Generalizaciones de matrices de Pauli

Familias de matrices en matemáticas, física e información cuántica

En matemáticas y física , en particular en información cuántica , el término matrices de Pauli generalizadas se refiere a familias de matrices que generalizan las propiedades (algebraicas lineales) de las matrices de Pauli . A continuación, se resumen algunas clases de dichas matrices.

Matrices de Pauli multi-qubit (hermíticas)

Este método de generalización de las matrices de Pauli se refiere a una generalización de un único sistema de dos niveles ( qubit ) a múltiples sistemas de este tipo. En particular, las matrices de Pauli generalizadas para un grupo de qubits son simplemente el conjunto de matrices generadas por todos los productos posibles de las matrices de Pauli en cualquiera de los qubits. ^[1] ${\displaystyle N}$

El espacio vectorial de un solo cúbit es y el espacio vectorial de los cúbits es . Usamos la notación del producto tensorial ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}=\left(\mathbb {C} ^{2}\right)^{\otimes N}\cong \mathbb {C} ^{2^{N}}}$

${\displaystyle \sigma _{a}^{(n)}=I^{(1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(n-1)}\otimes \sigma _{a}\otimes I^{(n+1)}\otimes \dotsm \otimes I^{(N)},\qquad a=1,2,3}$

para referirse al operador que actúa como matriz de Pauli en el qubit n y la identidad en todos los demás qubits. También podemos usar para la identidad, es decir, para cualquier usamos . Entonces, las matrices de Pauli de múltiples qubits son todas matrices de la forma ${\displaystyle V_{N}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sigma _{0}^{(n)}=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$

${\displaystyle \sigma _{\,{\vec {a}}}:=\prod _{n=1}^{N}\sigma _{a_{n}}^{(n)}=\sigma _{a_{1}}\otimes \dotsm \otimes \sigma _{a_{N}},\qquad {\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{N})\in \{0,1,2,3\}^{\times N}}$,

es decir, para un vector de números enteros entre 0 y 4. Por lo tanto, existen tales matrices de Pauli generalizadas si incluimos la identidad y si no. ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle 4^{N}}$ ${\textstyle I=\bigotimes _{m=1}^{N}I^{(m)}}$ ${\displaystyle 4^{N}-1}$

Notaciones

En computación cuántica, es convencional denotar las matrices de Pauli con letras mayúsculas simples.

${\displaystyle I\equiv \sigma _{0},\qquad X\equiv \sigma _{1},\qquad Y\equiv \sigma _{2},\qquad Z\equiv \sigma _{3}.}$

Esto permite que los subíndices en las matrices de Pauli indiquen el índice de cúbits. Por ejemplo, en un sistema con 3 cúbits,

${\displaystyle X_{1}\equiv X\otimes I\otimes I,\qquad Z_{2}\equiv I\otimes Z\otimes I.}$

Las matrices de Pauli de varios cúbits se pueden escribir como productos de matrices de Pauli de un solo cúbit sobre cúbits disjuntos. Alternativamente, cuando el contexto lo indique claramente, se puede omitir el símbolo del producto tensorial, es decir, las matrices de Pauli sin subíndice escritas consecutivamente representan el producto tensorial en lugar del producto matricial. Por ejemplo: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle XZI\equiv X_{1}Z_{2}=X\otimes Z\otimes I.}$

Matrices de espín superior (hermíticas)

Las matrices de Pauli tradicionales son la representación matricial de los generadores del álgebra de Lie , y en la representación irreducible bidimensional de SU(2) , correspondiente a una partícula de espín 1/2 . Estas generan el grupo de Lie SU(2) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Para una partícula general de espín , se utiliza en cambio la representación irreducible de dimensión . ${\displaystyle s=0,1/2,1,3/2,2,\ldots }$ ${\displaystyle 2s+1}$

Matrices de Gell-Mann generalizadas (hermíticas)

Este método de generalización de las matrices de Pauli se refiere a una generalización de sistemas de 2 niveles (matrices de Pauli que actúan sobre qubits ) a sistemas de 3 niveles ( matrices de Gell-Mann que actúan sobre qutrits ) y sistemas de nivel genérico (matrices de Gell-Mann generalizadas que actúan sobre qudits ). ${\displaystyle d}$

Construcción

Sea la matriz con 1 en la entrada jk -ésima y 0 en el resto. Considérese el espacio de matrices complejas, , para un . ${\displaystyle E_{jk}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d}$

Defina las siguientes matrices,

${\displaystyle f_{k,j}^{\,\,\,\,\,d}={\begin{cases}E_{kj}+E_{jk}&{\text{for }}k<j,\\-i(E_{jk}-E_{kj})&{\text{for }}k>j.\end{cases}}}$

y

${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}={\begin{cases}I_{d}&{\text{for }}k=1,\\h_{k}^{\,\,\,d-1}\oplus 0&{\text{for }}1<k<d,\\{\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(h_{1}^{d-1}\oplus (1-d)\right)={\sqrt {\tfrac {2}{d(d-1)}}}\left(I_{d-1}\oplus (1-d)\right)&{\text{for }}k=d\end{cases}}}$

La colección de matrices definidas anteriormente sin la matriz identidad se denominan matrices de Gell-Mann generalizadas , en dimensión . ^{[2] [3]} El símbolo ⊕ (utilizado en el subálgebra de Cartan anterior) significa suma directa de matrices . ${\displaystyle d}$

Las matrices de Gell-Mann generalizadas son hermíticas y sin traza por construcción, al igual que las matrices de Pauli. También se puede comprobar que son ortogonales en el producto interno de Hilbert-Schmidt en . Por recuento de dimensiones, se ve que abarcan el espacio vectorial de matrices complejas, . Por lo tanto, proporcionan una base generadora de álgebra de Lie que actúa sobre la representación fundamental de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d\times d}}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(d)}$

En dimensiones = 2 y 3, la construcción anterior recupera las matrices de Pauli y Gell-Mann , respectivamente. ${\displaystyle d}$

Matrices de Pauli generalizadas de Sylvester (no hermíticas)

Una generalización particularmente notable de las matrices de Pauli fue construida por James Joseph Sylvester en 1882. ^[4] Estas se conocen como "matrices de Weyl-Heisenberg" así como "matrices de Pauli generalizadas". ^{[5] [6]}

Enmarcado

Las matrices de Pauli y satisfacen lo siguiente: ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3}^{2}=I,\quad \sigma _{1}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{1}=e^{\pi i}\sigma _{3}\sigma _{1}.}$

La denominada matriz de conjugación de Walsh-Hadamard es

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Al igual que las matrices de Pauli, es a la vez hermítica y unitaria y satisface la relación ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\;\sigma _{3}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \;\sigma _{1}=W\sigma _{3}W^{*}.}$

El objetivo ahora es ampliar lo anterior a dimensiones superiores . ${\displaystyle d}$

Construcción: Las matrices de reloj y de desplazamiento

Fijemos la dimensión como antes. Sea , una raíz de la unidad. Como y , la suma de todas las raíces se anula: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \omega =\exp(2\pi i/d)}$ ${\displaystyle \omega ^{d}=1}$ ${\displaystyle \omega \neq 1}$

${\displaystyle 1+\omega +\cdots +\omega ^{d-1}=0.}$

Los índices enteros pueden entonces identificarse cíclicamente mod d .

Ahora definamos, con Sylvester, la matriz de desplazamiento

${\displaystyle \Sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\\end{bmatrix}}}$

y la matriz del reloj ,

${\displaystyle \Sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Estas matrices generalizan y , respectivamente. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Obsérvese que la unitaridad y la ausencia de trazas de las dos matrices de Pauli se conservan, pero no la hermiticidad en dimensiones superiores a dos. Dado que las matrices de Pauli describen cuaterniones , Sylvester denominó a los análogos de dimensiones superiores "nonions", "sedenions", etc.

Estas dos matrices son también la piedra angular de la dinámica mecánica cuántica en espacios vectoriales de dimensión finita ^{[7] [8] [9]} tal como las formuló Hermann Weyl , y encuentran aplicaciones rutinarias en numerosas áreas de la física matemática. ^[10] La matriz del reloj equivale a la exponencial de la posición en un "reloj" de horas, y la matriz de desplazamiento es simplemente el operador de traslación en ese espacio vectorial cíclico, por lo que es la exponencial del momento. Son representaciones (de dimensión finita) de los elementos correspondientes del grupo de Weyl-Heisenberg en un espacio de Hilbert de dimensión -. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Las siguientes relaciones hacen eco y generalizan las de las matrices de Pauli:

${\displaystyle \Sigma _{1}^{d}=\Sigma _{3}^{d}=I}$

y la relación de trenzado,

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}=\omega \Sigma _{1}\Sigma _{3}=e^{2\pi i/d}\Sigma _{1}\Sigma _{3},}$

la formulación de Weyl del CCR , y puede reescribirse como

${\displaystyle \Sigma _{3}\Sigma _{1}\Sigma _{3}^{d-1}\Sigma _{1}^{d-1}=\omega ~.}$

Por otra parte, para generalizar la matriz de Walsh-Hadamard , observe ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{2-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}.}$

Definamos, de nuevo con Sylvester, la siguiente matriz analógica, ^[11] todavía denotada por en un ligero abuso de notación, ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega ^{d-1}&\omega ^{2(d-1)}&\cdots &\omega ^{(d-1)^{2}}\\1&\omega ^{d-2}&\omega ^{2(d-2)}&\cdots &\omega ^{(d-1)(d-2)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{d-1}\end{bmatrix}}~.}$

Es evidente que ya no es hermítico, pero sigue siendo unitario. El cálculo directo arroja ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \Sigma _{1}=W\Sigma _{3}W^{*}~,}$

que es el resultado analógico deseado. Por lo tanto, , una matriz de Vandermonde , ordena los vectores propios de , que tiene los mismos valores propios que . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{3}}$

Cuando , es precisamente la matriz de transformada de Fourier discreta , que convierte las coordenadas de posición en coordenadas de momento y viceversa. ${\displaystyle d=2^{k}}$ ${\displaystyle W^{*}}$

Definición

La familia completa de matrices independientes unitarias (pero no hermíticas) se define de la siguiente manera: ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \{\sigma _{k,j}\}_{k,j=1}^{d}}$

${\displaystyle \sigma _{k,j}:=\left(\Sigma _{1}\right)^{k}\left(\Sigma _{3}\right)^{j}=\sum _{m=0}^{d-1}|m+k\rangle \omega ^{jm}\langle m|.}$

Esto proporciona la conocida base ortogonal de Sylvester para , conocida como "nonions" , "sedenions" , etc... ^{[12] [13]} ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(4,\mathbb {C} )}$

Esta base se puede conectar sistemáticamente con la base hermítica anterior. ^[14] (Por ejemplo, las potencias de , la subálgebra de Cartan , se asignan a combinaciones lineales de las matrices). También se puede utilizar para identificar , como , con el álgebra de corchetes de Poisson . ${\displaystyle \Sigma _{3}}$ ${\displaystyle h_{k}^{\,\,\,d}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(d,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle d\to \infty }$

Propiedades

Con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt sobre los operadores, , los operadores de Pauli generalizados de Sylvester son ortogonales y están normalizados a : ${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{k,j},\sigma _{k',j'}\rangle _{\text{HS}}=\delta _{kk'}\delta _{jj'}\|\sigma _{k,j}\|_{\text{HS}}^{2}=d\delta _{kk'}\delta _{jj'}}$.

Esto se puede comprobar directamente a partir de la definición anterior de . ${\displaystyle \sigma _{k,j}}$

Véase también

• Portal de física

• Grupo de Heisenberg § Grupo de Heisenberg módulo un primo impar p
• Matriz hermítica
• Esfera de Bloch
• Transformada de Fourier discreta
• Álgebra de Clifford generalizada
• Matrices de Weyl-Brauer
• Matriz circulante
• Operador de turno
• Transformada cuántica de Fourier
• Grupo de rotación 3D § Una nota sobre las álgebras de Lie

Notas

1. Brown, Adam R.; Susskind, Leonard (25 de abril de 2018). "Segunda ley de la complejidad cuántica". Physical Review D . 97 (8): 086015. arXiv : 1701.01107 . Código Bibliográfico :2018PhRvD..97h6015B. doi :10.1103/PhysRevD.97.086015. S2CID  119199949.
2. Kimura, G. (2003). "El vector de Bloch para sistemas de nivel N". Physics Letters A . 314 (5–6): 339–349. arXiv : quant-ph/0301152 . Código Bibliográfico :2003PhLA..314..339K. doi :10.1016/S0375-9601(03)00941-1. S2CID  119063531.
3. Bertlmann, Reinhold A.; Philipp Krammer (13 de junio de 2008). "Vectores de Bloch para qudits". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (23): 235303. arXiv : 0806.1174 . Bibcode :2008JPhA...41w5303B. doi :10.1088/1751-8113/41/23/235303. ISSN  1751-8121. S2CID  118603188.
4. Sylvester, JJ, (1882), Johns Hopkins University Circulars I : 241-242; ibid II (1883) 46; ibid III (1884) 7–9. Resumido en The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . en línea y más.
5. Appleby, DM (mayo de 2005). "Medidas simétricas informacionalmente completas con valores de operador positivos y el grupo de Clifford extendido". Journal of Mathematical Physics . 46 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0412001 . Bibcode :2005JMP....46e2107A. doi :10.1063/1.1896384. ISSN  0022-2488.
6. Howard, Mark; Vala, Jiri (15 de agosto de 2012). "Versiones qudít de la puerta π/8 del cúbit". Physical Review A . 86 (2): 022316. arXiv : 1206.1598 . Código Bibliográfico :2012PhRvA..86b2316H. doi :10.1103/PhysRevA.86.022316. ISSN  1050-2947. S2CID  56324846.
7. Weyl, H. , "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik , 46 (1927) págs. 1–46, doi :10.1007/BF02055756.
8. Weyl, H., La teoría de grupos y la mecánica cuántica (Dover, Nueva York, 1931)
9. Santhanam, TS; Tekumalla, AR (1976). "Mecánica cuántica en dimensiones finitas". Fundamentos de la física . 6 (5): 583. Bibcode :1976FoPh....6..583S. doi :10.1007/BF00715110. S2CID  119936801.
10. Para una revisión útil, véase Vourdas A. (2004), "Sistemas cuánticos con espacio de Hilbert finito", Rep. Prog. Phys. 67 267. doi :10.1088/0034-4885/67/3/R03.
11. Sylvester, JJ (1867). "Reflexiones sobre matrices ortogonales inversas, sucesiones de signos simultáneas y pavimentos teselados en dos o más colores, con aplicaciones a la regla de Newton, la cerámica ornamental y la teoría de números". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science . 34 (232): 461–475. doi :10.1080/14786446708639914.
12. Patera, J.; Zassenhaus, H. (1988). "Las matrices de Pauli en n dimensiones y gradaciones más finas de álgebras de Lie simples de tipo An−1". Journal of Mathematical Physics . 29 (3): 665. Bibcode :1988JMP....29..665P. doi :10.1063/1.528006.
13. Dado que todos los índices se definen cíclicamente mod d , . ${\displaystyle \mathrm {tr} \Sigma _{1}^{j}\Sigma _{3}^{k}\Sigma _{1}^{m}\Sigma _{3}^{n}=\omega ^{km}d~\delta _{j+m,0}\delta _{k+n,0}}$
14. Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). "Álgebras de dimensión infinita y una base trigonométrica para las álgebras de Lie clásicas". Journal of Mathematical Physics . 31 (5): 1088. Bibcode :1990JMP....31.1088F. doi :10.1063/1.528788.