Matrices de Gell-Mann

Una base para el álgebra de Lie SU(3)

Las matrices de Gell-Mann , desarrolladas por Murray Gell-Mann , son un conjunto de ocho matrices hermíticas linealmente independientes de 3×3 sin trazas que se utilizan en el estudio de la interacción fuerte en física de partículas . Abarcan el álgebra de Lie del grupo SU(3) en la representación definitoria.

Matrices

Propiedades

Estas matrices no tienen trazas , son hermíticas y obedecen a la relación de ortonormalidad de trazas adicionales, por lo que pueden generar elementos de grupos de matrices unitarias de SU(3) mediante exponenciación . ^[1] Gell-Mann eligió estas propiedades porque luego generalizan naturalmente las matrices de Pauli para SU(2) a SU(3), que formaron la base para el modelo de quarks de Gell-Mann . ^[2] La generalización de Gell-Mann se extiende además a SU( n ) general . Para su conexión con la base estándar de las álgebras de Lie, consulte la base de Weyl-Cartan .

Ortonormalidad de trazas

En matemáticas, la ortonormalidad implica típicamente una norma que tiene un valor de unidad (1). Sin embargo, las matrices de Gell-Mann están normalizadas a un valor de 2. Por lo tanto, la traza del producto por pares da como resultado la condición de ortonormalización.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Esto es así porque las matrices de Pauli incrustadas correspondientes a las tres subálgebras incrustadas de SU (2) están normalizadas convencionalmente. En esta representación matricial tridimensional, la subálgebra de Cartan es el conjunto de combinaciones lineales (con coeficientes reales) de las dos matrices y , que conmutan entre sí. ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{8}}$

Hay tres subálgebras SU(2) significativas :

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},}$y
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},}$

donde x e y son combinaciones lineales de y . Los Casimir SU(2) de estas subálgebras conmutan mutuamente. ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{8}}$

Sin embargo, cualquier transformación de similitud unitaria de estas subálgebras producirá subálgebras SU(2). Existe una cantidad incontable de tales transformaciones.

Relaciones de conmutación

Los 8 generadores de SU(3) satisfacen las relaciones de conmutación y anticonmutación ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}}$

con las constantes de estructura

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}}$

Las constantes de estructura son completamente antisimétricas en los tres índices, generalizando la antisimetría del símbolo de Levi-Civita de SU (2) . Para el orden actual de matrices de Gell-Mann toman los valores ${\displaystyle f^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

En general, se evalúan como cero, a menos que contengan un recuento impar de índices del conjunto {2,5,7}, correspondientes a los λ antisimétricos (imaginarios) .

Utilizando estas relaciones de conmutación, el producto de las matrices de Gell-Mann se puede escribir como

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},}$

donde I es la matriz identidad.

Relaciones de completitud de Fierz

Dado que las ocho matrices y la identidad son un conjunto ortogonal traza completo que abarca todas las matrices 3×3, es sencillo encontrar dos relaciones de completitud de Fierz (Li y Cheng, 4.134), análogas a la que satisfacen las matrices de Pauli . Es decir, utilizando el punto para sumar sobre las ocho matrices y utilizando índices griegos para sus índices de fila/columna, se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }}$

y

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.}$

Se puede preferir la versión refundida, resultante de una combinación lineal de lo anterior,

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.}$

Teoría de la representación

Una elección particular de matrices se denomina representación de grupo , porque cualquier elemento de SU(3) se puede escribir en la forma utilizando la notación de Einstein , donde los ocho son números reales y se implica una suma sobre el índice j . Dada una representación, se puede obtener una equivalente mediante una transformación de similitud unitaria arbitraria, ya que eso deja el conmutador sin cambios. ${\displaystyle \mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})}$ ${\displaystyle \theta ^{j}}$

Las matrices pueden ser realizadas como una representación de los generadores infinitesimales del grupo unitario especial llamado SU(3) . El álgebra de Lie de este grupo (un álgebra de Lie real, de hecho) tiene dimensión ocho y por lo tanto tiene un conjunto con ocho generadores linealmente independientes , que pueden escribirse como , donde i toma valores de 1 a 8. ^[1] ${\displaystyle g_{i}}$

Operadores e invariantes de Casimir

La suma al cuadrado de las matrices de Gell-Mann da el operador de Casimir cuadrático , un invariante de grupo,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I}$

donde es una matriz identidad de 3×3. También existe otro operador de Casimir cúbico independiente. ${\displaystyle I\,}$

Aplicación a la cromodinámica cuántica

Estas matrices sirven para estudiar las rotaciones internas (de color) de los campos de gluones asociados a los quarks coloreados de la cromodinámica cuántica (cf. colores del gluón ). Una rotación de color de calibre es un elemento del grupo SU(3) dependiente del espacio-tiempo donde está implícita la suma sobre los ocho índices k . ${\displaystyle \;U=\exp \left({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k}\right)\;,}$

Véase también

• Elemento Casimir
• Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3)
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Representaciones grupales
• Forma de matar
• Matrices de Pauli
• Qutrit
• SU(3)

Referencias

1. Stefan Scherer; Matthias R. Schindler (31 de mayo de 2005). "A Chiral Perturbation Theory Primer" (Introducción a la teoría de la perturbación quiral). págs. 1–2. arXiv : hep-ph/0505265 .
2. David Griffiths (2008). Introducción a las partículas elementales (2.ª ed.) . John Wiley & Sons . Págs. 283-288, 366-369. ISBN. 978-3-527-40601-2.
3. Haber, Howard. "Propiedades de las matrices de Gell-Mann" (PDF) . Física 251 Teoría de grupos y física moderna . UC Santa Cruz . Consultado el 1 de abril de 2019 .

• Gell-Mann, Murray (1962-02-01). "Simetrías de bariones y mesones". Physical Review . 125 (3). American Physical Society (APS): 1067–1084. Bibcode :1962PhRv..125.1067G. doi : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN  0031-899X.
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Teoría de calibre de la física de partículas elementales . Oxford University Press . ISBN 0-19-851961-3.
• Georgi, H. (1999). Álgebras de Lie en física de partículas (2.ª ed.). Westview Press . ISBN 978-0-7382-0233-4.
• Arfken, GB; Weber, HJ; Harris, FE (2000). Métodos matemáticos para físicos (7.ª ed.). Academic Press . ISBN 978-0-12-384654-9.
• Kokkedee, JJJ (1969). El modelo de quarks . WA Benjamin . LCCN  69014391.