Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner

Función de distribución de Wigner en física frente al procesamiento de señales

Función de Wigner del llamado estado felino

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner (también llamada función de Wigner o distribución de Wigner-Ville , en honor a Eugene Wigner y Jean-André Ville ) es una distribución de cuasiprobabilidad . Fue introducido por Eugene Wigner en 1932 ^[1] para estudiar las correcciones cuánticas de la mecánica estadística clásica . El objetivo era vincular la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger con una distribución de probabilidad en el espacio de fases .

Es una función generadora de todas las funciones de autocorrelación espacial de una función de onda mecánica cuántica dada ψ ( x ) . Así, mapea ^[2] en la matriz de densidad cuántica en el mapa entre funciones reales del espacio de fase y operadores hermitianos introducidos por Hermann Weyl en 1927, ^[3] en un contexto relacionado con la teoría de la representación en matemáticas (ver Cuantización de Weyl ). En efecto, es la transformada de Wigner-Weyl de la matriz de densidad, es decir, la realización de ese operador en el espacio de fases. Más tarde, Jean Ville lo volvió a derivar en 1948 como una representación cuadrática (en señal) de la energía local de tiempo-frecuencia de una señal , ^[4] efectivamente un espectrograma .

En 1949, José Enrique Moyal , que lo había derivado de forma independiente, lo reconoció como el funcional generador de momentos cuánticos ^[5] y, por tanto, como la base de una codificación elegante de todos los valores esperados cuánticos y, por tanto, de la mecánica cuántica, en el espacio de fases ( ver formulación en espacio de fases ). Tiene aplicaciones en mecánica estadística , química cuántica , óptica cuántica , óptica clásica y análisis de señales en diversos campos, como ingeniería eléctrica , sismología , análisis tiempo-frecuencia para señales musicales , espectrogramas en biología y procesamiento del habla, y diseño de motores .

Relación con la mecánica clásica.

Una partícula clásica tiene una posición y un momento definidos y, por tanto, está representada por un punto en el espacio de fases. Dada una colección ( conjunto ) de partículas, la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición en el espacio de fases está especificada por una distribución de probabilidad, la densidad de Liouville. Esta interpretación estricta falla para una partícula cuántica, debido al principio de incertidumbre . En cambio, la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner anterior desempeña un papel análogo, pero no satisface todas las propiedades de una distribución de probabilidad convencional; y, a la inversa, satisface propiedades de acotación que no están disponibles para las distribuciones clásicas.

Por ejemplo, la distribución de Wigner puede tomar, y normalmente toma, valores negativos para estados que no tienen un modelo clásico, y es un indicador conveniente de la interferencia mecánico-cuántica. (Consulte a continuación una caracterización de estados puros cuyas funciones de Wigner no son negativas). Suavizar la distribución de Wigner a través de un filtro de tamaño mayor que ħ (por ejemplo, convolucionando con una gaussiana de espacio de fase, una transformada de Weierstrass , para producir la representación de Husimi , más abajo), da como resultado una función semidefinida positiva, es decir, se puede pensar que se ha reducido a una función semiclásica. ^[a]

Se puede demostrar que las regiones de tal valor negativo (convolucionándolas con un gaussiano pequeño) son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidas por el principio de incertidumbre , que no permite una ubicación precisa dentro de regiones del espacio de fase más pequeñas que ħ , y por lo tanto hace que tales " probabilidades negativas " sean menos paradójicas.

Definición y significado

La distribución de Wigner W ( x , p ) de un estado puro se define como

${\displaystyle W(x,p)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$

donde ψ es la función de onda, y x y p son posición y momento, pero podría ser cualquier par de variables conjugadas (por ejemplo, partes real e imaginaria del campo eléctrico o frecuencia y tiempo de una señal). Tenga en cuenta que puede tener soporte en x incluso en regiones donde ψ no tiene soporte en x ("latidos").

Es simétrico en x y p :

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,}$

donde φ es la función de onda espacio-momento normalizada, proporcional a la transformada de Fourier de ψ .

En 3D,

${\displaystyle W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

En el caso general, que incluye estados mixtos, se trata de la transformada de Wigner de la matriz de densidad :

$${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$$

xψψ ( x )transformada de Weyldel espacio de Hilbertla cuantificación de Weyl

Por tanto, la función de Wigner es la piedra angular de la mecánica cuántica en el espacio de fases .

En 1949, José Enrique Moyal aclaró cómo la función de Wigner proporciona la medida de integración (análoga a una función de densidad de probabilidad ) en el espacio de fase, para producir valores esperados de funciones de número c en el espacio de fase g ( x ,  p ) asociadas de forma única a funciones de número c adecuadamente ordenadas. operadores Ĝ a través de la transformada de Weyl (ver Transformada de Wigner-Weyl y propiedad 7 a continuación), de una manera que evoca la teoría de probabilidad clásica .

Específicamente, el valor esperado Ĝ de un operador es un "promedio del espacio de fase" de la transformada de Wigner de ese operador:

$${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).}$$

Propiedades matemáticas

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner para diferentes estados propios de energía del oscilador armónico cuántico : a) n  = 0 (estado fundamental), b) n  = 1, c) n  = 5

1. W ( x ,  p ) es una función de valor real.

2. Las distribuciones de probabilidad x y p están dadas por los marginales :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se obtiene ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$Si el sistema puede describirse mediante un estado puro , se tiene ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).}$

Normalmente la traza de la matriz de densidad es igual a 1. ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

3. W ( x , p ) tiene las siguientes simetrías de reflexión:

• Simetría temporal: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).}$
• Simetría espacial: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) es covariante de Galilei :

${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).}$

No es covariante de Lorentz .

5. La ecuación de movimiento para cada punto en el espacio de fases es clásica en ausencia de fuerzas:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

De hecho, es clásico incluso en presencia de fuerzas armónicas.

6. La superposición de estados se calcula como

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. Los valores esperados del operador (promedios) se calculan como promedios del espacio de fase de las respectivas transformadas de Wigner:

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. Para que W ( x , p ) represente matrices de densidad física (positiva), debe satisfacer

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0}$

para todos los estados puros |θ⟩.

9. En virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , para un estado puro, está obligado a estar acotado:

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

Este límite desaparece en el límite clásico, ħ → 0. En este límite, W ( x ,  p ) se reduce a la densidad de probabilidad en el espacio de coordenadas x , generalmente altamente localizada, multiplicada por funciones δ en el momento: el límite clásico es "puntiagudo". ". Por tanto, este límite mecánico-cuántico excluye una función de Wigner que sea una función δ perfectamente localizada en el espacio de fases, como reflejo del principio de incertidumbre. ^[6]

10. La transformación de Wigner es simplemente la transformada de Fourier de las antidiagonales de la matriz de densidad, cuando esa matriz se expresa en función de la posición. ^[7]

Ejemplos

Sea el -ésimo estado de Fock de un oscilador armónico cuántico . Groenewold (1946) descubrió su función de Wigner asociada, en variables adimensionales: ${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},}$

donde denota el -ésimo polinomio de Laguerre . ${\displaystyle L_{m}(x)}$ ${\displaystyle m}$

Esto puede derivarse de la expresión de las funciones de onda de estado propio estáticas,

${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},}$

¿Dónde está el -ésimo polinomio de Hermite ? De la definición anterior de la función Wigner, ante un cambio de variables de integración, ${\displaystyle H_{m}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

La expresión se deriva entonces de la relación integral entre los polinomios de Hermite y Laguerre. ^[8]

Ecuación de evolución de la función Wigner

La transformación de Wigner es una transformación general invertible de un operador Ĝ en un espacio de Hilbert a una función g ( x ,  p ) en el espacio de fase y está dada por

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {s}{2}}\right\rangle .}$

Los operadores hermitianos se asignan a funciones reales. La inversa de esta transformación, del espacio de fases al espacio de Hilbert, se llama transformación de Weyl :

${\displaystyle \langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({\frac {x+y}{2}},p\right)}$

(no debe confundirse con la distinta transformación de Weyl en geometría diferencial ).

Por lo tanto, se considera que la función de Wigner W ( x , p ) analizada aquí es la transformada de Wigner del operador de matriz de densidad ρ̂ . Así, la traza de un operador con la matriz de densidad Wigner se transforma en la superposición integral de espacio de fase equivalente de g ( x ,  p ) con la función Wigner.

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann de la matriz de densidad en la imagen de Schrödinger es la ecuación de evolución de Moyal para la función de Wigner:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

donde H ( x , p ) es el hamiltoniano y {{⋅, ⋅}} es el paréntesis de Moyal . En el límite clásico, ħ → 0 , el soporte de Moyal se reduce al soporte de Poisson , mientras que esta ecuación de evolución se reduce a la ecuación de Liouville de la mecánica estadística clásica.

Formalmente, la ecuación clásica de Liouville se puede resolver en términos de las trayectorias de las partículas en el espacio de fases, que son soluciones de las ecuaciones clásicas de Hamilton. Esta técnica de resolución de ecuaciones diferenciales parciales se conoce como método de las características . Este método se traslada a los sistemas cuánticos, donde las "trayectorias" de las características ahora determinan la evolución de las funciones de Wigner. La solución de la ecuación de evolución de Moyal para la función de Wigner se representa formalmente como

${\displaystyle W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},}$

donde y son las trayectorias características sujetas a las ecuaciones cuánticas de Hamilton con condiciones iniciales y , y donde -la composición del producto se entiende para todas las funciones de argumento. ${\displaystyle x_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle p_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$ ${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$ ${\displaystyle \star }$

Dado que la composición de las funciones es completamente no local (el "fluido de probabilidad cuántica" se difunde, como observó Moyal), los vestigios de trayectorias locales en los sistemas cuánticos son apenas discernibles en la evolución de la función de distribución de Wigner. ^[b] En la representación integral de productos, las operaciones sucesivas realizadas por ellos se han adaptado a una integral de trayectoria del espacio de fase, para resolver la ecuación de evolución de la función de Wigner ^[9] (ver también ^{[10] [11] [12]} ). Esta característica no local de la evolución del tiempo de Moyal ^[13] se ilustra en la galería siguiente, para los hamiltonianos más complejos que el oscilador armónico. En el límite clásico, la naturaleza trayectorial de la evolución temporal de las funciones de Wigner se vuelve cada vez más distinta. En ħ  = 0, las trayectorias de las características se reducen a las trayectorias clásicas de las partículas en el espacio de fases. ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner

• Estado puro en potencial Morse . Las líneas discontinuas verdes representan el conjunto de niveles del hamiltoniano .
• Estado puro en potencial cuártico. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano.
• Túnel de un paquete de ondas a través de una barrera potencial. Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano.
• Evolución a largo plazo de un estado mixto ρ en un pozo de potencial anarmónico. Los marginales se trazan a la derecha ( p ) y arriba ( x ).
• 
  Un estado mixto de equilibrio ρ (evoluciona hacia sí mismo), en el mismo potencial anarmónico.

Evolución del tiempo del oscilador armónico

Sin embargo, en el caso especial del oscilador armónico cuántico , la evolución es simple y parece idéntica al movimiento clásico: una rotación rígida en el espacio de fase con una frecuencia dada por la frecuencia del oscilador. Esto se ilustra en la galería a continuación. Esta misma evolución temporal ocurre con los estados cuánticos de los modos de luz , que son osciladores armónicos.

Ejemplos de evoluciones temporales de la función Wigner en un oscilador armónico cuántico

• 
  Un estado coherente . ^[14]
• 
  Estado fundamental combinado y primer estado excitado. ^[14]
• 
  Un estado felino ; los marginales se trazan a la derecha ( p ) y debajo ( x ).

Límite clásico

La función de Wigner permite estudiar el límite clásico , ofreciendo una comparación de la dinámica clásica y cuántica en el espacio de fases. ^{[15] [16]}

Se ha sugerido que el enfoque de la función de Wigner puede verse como una analogía cuántica con la formulación operativa de la mecánica clásica introducida en 1932 por Bernard Koopman y John von Neumann : la evolución temporal de los enfoques de la función de Wigner, en el límite ħ  → 0, la evolución temporal de la función de onda de Koopman-von Neumann de una partícula clásica. ^[17]

Positividad de la función Wigner

Como ya se señaló, la función de Wigner del estado cuántico suele tomar algunos valores negativos. De hecho, para un estado puro en una variable, si para todos y , entonces la función de onda debe tener la forma ${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

para algunos números complejos con (teorema de Hudson ^[18] ). Tenga en cuenta que se permite que sea complejo, por lo que no es necesariamente un paquete de ondas gaussianas en el sentido habitual. Por tanto, los estados puros con funciones de Wigner no negativas no son necesariamente estados de incertidumbre mínima en el sentido de la fórmula de incertidumbre de Heisenberg ; más bien, dan igualdad en la fórmula de incertidumbre de Schrödinger , que incluye un término anticonmutador además del término conmutador. (Con una definición cuidadosa de las respectivas varianzas, todas las funciones de Wigner de estado puro conducen de todos modos a la desigualdad de Heisenberg). ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \psi }$

En dimensiones superiores, la caracterización de estados puros con funciones de Wigner no negativas es similar; la función de onda debe tener la forma

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},}$

donde es una matriz compleja simétrica cuya parte real es definida positiva, es un vector complejo y c es un número complejo. ^[19] La función de Wigner de cualquier estado de este tipo es una distribución gaussiana en el espacio de fase. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$

Soto y Claverie ^[19] dan una elegante prueba de esta caracterización, utilizando la transformada de Segal-Bargmann . El razonamiento es como sigue. La función Husimi Q de puede calcularse como la magnitud al cuadrado de la transformada de Segal-Bargmann de , multiplicada por una gaussiana. Mientras tanto, la función Husimi Q es la convolución de la función Wigner con una gaussiana. Si la función de Wigner no es negativa en todas partes del espacio de fases, entonces la función Husimi Q será estrictamente positiva en todas partes del espacio de fases. Por lo tanto, la transformada de Segal-Bargmann no será cero en ninguna parte. Así, según un resultado estándar de un análisis complejo, tenemos ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F(x+ip)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

para alguna función holomorfa . Pero para pertenecer al espacio de Segal-Bargmann —es decir, para ser integrable al cuadrado con respecto a una medida gaussiana— debe tener como máximo un crecimiento cuadrático en el infinito. A partir de esto, se puede utilizar el análisis complejo elemental para demostrar que en realidad debe ser un polinomio cuadrático. Así, obtenemos una forma explícita de la transformada de Segal-Bargmann de cualquier estado puro cuya función de Wigner sea no negativa. Luego podemos invertir la transformada de Segal-Bargmann para obtener la forma reivindicada de la función de onda de posición. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

No parece haber ninguna caracterización simple de estados mixtos con funciones de Wigner no negativas.

La función de Wigner en relación con otras interpretaciones de la mecánica cuántica

Se ha demostrado que la función de distribución de cuasiprobabilidad de Wigner puede considerarse como una deformación ħ de otra función de distribución del espacio de fases que describe un conjunto de trayectorias causales de De Broglie-Bohm . ^[20] Basil Hiley ha demostrado que la distribución de cuasi probabilidad puede entenderse como la matriz de densidad reexpresada en términos de una posición media y un momento de una "celda" en el espacio de fase, y la interpretación de De Broglie-Bohm permite describir la dinámica de los centros de tales "células". ^{[21] [22]}

Existe una estrecha conexión entre la descripción de estados cuánticos en términos de la función de Wigner y un método de reconstrucción de estados cuánticos en términos de bases mutuamente insesgadas . ^[23]

Usos de la función Wigner fuera de la mecánica cuántica

Un gráfico de contorno de la distribución de Wigner-Ville para un pulso de luz chirriado . La trama deja claro que la frecuencia es una función lineal del tiempo.

• En el modelado de sistemas ópticos como telescopios o dispositivos de telecomunicaciones de fibra, la función Wigner se utiliza para cerrar la brecha entre el simple trazado de rayos y el análisis de ondas completo del sistema. Aquí p / ħ se reemplaza por k = | k | pecado  θ ≈ | k | θ en la aproximación de ángulo pequeño (paraxial). En este contexto, la función de Wigner es lo más cercano que se puede llegar a describir el sistema en términos de rayos en la posición x y el ángulo θ sin dejar de incluir los efectos de la interferencia. ^[24] Si se vuelve negativo en algún punto, entonces el simple trazado de rayos no será suficiente para modelar el sistema. Es decir, los valores negativos de esta función son un síntoma del límite de Gabor de la señal luminosa clásica y no de características cuánticas de la luz asociadas con ħ .
• En el análisis de señales , una señal eléctrica, una vibración mecánica o una onda sonora que varían en el tiempo se representan mediante una función de Wigner . Aquí, x se reemplaza con el tiempo y p / ħ se reemplaza con la frecuencia angular ω = 2π f , donde f es la frecuencia regular.
• En óptica ultrarrápida , los pulsos láser cortos se caracterizan con la función Wigner utilizando las mismas sustituciones f y t que las anteriores. Los defectos del pulso como el chirrido (el cambio de frecuencia con el tiempo) se pueden visualizar con la función Wigner. Ver figura adyacente.
• En óptica cuántica, x y p / ħ se reemplazan por las cuadraturas X y P , las componentes real e imaginaria del campo eléctrico (ver estado coherente ).

Medidas de la función Wigner

• Tomografía cuántica
• Puerta óptica resuelta en frecuencia

Otras distribuciones de cuasiprobabilidad relacionadas

La distribución de Wigner fue la primera distribución de cuasiprobabilidad que se formuló, pero le siguieron muchas más, formalmente equivalentes y transformables hacia y desde ella (ver Transformación entre distribuciones en el análisis de tiempo-frecuencia ). Como en el caso de los sistemas de coordenadas, debido a sus diferentes propiedades, varios de ellos tienen diversas ventajas para aplicaciones específicas:

• Representación de Glauber P.
• Representación de Husimi Q

Sin embargo, en cierto sentido, la distribución de Wigner ocupa una posición privilegiada entre todas estas distribuciones, ya que es la única cuyo producto estrella requerido desaparece (se integra por partes hasta la unidad efectiva) en la evaluación de los valores esperados, como se ilustra arriba. , por lo que puede visualizarse como una medida de cuasi probabilidad análoga a las clásicas.

nota historica

Como se indicó, la fórmula para la función de Wigner se derivó de forma independiente varias veces en diferentes contextos. De hecho, aparentemente, Wigner no sabía que incluso en el contexto de la teoría cuántica, ésta había sido introducida previamente por Heisenberg y Dirac , ^{[25] [26]} aunque de manera puramente formal: estos dos pasaron por alto su significado, y el de sus valores negativos, ya que simplemente lo consideraban como una aproximación a la descripción cuántica completa de un sistema como el átomo. (Por cierto, Dirac se convertiría más tarde en cuñado de Wigner y se casaría con su hermana Manci .) De manera simétrica, en la mayor parte de su legendaria correspondencia de 18 meses con Moyal a mediados de la década de 1940, Dirac ignoraba que la función generadora de momentos cuánticos de Moyal era efectivamente la función Wigner, y fue Moyal quien finalmente le llamó la atención. ^[27]

Ver también

• grupo heisenberg
• Transformada de Wigner-Weyl
• Formulación del espacio de fases.
• soporte moyal
• Probabilidad negativa
• Teorema de equivalencia óptica
• Función de distribución de Wigner modificada
• Función de distribución de clases de Cohen
• Función de distribución de Wigner
• Transformación entre distribuciones en el análisis tiempo-frecuencia.
• Estado coherente exprimido
• Distribución bilineal tiempo-frecuencia
• Información cuántica variable continua

Notas a pie de página

1. Específicamente, dado que esta convolución es invertible, de hecho, no se ha sacrificado ninguna información y la entropía cuántica total aún no ha aumentado. Sin embargo, si esta distribución de Husimi resultante se utiliza luego como una medida simple en una evaluación integral del espacio de fase de los valores esperados sin el producto estrella requerido de la representación de Husimi , entonces, en esa etapa, la información cuántica se ha perdido y la distribución es una uno semiclásico , efectivamente. Es decir, dependiendo de su uso para evaluar los valores esperados, la misma distribución puede servir como función de distribución cuántica o clásica .
2. Las características cuánticas no deben confundirse con las trayectorias de la integral de trayectoria de Feynman ni con las trayectorias de la teoría de de Broglie-Bohm . Esta triple ambigüedad permite una mejor comprensión de la posición de Niels Bohr , que se opuso vigorosa pero contraproducentemente a la noción de trayectoria en la física atómica. En la Conferencia de Pocono de 1948, por ejemplo, le dijo a Richard Feynman : "... no se podía hablar de la trayectoria de un electrón en el átomo, porque era algo no observable". ("El ritmo de un tambor diferente: la vida y la ciencia de Richard Feynman", por Jagdish Mehra (Oxford, 1994, págs. 245-248)). Argumentos de este tipo fueron ampliamente utilizados en el pasado por Ernst Mach en su crítica de una teoría atómica de la física y más tarde, en la década de 1960, por Geoffrey Chew , Tullio Regge y otros para motivar la sustitución de la teoría cuántica local de campos por la matriz S. teoría. Hoy en día, la física estadística basada enteramente en conceptos atomísticos se incluye en los cursos estándar, la teoría de la matriz S pasó de moda, mientras que el método de trayectoria integral de Feynman ha sido reconocido como el método más eficiente en las teorías de calibre .

Referencias

1. EP Wigner (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico". Revisión física . 40 (5): 749–759. Código bibliográfico : 1932PhRv...40..749W. doi : 10.1103/PhysRev.40.749. hdl : 10338.dmlcz/141466 .
2. HJ Groenewold (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. H. Weyl (1927). "Quantenmechanik und gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1. Bibcode : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.; H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928); H. Weyl, La teoría de los grupos y la mecánica cuántica (Dover, Nueva York, 1931).
4. J. Ville, "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Câbles et Transmission , 2 , 61–74 (1948).
5. Moyal, JE (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (1). Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP): 99–124. Código Bib : 1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/s0305004100000487. ISSN  0305-0041. S2CID  124183640.
6. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.; C. Zachos , D. Fairlie y T. Curtright , Mecánica cuántica en el espacio de fases (World Scientific, Singapur, 2005). ISBN 978-981-238-384-6 . 
7. Hawkes, Peter W. (2018). Avances en Imágenes y Física Electrónica . Prensa académica. pag. 47.ISBN​ 9780128155424.
8. Schleich, Wolfgang P. (9 de febrero de 2001). Óptica cuántica en el espacio de fases (1ª ed.). Wiley. pag. 105. doi : 10.1002/3527602976. ISBN 978-3-527-29435-0.
9. B. Hoja (1968). "Transformada de Weyl en dinámica cuántica no relativista". Revista de Física Matemática . 9 (5): 769–781. Código bibliográfico : 1968JMP......9..769L. doi :10.1063/1.1664640.
10. P. Sharan (1979). "Representación de producto estrella de integrales de ruta". Revisión física D. 20 (2): 414–418. Código bibliográfico : 1979PhRvD..20..414S. doi : 10.1103/PhysRevD.20.414.
11. MS Marinov (1991). "Un nuevo tipo de integral de trayectoria espacio-fase". Letras de Física A. 153 (1): 5-11. Código bibliográfico : 1991PhLA..153....5M. doi :10.1016/0375-9601(91)90352-9.
12. B. Segev: Núcleos de evolución para distribuciones de espacio de fase . En: MA Olshanetsky; Arkady Vainshtein (2002). Múltiples facetas de cuantificación y supersimetría: volumen conmemorativo de Michael Marinov. Científico mundial. págs. 68–90. ISBN 978-981-238-072-2. Consultado el 26 de octubre de 2012 .Consulte especialmente la sección 5. "Integral de ruta para el propagador" en las páginas 86–89. También en línea.
13. M. Oliva, D. Kakofengitis y O. Steuernagel (2018). "Los sistemas de mecánica cuántica anarmónica no presentan trayectorias en el espacio de fases". Física A. 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Código Bib : 2018PhyA..502..201O. doi :10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Curtright, TL, Funciones de Wigner dependientes del tiempo.
15. Véase, por ejemplo: Wojciech H. Zurek , La decoherencia y la transición de lo cuántico a lo clásico: revisitado , Los Alamos Science, 27, 2002, arXiv:quant-ph/0306072, págs. 15 y siguientes.
16. Véase, por ejemplo: C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright, Mecánica cuántica en el espacio de fases: una descripción general con artículos seleccionados , World Scientific, 2005. ISBN 978-981-4520-43-0 . 
17. Bondar, Denys I.; Cabrera, Renán; Zhdanov, Dmitry V.; Rabitz, Herschel A. (2013). "Distribución del espacio de fases de Wigner como función de onda". Revisión física A. 88 (5): 052108. arXiv : 1202.3628 . doi : 10.1103/PhysRevA.88.052108. ISSN  1050-2947. S2CID  119155284.
18. Hudson, Robin L. (1974). "¿Cuándo la densidad de cuasi probabilidad de Wigner no es negativa?". Informes de Física Matemática . 6 (2): 249–252. Código Bib : 1974RpMP....6..249H. doi :10.1016/0034-4877(74)90007-X.
19. F. Soto y P. Claverie, "¿Cuándo la función Wigner de los sistemas multidimensionales no es negativa?", Journal of Mathematical Physics 24 (1983) 97-100.
20. Días, Nuno Costa; Prata, João Nuno (2002). "Trayectorias de Bohemia y distribuciones espaciales de fases cuánticas". Letras de Física A. 302 (5–6): 261–272. arXiv : quant-ph/0208156v1 . Código bibliográfico : 2002PhLA..302..261D. doi :10.1016/s0375-9601(02)01175-1. ISSN  0375-9601. S2CID  39936409.
21. BJ Hiley: Descripciones del espacio de fases de los fenómenos cuánticos , en: A. Khrennikov (ed.): Teoría cuántica: reconsideración de los fundamentos–2 , págs. 267–286, Växjö University Press, Suecia, 2003 (PDF).
22. B. Hiley: función característica de Moyal, la matriz de densidad y el idempotente de von Neumann (preimpresión).
23. FC Khanna, PA Mello, M. Revzen, Reconstrucción de estados mecánicos clásicos y cuánticos, arXiv:1112.3164v1 [quant-ph] (presentado el 14 de diciembre de 2011).
24. Bazarov, Ivan V. (3 de mayo de 2012). "Representación de la radiación de sincrotrón en el espacio de fases". Temas especiales de revisión física: aceleradores y haces . 15 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 050703. arXiv : 1112.4047 . Código Bib : 2012PhRvS..15e0703B. doi : 10.1103/physrevstab.15.050703 . ISSN  1098-4402. S2CID  53489256.
25. W. Heisenberg (1931). "Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen". Physikalische Zeitschrift . 32 : 737–740.
26. Dirac, PAM (1930). "Nota sobre los fenómenos de intercambio en Thomas Atom". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 26 (3). Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP): 376–385. Código Bib : 1930PCPS...26..376D. doi : 10.1017/s0305004100016108 . ISSN  0305-0041. S2CID  97185766.
27. Ann Moyal, (2006), "Maverick Maverick: La vida y la ciencia de JE Moyal", ANU E-press, 2006, ISBN 1-920942-59-9 . 

Otras lecturas

• M. Levanda y V. Fleurov, "Función de cuasi distribución de Wigner para partículas cargadas en campos electromagnéticos clásicos", Annals of Physics , 292 , 199-231 (2001). arXiv : cond-mat/0105137.

enlaces externos

• Wigner Implementación de la función Wigner en QuTiP.
• Galería de Óptica Cuántica.
• Software gratuito Sonogram Visible Speech con licencia GPL para la distribución cuasiprobabilística de archivos de señales de Wigner.