Estado coherente exprimido

Tipo de estado cuántico

En física , un estado coherente comprimido es un estado cuántico que generalmente se describe mediante dos observables que no conmutan y que tienen espectros continuos de valores propios . Algunos ejemplos son la posición y el momento de una partícula y el campo eléctrico (adimensional) en la amplitud (fase 0) y en el modo (fase 90°) de una onda luminosa (las cuadraturas de la onda ). El producto de las desviaciones estándar de dos de estos operadores obedece al principio de incertidumbre : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;}$ y , respectivamente. ${\displaystyle \;\Delta X\Delta Y\geq {\frac {1}{4}}}$

Distribución del espacio de fases de Wigner de un estado de luz comprimido con ζ = 0,5.

Ejemplos triviales, que de hecho no están exprimidos, son el estado fundamental del oscilador armónico cuántico y la familia de estados coherentes . Estos estados saturan la incertidumbre anterior y tienen una distribución simétrica de las incertidumbres del operador en "unidades de oscilador natural" y . (En la literatura se utilizan diferentes normalizaciones para las amplitudes de cuadratura. Aquí usamos la normalización para la cual la suma de las varianzas del estado fundamental de las amplitudes de cuadratura proporciona directamente el número cuántico de punto cero ). ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \Delta x_{g}=\Delta p_{g}}$ ${\displaystyle \Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}X_{g}+\Delta ^{2}Y_{g}=1/2}$

El término estado comprimido se utiliza en realidad para estados con una desviación estándar inferior a la del estado fundamental para uno de los operadores o para una combinación lineal de los dos. La idea detrás de esto es que el círculo que denota la incertidumbre de un estado coherente en el espacio de fase en cuadratura (ver a la derecha) ha sido "comprimido" a una elipse de la misma área. ^{[1] [2] [3]} Tenga en cuenta que un estado comprimido no necesita saturar el principio de incertidumbre.

Los estados de luz comprimidos se produjeron por primera vez a mediados de los años 1980. ^{[4] [5]} En ese momento, se logró reducir el ruido cuántico en una variación de hasta un factor de aproximadamente 2 (3 dB), es decir . A partir de 2017, se han observado directamente factores de compresión superiores a 10 (10 dB). ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2}$

Definición matemática

Función de onda de posición animada de un estado coherente con amplitud comprimida de 2 dB de α=3.

La función de onda más general que satisface la identidad anterior es el estado coherente comprimido (trabajamos en unidades con ) ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle \psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)}$

donde están las constantes (una constante de normalización, el centro del paquete de ondas , su ancho y el valor esperado de su impulso ). La nueva característica relativa a un estado coherente es el valor libre del ancho , razón por la cual el estado se llama "comprimido". ${\displaystyle C,x_{0},w_{0},p_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}}$

El estado comprimido anterior es un estado propio de un operador lineal.

${\displaystyle {\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2}}$

y el valor propio correspondiente es igual a . En este sentido, es una generalización tanto del estado fundamental como del estado coherente. ${\displaystyle x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}}$

Representación del operador

La forma general de un estado coherente comprimido para un oscilador armónico cuántico viene dada por

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }$

donde es el estado de vacío , es el operador de desplazamiento y es el operador de compresión , dado por ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle S(\zeta )}$

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}}$

donde y son operadores de aniquilación y creación, respectivamente. Para un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular , estos operadores vienen dados por ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)}$

Para un , (tenga en cuenta que , ^[9] donde r es el parámetro de compresión), ^{[ se necesita aclaración ]} la incertidumbre en y está dada por ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta =re^{2i\phi }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad (\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }}$

Por lo tanto, un estado coherente comprimido satura el principio de incertidumbre de Heisenberg , con una incertidumbre reducida en uno de sus componentes de cuadratura y una incertidumbre aumentada en el otro. ${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$

Algunos valores esperados para estados coherentes comprimidos son

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}cosh^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }sinh^{2}(r)-(1+2{|\alpha |}^{2})e^{i\theta }cosh(r)sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}cosh^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})sinh^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })cosh(r)sinh(r)}$

La forma general de un estado comprimido desplazado para un oscilador armónico cuántico viene dada por

${\displaystyle |\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }$

Algunos valores esperados para el estado desplazado y exprimido son

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }cosh(r)sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+sinh^{2}(r)}$

Dado que y no conmutan entre sí, ${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}$ ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$

${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )}$

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle }$

donde , con ^[10] ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$

Ejemplos

Dependiendo del ángulo de fase en el que se reduce el ancho del estado, se pueden distinguir estados de amplitud comprimida, de fase comprimida y de cuadratura general. Si el operador de compresión se aplica directamente al vacío, en lugar de a un estado coherente, el resultado se denomina vacío comprimido. Las figuras siguientes ^{[ se necesita aclaración ]} ofrecen una bonita demostración visual de la estrecha conexión entre los estados comprimidos y la relación de incertidumbre de Heisenberg : la disminución del ruido cuántico en una cuadratura (fase) específica de la onda tiene como consecuencia directa un aumento del ruido. de la cuadratura complementaria , es decir, el campo en la fase desplazada por ^{[ aclaración necesaria ]} . ${\displaystyle \tau /4}$

Los diferentes estados comprimidos de la luz láser en el vacío dependen de la fase del campo luminoso. ^[11] Imágenes desde arriba: (1) Estado de vacío, (2) Estado de vacío comprimido, (3) Estado de fase comprimida (4) Estado de compresión arbitraria (5) Estado de amplitud comprimida

Como se puede ver en las ilustraciones, a diferencia de un estado coherente , el ruido cuántico en un estado comprimido ya no es independiente de la fase de la onda luminosa . Se puede observar una ampliación y reducción características del ruido durante un período de oscilación. La distribución de probabilidad de un estado comprimido se define como la norma al cuadrado de la función de onda mencionada en el último párrafo. Corresponde al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico (y magnético) de una onda luminosa clásica. Los paquetes de ondas en movimiento muestran un movimiento oscilatorio combinado con un ensanchamiento y estrechamiento de su distribución: la "respiración" del paquete de ondas. Para un estado de amplitud reducida, la distribución más estrecha del paquete de ondas se alcanza en el máximo del campo, lo que da como resultado una amplitud que se define con mayor precisión que la de un estado coherente. Para un estado de fase comprimida, la distribución más estrecha se alcanza en el campo cero, lo que da como resultado un valor de fase promedio que está mejor definido que el de un estado coherente.

En el espacio de fases, las incertidumbres de la mecánica cuántica se pueden representar mediante la distribución de cuasi probabilidad de Wigner . La intensidad de la onda luminosa, su excitación coherente, viene dada por el desplazamiento de la distribución de Wigner desde el origen. Un cambio en la fase de la cuadratura comprimida da como resultado una rotación de la distribución.

Distribuciones de números de fotones y distribuciones de fase.

El ángulo de compresión, es decir, la fase con mínimo ruido cuántico, tiene una gran influencia en la distribución del número de fotones de la onda luminosa y también en su distribución de fases .

Para la luz de amplitud reducida, la distribución del número de fotones suele ser más estrecha que la de un estado coherente de la misma amplitud, lo que da como resultado una luz subpoissoniana , mientras que su distribución de fase es más amplia. Lo contrario ocurre con la luz de fase comprimida, que muestra un ruido de gran intensidad (número de fotones) pero una distribución de fase estrecha. Sin embargo, las estadísticas de amplitud comprimida de la luz no se observaron directamente con el detector de resolución del número de fotones debido a dificultades experimentales. ^[13]

Distribuciones de números de fotones teóricas y reconstruidas para un estado de vacío comprimido. Un estado de vacío puro y comprimido no tendría ninguna contribución de los estados con números impares de fotones. La contribución distinta de cero en la figura anterior se debe a que el estado detectado no es un estado puro: las pérdidas en la configuración convierten el vacío puro comprimido en un estado mixto. ^[12] (fuente: enlace 1)

Para el estado de vacío comprimido, la distribución del número de fotones muestra oscilaciones pares e impares. Esto puede explicarse por la forma matemática del operador de compresión , que se asemeja al operador de los procesos de generación y aniquilación de dos fotones . Es más probable que los fotones en un estado de vacío comprimido aparezcan en pares.

Clasificación

Según el número de modos.

Los estados comprimidos de la luz se clasifican ampliamente en estados comprimidos monomodo y estados comprimidos de dos modos, ^[14] dependiendo del número de modos del campo electromagnético involucrados en el proceso. Estudios recientes han analizado estados comprimidos multimodo que también muestran correlaciones cuánticas entre más de dos modos.

Estados comprimidos monomodo

Los estados comprimidos monomodo, como sugiere el nombre, consisten en un modo único del campo electromagnético cuya cuadratura tiene fluctuaciones por debajo del nivel de ruido del disparo ^{[ se necesita aclaración ]} y la cuadratura ortogonal tiene un exceso de ruido. Específicamente, un estado de vacío comprimido monomodo (SMSV) se puede representar matemáticamente como,

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle =S(\zeta )|0\rangle }$

donde el operador de compresión S es el mismo que el introducido en la sección sobre representaciones de operadores anterior. En la base del número de fotones, escribir esto se puede ampliar como, ${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{SMSV}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\cosh r}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}{\frac {\sqrt {(2n)!}}{2^{n}n!}}|2n\rangle }$

lo que muestra explícitamente que el SMSV puro consiste enteramente en superposiciones de estados de Fock de fotones pares . Los estados comprimidos monomodo generalmente se generan mediante oscilación paramétrica degenerada en un oscilador paramétrico óptico, ^[15] o mediante mezcla de cuatro ondas. ^[4]

Estados comprimidos de dos modos

La compresión de dos modos implica dos modos del campo electromagnético que exhiben una reducción de ruido cuántico por debajo del nivel de ruido de disparo ^{[ se necesita aclaración ]} en una combinación lineal de las cuadraturas de los dos campos. Por ejemplo, el campo producido por un oscilador paramétrico no degenerado por encima del umbral muestra una compresión en la cuadratura de diferencia de amplitud. La primera demostración experimental de compresión de dos modos en óptica fue realizada por Heidmann et al. . ^[16] Más recientemente, se generó compresión de dos modos en un chip utilizando un OPO de mezcla de cuatro ondas por encima del umbral. ^[17] La ​​compresión de dos modos a menudo se considera un precursor del entrelazamiento de variables continuas y, por lo tanto, una demostración de la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en su formulación original en términos de posición continua y momento observables. ^{[18] [19]} Un estado de vacío comprimido de dos modos (TMSV) se puede representar matemáticamente como,

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle =S_{2}(\zeta )|0,0\rangle =\exp(\zeta ^{*}{\hat {a}}{\hat {b}}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger })|0,0\rangle }$,

y, anotando , en la base del número de fotones como, ^[20] ${\displaystyle \zeta =re^{i\phi }}$

${\displaystyle |{\text{TMSV}}\rangle ={\frac {1}{\cosh r}}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{i\phi }\tanh r)^{n}|nn\rangle }$

Si los modos individuales de un TMSV se consideran por separado (es decir, ), entonces rastrear o absorber uno de los modos deja el modo restante en un estado térmico. ${\displaystyle |nn\rangle =|n\rangle _{1}|n\rangle _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}&=\mathrm {Tr} _{2}[|\mathrm {TMSV} \rangle \langle \mathrm {TMSV} |]\\&={\frac {1}{\cosh ^{2}(r)}}\sum _{n=0}^{\infty }\tanh ^{2n}(r)|n\rangle \langle n|,\end{aligned}}}$

con un número medio efectivo de fotones . ${\displaystyle {\widetilde {n}}=\sinh ^{2}(r)}$

Basado en la presencia de un campo medio.

Los estados comprimidos de luz se pueden dividir en vacío comprimido y luz brillante comprimido, dependiendo de la ausencia o presencia de un campo medio distinto de cero (también llamado portador), respectivamente. Un oscilador óptico paramétrico operado por debajo del umbral produce un vacío comprimido, mientras que el mismo OPO operado por encima del umbral produce una luz comprimida brillante. La luz brillante comprimida puede ser ventajosa para ciertas aplicaciones de procesamiento de información cuántica, ya que evita la necesidad de enviar un oscilador local para proporcionar una referencia de fase, mientras que el vacío comprimido se considera más adecuado para aplicaciones de detección cuántica mejorada. Los detectores de ondas gravitacionales AdLIGO y GEO600 utilizan vacío comprimido para lograr una sensibilidad mejorada más allá del límite cuántico estándar. ^{[21] [22]}

Exprimir el giro atómico

Para comprimir conjuntos de átomos neutros de dos niveles, es útil considerar los átomos como partículas de espín 1/2 con los correspondientes operadores de momento angular definidos como

${\displaystyle J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}}$

donde y es el operador de un solo giro en la dirección -. Aquí corresponderá la diferencia de población en el sistema de dos niveles, es decir, para una superposición igual del estado arriba y abajo . El plano − representa la diferencia de fase entre los dos estados. Esto también se conoce como imagen de la esfera de Bloch . Luego podemos definir relaciones de incertidumbre como . Para un estado coherente (desenredado), . Aquí se considera compresión como la redistribución de la incertidumbre de una variable (típicamente ) a otra (típicamente ). Si consideramos un estado que apunta en la dirección, podemos definir el criterio de Wineland ^[23] para exprimir, o la mejora metrológica del estado exprimido como ${\displaystyle v={x,y,z}}$ ${\displaystyle j_{v}^{(i)}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}=0}$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2}$ ${\displaystyle \Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}}$

${\displaystyle \chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}}$.

Este criterio tiene dos factores, el primer factor es la reducción del ruido de espín, es decir, cuánto se reduce el ruido cuántico en relación con el estado coherente (desenredado). El segundo factor es cuánto se reduce la coherencia (la longitud del vector de Bloch, ) debido al procedimiento de compresión. En conjunto, estas cantidades indican cuánta mejora metrológica proporciona el procedimiento de compresión. En este caso, la mejora metrológica es la reducción del tiempo promedio o del número de átomos necesarios para realizar una medición de una incertidumbre específica. 20 dB de mejora metrológica significan que se puede realizar la misma medición de precisión con 100 veces menos átomos o un tiempo promedio 100 veces más corto. ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \left|J_{x}\right|}$

Realizaciones experimentales

Ha habido toda una variedad de manifestaciones exitosas de estados exprimidos. Las primeras demostraciones fueron experimentos con campos de luz utilizando láseres y ópticas no lineales (ver oscilador óptico paramétrico ). Esto se logra mediante un simple proceso de mezcla de cuatro ondas con un cristal; De manera similar, los amplificadores sensibles a la fase de ondas viajeras generan estados de luz espacialmente multimodo comprimidos en cuadratura cuando el cristal se bombea en ausencia de cualquier señal. Las fuentes de corriente subpoissonianas que accionan diodos láser semiconductores han dado lugar a luz con amplitud reducida. ^[24] ${\displaystyle \chi ^{(3)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(2)}}$

Los estados comprimidos también se han realizado mediante estados de movimiento de un ion en una trampa, estados de fonones en redes cristalinas y estados de espín en conjuntos de átomos neutros . ^{[25] [26]} Se ha avanzado mucho en la creación y observación de estados de espín comprimido en conjuntos de átomos e iones neutros, que pueden usarse para mejorar las mediciones de tiempo, aceleraciones, campos y el estado actual del arte para la mejora de la medición ^{[ se necesita aclaración ]} es de 20 dB. ^{[27] [28] [29] [30]} La generación de estados de espín comprimido se ha demostrado utilizando tanto la evolución coherente de un estado de espín coherente como mediciones proyectivas que preservan la coherencia. Incluso los osciladores macroscópicos fueron llevados a estados de movimiento clásicos que eran muy similares a estados coherentes comprimidos. El estado actual del arte en supresión de ruido, para radiación láser usando luz comprimida, asciende a 15 dB (a partir de 2016), ^{[31] [7],} lo que rompió el récord anterior de 12,7 dB (2010). ^[32]

Aplicaciones

Los estados comprimidos del campo luminoso se pueden utilizar para mejorar las mediciones de precisión. Por ejemplo, la luz de fase comprimida puede mejorar la lectura de fase de las mediciones interferométricas (ver, por ejemplo, ondas gravitacionales ). La luz de amplitud reducida puede mejorar la lectura de señales espectroscópicas muy débiles . ^[33]

Los estados de los átomos comprimidos por espín se pueden utilizar para mejorar la precisión de los relojes atómicos . ^{[34] [35]} Este es un problema importante en los relojes atómicos y otros sensores que utilizan pequeños conjuntos de átomos fríos donde el ruido de proyección cuántica representa una limitación fundamental para la precisión del sensor. ^[36]

Varios estados coherentes comprimidos, generalizados al caso de muchos grados de libertad , se utilizan en diversos cálculos de la teoría cuántica de campos , por ejemplo el efecto de Unruh y la radiación de Hawking y, en general, la producción de partículas en fondos curvos y las transformaciones de Bogoliubov .

Recientemente, el uso de estados comprimidos para el procesamiento de información cuántica en el régimen de variables continuas (CV) ha aumentado rápidamente. ^[37] La ​​óptica cuántica variable continua utiliza la compresión de la luz como un recurso esencial para realizar protocolos CV para comunicación cuántica, teletransportación cuántica incondicional y computación cuántica unidireccional. ^{[38] [39]} Esto contrasta con el procesamiento de información cuántica con fotones individuales o pares de fotones como qubits. El procesamiento de información cuántica CV depende en gran medida del hecho de que la compresión está íntimamente relacionada con el entrelazamiento cuántico, ya que las cuadraturas de un estado comprimido exhiben correlaciones cuánticas sub-ruido ^{[ se necesita aclaración ] .}

Ver también

• Energía negativa
• Luz no clásica
• Espacio de fase óptica
• Óptica cuántica
• Operador de compresión

Referencias

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enlaces externos

• Tutorial sobre óptica cuántica del campo luminoso.