Grupo de Heisenberg

Grupo en teoría de grupos y física

En matemáticas , el grupo de Heisenberg , llamado así por Werner Heisenberg , es el grupo de matrices triangulares superiores de 3×3 de la forma ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

bajo la operación de multiplicación de matrices . Los elementos a, b y c pueden tomarse de cualquier anillo conmutativo con identidad, que a menudo se considera el anillo de los números reales (que da como resultado el "grupo de Heisenberg continuo") o el anillo de los números enteros (que da como resultado el "grupo de Heisenberg discreto").

El grupo de Heisenberg continuo surge en la descripción de sistemas mecánicos cuánticos unidimensionales , especialmente en el contexto del teorema de Stone-von Neumann . De manera más general, se pueden considerar grupos de Heisenberg asociados a sistemas n -dimensionales y, más generalmente, a cualquier espacio vectorial simpléctico .

Caso tridimensional

En el caso tridimensional, el producto de dos matrices de Heisenberg viene dado por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Como se puede ver a partir del término ab ′ , el grupo no es abeliano .

El elemento neutro del grupo de Heisenberg es la matriz identidad , y las inversas se dan por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

El grupo es un subgrupo del grupo afín bidimensional Aff(2): actuar sobre corresponde a la transformada afín . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$

Hay varios ejemplos destacados del caso tridimensional.

Grupo continuo de Heisenberg

Si a , b , c son números reales (en el anillo R ) entonces se tiene el grupo de Heisenberg continuo _H3 ( R ) .

Es un grupo de Lie real nilpotente de dimensión 3.

Además de la representación como matrices reales 3×3, el grupo continuo de Heisenberg también tiene varias representaciones diferentes en términos de espacios de funciones . Por el teorema de Stone–von Neumann , existe, hasta isomorfismo, una única representación unitaria irreducible de H en la que su centro actúa por un carácter no trivial dado . Esta representación tiene varias realizaciones o modelos importantes. En el modelo de Schrödinger , el grupo de Heisenberg actúa sobre el espacio de funciones integrables cuadradas . En la representación theta , actúa sobre el espacio de funciones holomorfas en el semiplano superior ; se llama así por su conexión con las funciones theta .

Grupo discreto de Heisenberg

Una parte del gráfico de Cayley del grupo de Heisenberg discreto, con generadores x , y , z como en el texto (los colores son solo para ayuda visual).

Si a , b , c , son números enteros (en el anillo Z ) entonces se tiene el grupo discreto de Heisenberg H ₃ ( Z ). Es un grupo nilpotente no abeliano . Tiene dos generadores,

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

y relaciones

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$,

dónde

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

es el generador del centro de H ₃ . (Tenga en cuenta que las inversas de x , y y z reemplazan el 1 sobre la diagonal con −1).

Según el teorema de Bass , tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden 4.

Se puede generar cualquier elemento a través de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

Grupo de Heisenberg módulo un primo imparpag

Si se toma a, b, c en Z / p Z como primo impar p , entonces se tiene el grupo de Heisenberg módulo p . Es un grupo de orden p ³ con generadores x,y y relaciones:

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

Los análogos de los grupos de Heisenberg sobre cuerpos finitos de orden primo impar p se denominan grupos extraespeciales o, más propiamente, grupos extraespeciales de exponente p . De manera más general, si el subgrupo derivado de un grupo G está contenido en el centro Z de G , entonces la función de G / Z × G / Z → Z es un operador bilineal antisimétrico sobre grupos abelianos.

Sin embargo, exigir que G/Z sea un espacio vectorial finito requiere que el subgrupo Frattini de G esté contenido en el centro, y exigir que Z sea un espacio vectorial unidimensional sobre Z / p Z requiere que Z tenga orden p , por lo que si G no es abeliano, entonces G es extra especial. Si G es extra especial pero no tiene exponente p , entonces la construcción general a continuación aplicada al espacio vectorial simpléctico G/Z no produce un grupo isomorfo a G .

Grupo de Heisenberg módulo 2

El grupo de Heisenberg módulo 2 es de orden 8 y es isomorfo al grupo diedro D ₄ (las simetrías de un cuadrado). Observe que si

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Entonces

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Los elementos x e y corresponden a reflexiones (con 45° entre ellos), mientras que xy e yx corresponden a rotaciones de 90°. Las otras reflexiones son xyx e yxy , y la rotación de 180° es xyxy (= yxyx ).

Álgebra de Heisenberg

El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg (sobre los números reales) se conoce como álgebra de Heisenberg. ^[1] Puede representarse utilizando el espacio de matrices 3×3 de la forma ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

con . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

Los tres elementos siguientes forman la base para , ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Estos elementos base satisfacen las relaciones de conmutación,

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

El nombre "grupo de Heisenberg" está motivado por las relaciones anteriores, que tienen la misma forma que las relaciones de conmutación canónicas en la mecánica cuántica,

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

donde es el operador de posición, es el operador de momento y es la constante de Planck. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \hbar }$

El grupo H de Heisenberg tiene la propiedad especial de que la función exponencial es una función biunívoca y sobreyectiva del álgebra de Lie al grupo H , ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

En la teoría de campos conforme

En la teoría de campos conforme , el término álgebra de Heisenberg se utiliza para referirse a una generalización de dimensión infinita del álgebra anterior. Está formada por elementos , con relaciones de conmutación. ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}$

Bajo un reescalamiento, esto es simplemente un número infinito contable de copias del álgebra anterior.

Dimensiones superiores

Se pueden definir grupos de Heisenberg más generales para dimensiones superiores en el espacio euclidiano y, de manera más general, en espacios vectoriales simplécticos . El caso general más simple es el grupo de Heisenberg real de dimensión , para cualquier entero . Como grupo de matrices, (o para indicar que es el grupo de Heisenberg sobre el cuerpo de números reales) se define como el grupo de matrices con entradas en y que tienen la forma: ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

dónde

a es un vector fila de longitud n ,

b es un vector columna de longitud n ,

I _n es la matriz identidad de tamaño n .

Estructura del grupo

Se trata efectivamente de un grupo, como lo demuestra la multiplicación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Álgebra de Lie

El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie simplemente conexo cuya álgebra de Lie consiste en matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

dónde

a es un vector fila de longitud n ,

b es un vector columna de longitud n ,

0 _n es la matriz cero de tamaño n .

Dejando e ₁ , ..., e _n como base canónica de R ⁿ , y estableciendo

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}&={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\\q_{j}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\\z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

El álgebra de Lie asociada se puede caracterizar por las relaciones de conmutación canónicas ,

donde p ₁ , ...,  p _n , q ₁ , ...,  q _n , z son los generadores de álgebra.

En particular, z es un elemento central del álgebra de Lie de Heisenberg. Nótese que el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg es nilpotente.

Mapa exponencial

Dejar

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

que cumple . El mapa exponencial se evalúa como ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El mapa exponencial de cualquier álgebra de Lie nilpotente es un difeomorfismo entre el álgebra de Lie y el único grupo de Lie asociado , conexo y simplemente conexo .

Esta discusión (aparte de las afirmaciones que hacen referencia a la dimensión y al grupo de Lie) se aplica además si reemplazamos R por cualquier anillo conmutativo A . El grupo correspondiente se denota H _n ( A ).

Bajo el supuesto adicional de que el primo 2 es invertible en el anillo A , la función exponencial también queda definida, ya que se reduce a una suma finita y tiene la forma anterior (por ejemplo, A podría ser un anillo Z / p Z con un primo impar p o cualquier cuerpo de característica 0).

Teoría de la representación

La teoría de representación unitaria del grupo de Heisenberg es bastante simple (posteriormente generalizada por la teoría de Mackey ) y fue la motivación para su introducción en la física cuántica, como se analiza a continuación.

Para cada número real distinto de cero , podemos definir una representación unitaria irreducible de actuando sobre el espacio de Hilbert mediante la fórmula: ^[4] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

Esta representación se conoce como la representación de Schrödinger . La motivación para esta representación es la acción de los operadores exponenciales de posición y momento en la mecánica cuántica. El parámetro describe las traslaciones en el espacio de posición, el parámetro describe las traslaciones en el espacio de momento y el parámetro da un factor de fase general. El factor de fase es necesario para obtener un grupo de operadores, ya que las traslaciones en el espacio de posición y las traslaciones en el espacio de momento no conmutan. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

El resultado clave es el teorema de Stone-von Neumann , que establece que toda representación unitaria irreducible (fuertemente continua) del grupo de Heisenberg en la que el centro actúa de manera no trivial es equivalente a para algún . ^[5] Alternativamente, que todas son equivalentes al álgebra de Weyl (o álgebra CCR ) en un espacio simpléctico de dimensión 2 n . ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle \hbar }$

Puesto que el grupo de Heisenberg es una extensión central unidimensional de , sus representaciones unitarias irreducibles pueden verse como representaciones proyectivas unitarias irreducibles de . Conceptualmente, la representación dada anteriormente constituye la contraparte mecánico cuántica del grupo de simetrías traslacionales en el espacio de fase clásico, . El hecho de que la versión cuántica sea solo una representación proyectiva de ya se sugiere en el nivel clásico. Los generadores hamiltonianos de traslaciones en el espacio de fase son las funciones de posición y momento. Sin embargo, el lapso de estas funciones no forma un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson , porque Más bien, el lapso de las funciones de posición y momento y las constantes forma un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson. Esta álgebra de Lie es una extensión central unidimensional del álgebra de Lie conmutativa , isomorfa al álgebra de Lie del grupo de Heisenberg. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Sobre espacios vectoriales simplécticos

La abstracción general de un grupo de Heisenberg se construye a partir de cualquier espacio vectorial simpléctico . ^[6] Por ejemplo, sea ( V , ω) un espacio vectorial simpléctico real de dimensión finita (por lo que ω es una forma bilineal antisimétrica no degenerada en V ). El grupo de Heisenberg H( V ) en ( V , ω ) (o simplemente V para abreviar) es el conjunto V × R dotado de la ley de grupos

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

El grupo de Heisenberg es una extensión central del grupo aditivo V . Por lo tanto, existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Cualquier espacio vectorial simpléctico admite una base Darboux { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} que satisface ω ( e _j , f ^k ) = δ _j ^k y donde 2 n es la dimensión de V (la dimensión de V es necesariamente par). En términos de esta base, todo vector se descompone como

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

Las q ^a y p _a son coordenadas canónicamente conjugadas .

Si { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} es una base de Darboux para V , entonces sea { E } una base para R , y { e _j , f ^k , E } _{1 ≤ j , k ≤ n} es la base correspondiente para V × R . Un vector en H( V ) está dado entonces por

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

y la ley del grupo se convierte en

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Como la variedad subyacente del grupo de Heisenberg es un espacio lineal, los vectores del álgebra de Lie pueden identificarse canónicamente con los vectores del grupo. El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg está dada por la relación de conmutación

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

o escrito en términos de la base Darboux

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

y todos los demás conmutadores desaparecen.

También es posible definir la ley de grupos de una manera diferente pero que dé como resultado un grupo isomorfo al grupo que acabamos de definir. Para evitar confusiones, utilizaremos u en lugar de t , por lo que un vector viene dado por

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

y la ley del grupo es

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

Un elemento del grupo

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

puede entonces expresarse como una matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$,

que da una representación matricial fiel de H( V ). La u en esta formulación está relacionada con t en nuestra formulación anterior por , de modo que el valor t para el producto llega a ${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$,

Como antes.

El isomorfismo con el grupo que utiliza matrices triangulares superiores se basa en la descomposición de V en una base Darboux, lo que equivale a una elección de isomorfismo V ≅ U ⊕ U *. Aunque la nueva ley de grupo produce un grupo isomorfo al dado más arriba, el grupo con esta ley a veces se denomina grupo polarizado de Heisenberg como recordatorio de que esta ley de grupo se basa en una elección de base (la elección de un subespacio lagrangiano de V es una polarización ).

Para cualquier álgebra de Lie, existe un único grupo de Lie conexo , simplemente conexo G . Todos los demás grupos de Lie conexos con la misma álgebra de Lie que G son de la forma G / N donde N es un grupo discreto central en G . En este caso, el centro de H( V ) es R y los únicos subgrupos discretos son isomorfos a Z . Por lo tanto, H( V )/ Z es otro grupo de Lie que comparte esta álgebra de Lie. Lo que cabe destacar de este grupo de Lie es que no admite representaciones fieles de dimensión finita; no es isomorfo a ningún grupo matricial. Sin embargo, tiene una familia bien conocida de representaciones unitarias de dimensión infinita.

Conexión con el álgebra de Weyl

El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg se describió anteriormente, (1), como un álgebra de Lie de matrices. El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se aplica para determinar el álgebra envolvente universal . Entre otras propiedades, el álgebra envolvente universal es un álgebra asociativa en la que se incrusta inyectivamente. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

Por el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, es entonces el espacio vectorial libre generado por los monomios

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

donde los exponentes son todos no negativos.

En consecuencia, consta de polinomios reales ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

con las relaciones de conmutación

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

El álgebra está estrechamente relacionada con el álgebra de operadores diferenciales con coeficientes polinómicos, ya que cualquier operador de este tipo tiene una representación única en la forma ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Esta álgebra se llama álgebra de Weyl . De un absurdo abstracto se deduce que el álgebra de Weyl W _n es un cociente de . Sin embargo, esto también es fácil de ver directamente a partir de las representaciones anteriores; es decir, mediante la aplicación ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Aplicaciones

Parametrización de la mecánica cuántica según Weyl

La aplicación que llevó a Hermann Weyl a una realización explícita del grupo de Heisenberg fue la pregunta de por qué la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg son físicamente equivalentes. De manera abstracta, la razón es el teorema de Stone-von Neumann : existe una única representación unitaria con una acción dada del elemento central del álgebra de Lie z , hasta una equivalencia unitaria: los elementos no triviales del álgebra son todos equivalentes a los operadores de posición y momento habituales.

Por lo tanto, la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg son equivalentes: son simplemente maneras diferentes de realizar esta representación esencialmente única.

Representación theta

El mismo resultado de unicidad fue utilizado por David Mumford para grupos discretos de Heisenberg, en su teoría de ecuaciones que definen variedades abelianas . Esta es una gran generalización del enfoque utilizado en las funciones elípticas de Jacobi , que es el caso del grupo de Heisenberg módulo 2, de orden 8. El caso más simple es la representación theta del grupo de Heisenberg, cuyo caso discreto da la función theta .

Análisis de Fourier

El grupo de Heisenberg también aparece en el análisis de Fourier , donde se utiliza en algunas formulaciones del teorema de Stone-von Neumann . En este caso, se puede entender que el grupo de Heisenberg actúa sobre el espacio de funciones integrables cuadradas ; el resultado es una representación de los grupos de Heisenberg a veces llamada representación de Weyl.

Como una variedad subriemanniana

Animación de una geodésica en el grupo de Heisenberg.

El grupo de Heisenberg tridimensional H ₃ ( R ) en los números reales también puede entenderse como una variedad suave y, específicamente, un ejemplo simple de una variedad subriemanniana . ^[7] Dado un punto p = ( x , y , z ) en R ³ , defina una 1-forma diferencial Θ en este punto como

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Esta forma única pertenece al fibrado cotangente de R ³ ; es decir,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

es una función sobre el fibrado tangente . Sea

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

Se puede ver que H es un subfibrado del fibrado tangente T R ³ . Un producto interno sobre H se obtiene proyectando vectores al espacio bidimensional abarcado por vectores en la dirección x e y . Es decir, dados los vectores y en T R ³ , el producto interno se obtiene mediante ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

La estructura resultante convierte a H en la variedad del grupo de Heisenberg. Un marco ortonormal en la variedad viene dado por los campos vectoriales de Lie

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

que obedecen a las relaciones [ X , Y ] = Z y [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Al ser campos vectoriales de Lie, forman una base invariante por la izquierda para la acción del grupo. Las geodésicas en la variedad son espirales que se proyectan hacia abajo en círculos en dos dimensiones. Es decir, si

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

es una curva geodésica, entonces la curva es un arco de círculo, y ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

con la integral limitada al plano bidimensional. Es decir, la altura de la curva es proporcional al área del círculo subtendido por el arco circular , lo que se deduce del teorema de Green .

Grupo de Heisenberg de un grupo abeliano localmente compacto

Es más generalmente posible definir el grupo de Heisenberg de un grupo abeliano localmente compacto K , equipado con una medida de Haar . ^[8] Tal grupo tiene un dual de Pontrjagin , que consiste en todos los caracteres de valor continuo en K , que también es un grupo abeliano localmente compacto si está dotado de la topología compacta-abierta . El grupo de Heisenberg asociado con el grupo abeliano localmente compacto K es el subgrupo del grupo unitario de generado por traslaciones de K y multiplicaciones por elementos de . ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

En más detalle, el espacio de Hilbert consiste en funciones complejas integrables al cuadrado en K. Las traducciones en K forman una representación unitaria de K como operadores en : ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

Para . Lo mismo ocurre con las multiplicaciones por caracteres: ${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

para . Estos operadores no conmutan, sino que satisfacen ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

multiplicación por un número complejo con módulo unitario fijo.

Por lo tanto, el grupo de Heisenberg asociado con K es un tipo de extensión central de , a través de una secuencia exacta de grupos: ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Los grupos de Heisenberg más generales se describen mediante 2-cociclos en el grupo de cohomología . La existencia de una dualidad entre y da lugar a un cociclo canónico, pero generalmente existen otros. ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

El grupo de Heisenberg actúa irreduciblemente sobre . De hecho, los caracteres continuos separan puntos ^[9], por lo que cualquier operador unitario de que conmuta con ellos es un multiplicador . Pero conmutar con traslaciones implica que el multiplicador es constante. ^[10] ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Una versión del teorema de Stone-von Neumann , demostrada por George Mackey , es válida para el grupo de Heisenberg . ^{[11] [12]} La transformada de Fourier es el único entrelazador entre las representaciones de y . Véase la discusión en Teorema de Stone-von Neumann#Relación con la transformada de Fourier para más detalles. ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$

Véase también

• Relaciones de conmutación canónica
• Transformada de Wigner-Weyl
• Teorema de Stone-von Neumann
• Representación proyectiva
• Conjetura de geometrización

Notas

1. Woit, Peter. Temas de teoría de la representación: el álgebra de Heisenberg (PDF) .
2. Propuesta 3.26 del Salón 2015
3. Hall 2015 Capítulo 2, Ejercicio 9
4. Proposición 14.7 de Hall 2013
5. Hall 2013 Teorema 14.8
6. Hans Tilgner, "Una clase de grupos de Lie resolubles y su relación con el formalismo canónico Archivado el 5 de junio de 2011 en Wayback Machine ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique , 13 no. 2 (1970), págs. 103-127.
7. Richard Montgomery, Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones (Estudios matemáticos y monografías, volumen 91) , (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9 . 
8. David Mumford (1991), "Conferencias Tata sobre theta III", Progreso en Matemáticas , 97 , Birkhauser
9. Karl Heinrich Hofmann, Sidney A. Morris (2006), La estructura de los grupos compactos: una introducción para estudiantes, un manual para el experto , De Gruyter studies in mathematics 25 (2.ª edición revisada), Walter de Gruyter, ISBN 9783110190069
10. Este argumento aparece en un contexto ligeramente diferente en Roger Howe (1980), "Sobre el papel del grupo de Heisenberg en el análisis armónico", Bulletin of the American Mathematical Society , 3 (2): 821–844, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 , MR  0578375
11. George Mackey (1949), "Sobre un teorema de Stone y von Neumann", Duke Mathematical Journal , 16 (2): 313–326, doi :10.1215/s0012-7094-49-01631-2
12. A Prasad (2009), "Una prueba sencilla del teorema de Stone-von Neumann-Mackey", Expositiones Mathematicae , 29 : 110–118, arXiv : 0912.0574 , doi :10.1016/j.exmath.2010.06.001, S2CID  56340220

Referencias

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• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 222 (segunda edición). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Howe, Roger (1980). "Sobre el papel del grupo de Heisenberg en el análisis armónico". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 3 (2): 821–843. doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . MR  0578375.
• Kirillov, Alexandre A. (2004). "Cap. 2: "Representaciones y órbitas del grupo de Heisenberg". Lecciones sobre el método de órbitas . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3530-0.
• Mackey, George (1976). La teoría de las representaciones de grupos unitarios . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press . ISBN 978-0226500522.

Enlaces externos

• Groupprops, Wiki de propiedades de grupo Matriz unitangular UT(3,p)