Transformada de Wigner-Weyl

Mapeo entre funciones en el espacio de fases cuánticas.

En mecánica cuántica , la transformada de Wigner-Weyl o transformada de Weyl-Wigner (después de Hermann Weyl y Eugene Wigner ) es el mapeo invertible entre funciones en la formulación del espacio de fases cuántico y los operadores espaciales de Hilbert en la imagen de Schrödinger .

A menudo, el mapeo de funciones en el espacio de fase a operadores se llama transformada de Weyl o cuantificación de Weyl , mientras que el mapeo inverso, de operadores a funciones en el espacio de fase, se llama transformada de Wigner . Este mapeo fue ideado originalmente por Hermann Weyl en 1927 en un intento de mapear funciones del espacio de fase clásicas simetrizadas a operadores, un procedimiento conocido como cuantificación de Weyl . ^[1] Ahora se entiende que la cuantificación de Weyl no satisface todas las propiedades que se requerirían para una cuantificación consistente y, por lo tanto, a veces produce respuestas no físicas. Por otro lado, algunas de las buenas propiedades que se describen a continuación sugieren que si se busca un único procedimiento consistente que mapee funciones en el espacio de fase clásico a operadores, la cuantificación de Weyl es la mejor opción: una especie de coordenadas normales de tales mapas. ( El teorema de Groenewold afirma que ningún mapa de este tipo puede tener todas las propiedades ideales que uno desearía).

De todos modos, la transformada de Weyl-Wigner es una transformación integral bien definida entre las representaciones del espacio de fases y del operador, y proporciona información sobre el funcionamiento de la mecánica cuántica. Lo más importante es que la distribución de cuasi probabilidad de Wigner es la transformada de Wigner de la matriz de densidad cuántica y, a la inversa, la matriz de densidad es la transformada de Weyl de la función de Wigner.

En contraste con las intenciones originales de Weyl de buscar un esquema de cuantificación consistente, este mapa equivale simplemente a un cambio de representación dentro de la mecánica cuántica; no es necesario conectar cantidades "clásicas" con cantidades "cuánticas". Por ejemplo, la función del espacio de fase puede depender explícitamente de la constante de Planck reducida ħ , como ocurre en algunos casos familiares que involucran momento angular. Este cambio de representación invertible permite entonces expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases , como fue apreciado en la década de 1940 por Hilbrand J. Groenewold ^[2] y José Enrique Moyal . ^{[3] [4]}

Definición de la cuantificación de Weyl de un observable general.

A continuación se explica la transformación de Weyl en el espacio de fase euclidiano bidimensional más simple. Sean las coordenadas en el espacio de fases (q,p) y sea f una función definida en todas partes del espacio de fases. A continuación, fijamos los operadores P y Q que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas , como los operadores de posición y momento habituales en la representación de Schrödinger. Suponemos que los operadores exponenciados y constituyen una representación irreductible de las relaciones de Weyl , de modo que se cumple el teorema de Stone-von Neumann (que garantiza la unicidad de las relaciones de conmutación canónicas). ${\displaystyle e^{iaQ}}$ ${\displaystyle e^{ibP}}$

Fórmula básica

La transformada de Weyl (o cuantificación de Weyl ) de la función f viene dada por el siguiente operador en el espacio de Hilbert, ^{[5] [6]}

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.}$

En todo momento, ħ es la constante de Planck reducida .

Es instructivo realizar primero las integrales p y q en la fórmula anterior, lo que tiene el efecto de calcular la transformada de Fourier ordinaria de la función f , mientras se deja el operador . En ese caso, la transformada de Weyl se puede escribir como ^[7] ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

Por lo tanto, podemos pensar en el mapa de Weyl de la siguiente manera: tomamos la transformada ordinaria de Fourier de la función , pero luego, al aplicar la fórmula de inversión de Fourier, sustituimos los operadores cuánticos y por las variables clásicas originales p y q , obteniendo así un "cuántico". versión de f ." ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Una forma menos simétrica, pero útil para aplicaciones, es la siguiente,

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

En la representación de posición.

El mapa de Weyl también puede expresarse en términos de los elementos de la matriz integral del núcleo de este operador, ^[8]

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

mapa inverso

El inverso del mapa de Weyl anterior es el mapa de Wigner (o transformada de Wigner ), que fue introducido por Eugene Wigner, ^[9] que lleva al operador Φ a la función núcleo del espacio de fase original f .

${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$

Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador de distribución térmica del oscilador es ^[6] ${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

Si se reemplaza la expresión anterior con un operador arbitrario, la función resultante f puede depender de la constante de Planck reducida ħ , y bien puede describir procesos mecánico-cuánticos, siempre que esté compuesta adecuadamente a través del producto estrella , a continuación. ^[10] A su vez, el mapa de Weyl del mapa de Wigner se resume mediante la fórmula de Groenewold , ^[6] ${\displaystyle \Phi [f]}$

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

Cuantización de Weyl de observables polinomiales.

Si bien las fórmulas anteriores brindan una buena comprensión de la cuantificación de Weyl de un observable muy general en el espacio de fase, no son muy convenientes para calcular observables simples, como aquellos que son polinomios en y . En secciones posteriores veremos que en tales polinomios, la cuantificación de Weyl representa el ordenamiento totalmente simétrico de los operadores no conmutantes y . Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador cuántico de momento angular al cuadrado L ² no es solo el momento angular clásico al cuadrado, sino que además contiene un término de compensación −3 ħ ² /2 , que representa el momento angular que no desaparece del suelo. -Órbita de Bohr en estado . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Propiedades

Cuantización de polinomios de Weyl.

La acción de la cuantificación de Weyl sobre funciones polinómicas de y está completamente determinada por la siguiente fórmula simétrica: ^[11] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

para todos los números complejos y . A partir de esta fórmula, no es difícil demostrar que la cuantificación de Weyl en una función de la forma da el promedio de todos los ordenamientos posibles de factores de y factores de . Por ejemplo, tenemos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Si bien este resultado es conceptualmente natural, no es conveniente para cálculos cuando y son grandes. En tales casos, podemos utilizar la fórmula de McCoy ^[12] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Esta expresión da una respuesta aparentemente diferente para el caso de la expresión totalmente simétrica anterior. Sin embargo, no hay contradicción, ya que las relaciones de conmutación canónicas permiten más de una expresión para el mismo operador. (El lector puede encontrar instructivo utilizar las relaciones de conmutación para reescribir la fórmula totalmente simétrica para el caso de en términos de los operadores , y y verificar la primera expresión en la fórmula de McCoy con .) ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$ ${\displaystyle QP^{2}Q}$ ${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$ ${\displaystyle m=n=2}$

Se cree ampliamente que la cuantificación de Weyl, entre todos los esquemas de cuantificación, se acerca lo más posible a mapear el soporte de Poisson en el lado clásico al conmutador en el lado cuántico. (Una correspondencia exacta es imposible, a la luz del teorema de Groenewold ). Por ejemplo, Moyal demostró la

Teorema : Si es un polinomio de grado como máximo 2 y es un polinomio arbitrario, entonces tenemos . ${\displaystyle f(q,p)}$ ${\displaystyle g(q,p)}$ ${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$

Cuantización de Weyl de funciones generales.

• Si f es una función de valor real , entonces su imagen del mapa de Weyl Φ [ f ] es autoadjunta .
• Si f es un elemento del espacio de Schwartz , entonces Φ [ f ] es clase de traza .
• De manera más general, Φ [ f ] es un operador ilimitado densamente definido .
• El mapa Φ [ f ] es uno a uno en el espacio de Schwartz (como un subespacio de las funciones integrables al cuadrado).

Cuantización de deformación

Intuitivamente, una deformación de un objeto matemático es una familia del mismo tipo de objetos que dependen de algún parámetro. Aquí, proporciona reglas sobre cómo deformar el álgebra conmutativa de observables "clásica" en un álgebra de observables cuántica no conmutativa.

La configuración básica en la teoría de la deformación es comenzar con una estructura algebraica (por ejemplo, un álgebra de Lie ) y preguntar: ¿Existe una o más familias de parámetros de estructuras similares , de modo que para un valor inicial de los parámetros? ¿Uno tiene la misma estructura (álgebra de Lie) con la que empezó? (La ilustración más antigua de esto puede ser la comprensión de Eratóstenes en el mundo antiguo de que una Tierra plana era deformable a una Tierra esférica, con un parámetro de deformación 1/ R _⊕ .) Por ejemplo, se puede definir un toro no conmutativo como una cuantificación de deformación a través de una ★ -producto para abordar implícitamente todas las sutilezas de convergencia (normalmente no se abordan en la cuantificación formal de la deformación). En la medida en que el álgebra de funciones sobre un espacio determina la geometría de ese espacio, el estudio del producto estrella conduce al estudio de una deformación geométrica no conmutativa de ese espacio.

En el contexto del ejemplo de espacio de fases plano anterior, el producto estrella ( producto de Moyal , introducido en realidad por Groenewold en 1946), ★ _ħ , de un par de funciones en f ₁ , f ₂ ∈ C ^∞ (ℜ ² ) , es especificado por

${\displaystyle \Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,}$

El producto estrella no es conmutativo en general, sino que pasa al producto conmutativo ordinario de funciones en el límite de ħ → 0 . Como tal, se dice que define una deformación del álgebra conmutativa de C ^∞ (ℜ ² ) .

Para el ejemplo anterior del mapa de Weyl, el producto ★ puede escribirse en términos del corchete de Poisson como

${\displaystyle f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).}$

Aquí, Π es el bivector de Poisson , un operador definido de manera que sus potencias son

${\displaystyle \Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}}$

y

${\displaystyle \Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,}$

donde { f ₁ , f ₂ } es el corchete de Poisson . Más generalmente,

${\displaystyle \Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)}$

donde está el coeficiente binomial . ${\displaystyle {n \choose k}}$

Así, por ejemplo, ^[6] los gaussianos componen hiperbólicamente ,

${\displaystyle \exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),}$

etc. Estas fórmulas se basan en coordenadas en las que el bivector de Poisson es constante (corchetes planos de Poisson). Para conocer la fórmula general sobre variedades arbitrarias de Poisson , cf. la fórmula de cuantificación de Kontsevich .

La antisimetrización de este producto ★ produce el corchete de Moyal , la deformación cuántica adecuada del corchete de Poisson y el isomorfo del espacio de fases (transformada de Wigner) del conmutador cuántico en la formulación más habitual de la mecánica cuántica en el espacio de Hilbert. Como tal, proporciona la piedra angular de las ecuaciones dinámicas de observables en esta formulación del espacio de fases.

El resultado es una formulación completa del espacio de fases de la mecánica cuántica, completamente equivalente a la representación del operador espacial de Hilbert , con multiplicaciones de estrellas paralelas isomórficamente a las multiplicaciones de operadores. ^[6]

Los valores esperados en la cuantificación del espacio de fase se obtienen isomórficamente para rastrear los observables del operador Φ con la matriz de densidad en el espacio de Hilbert: se obtienen mediante integrales de espacio de fase de observables como el f anterior con la distribución de cuasi probabilidad de Wigner que sirve efectivamente como medida. .

Así, al expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases (el mismo ámbito que para la mecánica clásica), el mapa de Weyl anterior facilita el reconocimiento de la mecánica cuántica como una deformación (generalización, cf. principio de correspondencia ) de la mecánica clásica, con parámetro de deformación ħ / S . (Otras deformaciones familiares en física implican la deformación de la gravedad newtoniana en la mecánica relativista, con el parámetro de deformación v / c ; o la deformación de la gravedad newtoniana en la relatividad general, con el parámetro de deformación radio de Schwarzschild/dimensión característica. Por el contrario, la contracción de grupo conduce a las teorías no deformadas de parámetros de fuga: límites clásicos ).

Las expresiones, observables y operaciones clásicas (como los corchetes de Poisson) se modifican mediante correcciones cuánticas dependientes de ħ , ya que la multiplicación conmutativa convencional que se aplica en la mecánica clásica se generaliza a la multiplicación de estrellas no conmutativa que caracteriza a la mecánica cuántica y subyace a su principio de incertidumbre.

A pesar de su nombre, la cuantización por deformación no suele constituir un esquema de cuantización exitoso , es decir, un método para producir una teoría cuántica a partir de una clásica. Hoy en día, se trata de un mero cambio de representación del espacio de Hilbert al espacio de fases.

Generalizaciones

De manera más general, la cuantificación de Weyl se estudia en los casos en que el espacio de fase es una variedad simpléctica , o posiblemente una variedad de Poisson . Las estructuras relacionadas incluyen los grupos de Poisson-Lie y las álgebras de Kac-Moody .

Ver también

• Relación de conmutación canónica
• grupo heisenberg
• soporte moyal
• álgebra de Weyl
• Funtor
• Operador pseudodiferencial
• Distribución de cuasi probabilidad de Wigner
• Teorema de Stone-von Neumann
• Formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica.
• Fórmula de cuantificación de Kontsevich
• Transformada de Gabor-Wigner
• Representación del oscilador

Referencias

1. Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Código Bib : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
2. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–446. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (1): 99-124. Código Bib : 1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
5. Folland, G. (1989). Análisis Armónicos en el Espacio de Fases . Los anales de los estudios de matemáticas. vol. 122. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08528-9.
6. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Un tratado conciso sobre la mecánica cuántica en el espacio de fases . Científico mundial . ISBN 9789814520430.
7. Salón 2013 Sección 13.3
8. Salón 2013 Definición 13.7
9. Wigner, E. (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico". Revisión física . 40 (5): 749–759. doi : 10.1103/PhysRev.40.749.
10. Kubo, R. (1964). "Representación de Wigner de operadores cuánticos y sus aplicaciones a electrones en un campo magnético". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 19 (11): 2127–2139. Código bibliográfico : 1964JPSJ...19.2127K. doi :10.1143/JPSJ.19.2127.
11. Propuesta 13.3 del Salón 2013
12. McCoy, Neal (1932). "Sobre la función en mecánica cuántica que corresponde a una función dada en mecánica clásica", Proc Nat Acad Sci USA 19 674, en línea.

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158

Otras lecturas

• Caso, William B. (octubre de 2008). "Wigner funciona y Weyl se transforma para los peatones". Revista Estadounidense de Física . 76 (10): 937–946. Código bibliográfico : 2008AmJPh..76..937C. doi :10.1119/1.2957889.(Las secciones I a IV de este artículo brindan una descripción general de la transformada de Wigner-Weyl , la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner , la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica y el ejemplo del oscilador armónico cuántico ).
• "Cuantización de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Notas de Terence Tao de 2012 sobre los pedidos de Weyl