algunos procedimientos de renormalización , así como en la teoría de calibración de redes . En el espacio euclidiano, existen dos representaciones de matrices de Dirac que se utilizan habitualmente:

Representación quiral

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Nótese que los factores de se han insertado en las matrices gamma espaciales de modo que el álgebra euclidiana de Clifford ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

surgirá. También vale la pena señalar que existen variantes de esto que se insertan en una de las matrices, como en los códigos QCD de red que utilizan la base quiral. ${\displaystyle -i}$

En el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

Utilizando el anticonmutador y observando que en el espacio euclidiano , se demuestra que ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

En base quiral en el espacio euclidiano,

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

que no ha sufrido cambios respecto a su versión Minkowski.

Representación no relativista

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Notas al pie

1. El conjunto de matrices (Γ ^a ) = ( γ ^μ , i γ ⁵ ) con a = (0, 1, 2, 3, 4) satisfacen el álgebra de Clifford de cinco dimensiones {Γ ^a , Γ ^b } = 2  η ^ab

Véase también

• portal de fisica

• Matrices de Pauli
• Matrices de Gell-Mann
• Matrices gamma de dimensiones superiores
• Identidad de Fierz
• Álgebra del espacio-tiempo

Citas

1. Kukin 2016.
2. Lonigro 2023.
3. Jost 2002.
4. Tong 2007, Estas notas introductorias sobre la teoría cuántica de campos son para estudiantes de la Parte III (nivel de maestría).
5. Weinberg 2002, § 5.5.
6. de Wit y Smith 2012.
7. Feynman, Richard P. (1949). "Enfoque espacio-temporal para la electrodinámica cuántica". Physical Review . 76 (6): 769–789. doi :10.1103/PhysRev.76.769 – vía APS.
8. Kaplunovsky 2008.
9. Itzykson y Zuber 2012.
10. Kaku 1993.
11. Hestenes 2015.
12. Rodrigues y Oliveira 2007.

Referencias

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• Halzen, Francis; Martin, Alan D. (17 de mayo de 2008). Quarks y leptones: un curso introductorio a la física de partículas moderna. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1656-8.
• Hestenes, David (2015). Álgebra espacio-temporal. Publicaciones internacionales Springer. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (20 de septiembre de 2012). Teoría cuántica de campos. Courier Corporation. Apéndice A. ISBN 978-0-486-13469-7.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico. Springer. pág. 68, Corolario 1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1.
• Kaku, Michio (1993). Teoría cuántica de campos: una introducción moderna. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509158-8.
• Kaplunovsky, Vadim (2008). "Traceología" (PDF) . Teoría cuántica de campos (tareas del curso/apuntes de clase). Departamento de Física. Universidad de Texas en Austin . Archivado desde el original (PDF) el 13 de noviembre de 2019.

• Kukin, VD (2016). «Matrices de Dirac - Enciclopedia de Matemáticas». encyclopediaofmath.org . Consultado el 2 de noviembre de 2023 .

• Lonigro, Davide (2023). "Reducción dimensional de la ecuación de Dirac en dimensiones espaciales arbitrarias". The European Physical Journal Plus . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Código Bibliográfico :2023EPJP..138..324L. doi :10.1140/epjp/s13360-023-03919-0.
• Pauli, W. (1936). "Contribuciones matemáticas a la teoría de matrices de Dirac". Anales del Instituto Henri Poincaré . 6 : 109.

• Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos. Westview Press. Capítulo 3.2. ISBN 0-201-50397-2.

• Rodrigues, Waldyr A.; Oliveira, Edmundo C. de (2007). Las múltiples caras de las ecuaciones de Maxwell, Dirac y Einstein: un enfoque de Clifford Bundle. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Tong, David (2007). Lectures on Quantum Field Theory (apuntes de clase). David Tong en la Universidad de Cambridge . p. 93. Consultado el 7 de marzo de 2015 .

• Weinberg, S. (2002). La teoría cuántica de campos . Vol. 1. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-55001-7– vía Internet Archive (archive.org).

• Zee, A. (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras. Princeton, NJ: Princeton University Press. Capítulo II.1. ISBN 0-691-01019-6.

Enlaces externos

• Matrices de Dirac en MathWorld, incluidas sus propiedades de grupo
• Matrices de Dirac como grupo abstracto en GroupNames
• "Matrices de Dirac", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]