Transformada de Wigner-Weyl

Mapeo entre funciones en el espacio de fases cuánticas

En mecánica cuántica , la transformada de Wigner-Weyl o transformada de Weyl-Wigner (en honor a Hermann Weyl y Eugene Wigner ) es la función invertible entre funciones en la formulación del espacio de fases cuántico y los operadores del espacio de Hilbert en la imagen de Schrödinger .

A menudo, la aplicación de funciones en el espacio de fases a operadores se denomina transformada de Weyl o cuantificación de Weyl , mientras que la aplicación inversa, de operadores a funciones en el espacio de fases, se denomina transformada de Wigner . Esta aplicación fue ideada originalmente por Hermann Weyl en 1927 en un intento de asignar funciones simetrizadas del espacio de fases clásico a operadores, un procedimiento conocido como cuantificación de Weyl . ^[1] Ahora se entiende que la cuantificación de Weyl no satisface todas las propiedades que uno requeriría para una cuantificación consistente y, por lo tanto, a veces produce respuestas no físicas. Por otro lado, algunas de las bonitas propiedades descritas a continuación sugieren que si uno busca un único procedimiento consistente que asigne funciones en el espacio de fases clásico a operadores, la cuantificación de Weyl es la mejor opción: una especie de coordenadas normales de tales aplicaciones. ( El teorema de Groenewold afirma que ninguna de esas aplicaciones puede tener todas las propiedades ideales que uno desearía).

En cualquier caso, la transformada de Weyl-Wigner es una transformada integral bien definida entre las representaciones del espacio de fases y del operador, y proporciona información sobre el funcionamiento de la mecánica cuántica. Lo que es más importante, la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner es la transformada de Wigner de la matriz de densidad cuántica y, a la inversa, la matriz de densidad es la transformada de Weyl de la función de Wigner.

En contraste con las intenciones originales de Weyl de buscar un esquema de cuantificación consistente, este mapa simplemente equivale a un cambio de representación dentro de la mecánica cuántica; no necesita conectar cantidades "clásicas" con "cuánticas". Por ejemplo, la función del espacio de fases puede depender explícitamente de la constante de Planck reducida ħ , como lo hace en algunos casos familiares que involucran el momento angular. Este cambio de representación invertible permite entonces expresar la mecánica cuántica en el espacio de fases , como lo apreciaron en la década de 1940 Hilbrand J. Groenewold ^[2] y José Enrique Moyal . ^{[3] [4]}

En términos más generales, la cuantificación de Weyl se estudia en casos en los que el espacio de fases es una variedad simpléctica o, posiblemente, una variedad de Poisson . Las estructuras relacionadas incluyen los grupos de Poisson-Lie y las álgebras de Kac-Moody .

Definición de la cuantificación de Weyl de un observable general

A continuación se explica la transformación de Weyl en el espacio de fases euclidiano bidimensional más simple. Sean (q,p) las coordenadas en el espacio de fases y sea f una función definida en todas partes en el espacio de fases. A continuación, fijamos los operadores P y Q que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas , como los operadores de posición y momento habituales en la representación de Schrödinger. Suponemos que los operadores exponenciados y constituyen una representación irreducible de las relaciones de Weyl , de modo que se cumple el teorema de Stone–von Neumann (que garantiza la unicidad de las relaciones de conmutación canónicas). ${\displaystyle e^{iaQ}}$ ${\displaystyle e^{ibP}}$

Fórmula básica

La transformada de Weyl (o cuantificación de Weyl ) de la función f está dada por el siguiente operador en el espacio de Hilbert, ^{[5] [6]}

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.}$

En todo momento, ħ es la constante de Planck reducida .

Es instructivo realizar primero las integrales p y q en la fórmula anterior, lo que tiene el efecto de calcular la transformada de Fourier ordinaria de la función f , dejando el operador . En ese caso, la transformada de Weyl se puede escribir como ^[7] ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle e^{i(aQ+bP)}}$

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db}$.

Por lo tanto, podemos pensar en el mapa de Weyl de la siguiente manera: tomamos la transformada de Fourier ordinaria de la función , pero luego, al aplicar la fórmula de inversión de Fourier, sustituimos los operadores cuánticos y por las variables clásicas originales p y q , obteniendo así una "versión cuántica de f ". ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Una forma menos simétrica, pero útil para aplicaciones, es la siguiente:

${\displaystyle \Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.}$

En la representación de la posición

El mapa de Weyl también puede expresarse en términos de los elementos de la matriz del núcleo integral de este operador, ^[8]

${\displaystyle \langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).}$

Mapa inverso

La inversa del mapa de Weyl anterior es el mapa de Wigner (o transformada de Wigner ), que fue introducido por Eugene Wigner, ^[9] que lleva al operador Φ de regreso a la función kernel del espacio de fase original f ,

${\displaystyle f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .}$

Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador de distribución térmica del oscilador es ^[6] ${\displaystyle \exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)}$

${\displaystyle \exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).}$

Si se reemplaza en la expresión anterior con un operador arbitrario, la función resultante f puede depender de la constante de Planck reducida ħ , y puede describir bien los procesos mecánico-cuánticos, siempre que esté compuesta adecuadamente a través del producto estrella , a continuación. ^[10] A su vez, el mapa de Weyl del mapa de Wigner se resume mediante la fórmula de Groenewold , ^[6] ${\displaystyle \Phi [f]}$

${\displaystyle \Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).}$

Cuantización de Weyl de observables polinómicos

Si bien las fórmulas anteriores brindan una buena comprensión de la cuantificación de Weyl de un observable muy general en el espacio de fases, no son muy convenientes para realizar cálculos sobre observables simples, como aquellos que son polinomios en y . En secciones posteriores, veremos que en tales polinomios, la cuantificación de Weyl representa el orden totalmente simétrico de los operadores no conmutativos y . Por ejemplo, el mapa de Wigner del operador cuántico de momento angular al cuadrado L ² no es solo el momento angular clásico al cuadrado, sino que además contiene un término de desplazamiento −3 ħ ² /2 , que explica el momento angular no nulo de la órbita de Bohr del estado fundamental . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Propiedades

Cuantización de Weyl de polinomios

La acción de la cuantificación de Weyl sobre las funciones polinómicas de y está completamente determinada por la siguiente fórmula simétrica: ^[11] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}}$

para todos los números complejos y . A partir de esta fórmula, no es difícil demostrar que la cuantificación de Weyl sobre una función de la forma da el promedio de todos los ordenamientos posibles de factores de y factores de : donde , y es el conjunto de permutaciones sobre N elementos . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q^{k}p^{l}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\xi _{k_{j}}~~\longmapsto ~~{\frac {1}{N!}}\sum _{\sigma \in S_{N}}\prod _{j=1}^{N}\Xi _{k_{\sigma (j)}}}$$ ${\displaystyle \xi _{j}=q_{j},\xi _{n+j}=p_{j}}$ ${\displaystyle S_{N}}$

Por ejemplo, tenemos

${\displaystyle 6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.}$

Si bien este resultado es conceptualmente natural, no es conveniente para los cálculos cuando y son grandes. En tales casos, podemos utilizar en su lugar la fórmula de McCoy ^[12] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.}$

Esta expresión da una respuesta aparentemente diferente para el caso de de la expresión totalmente simétrica anterior. Sin embargo, no hay contradicción, ya que las relaciones de conmutación canónicas permiten más de una expresión para el mismo operador. (El lector puede encontrar instructivo utilizar las relaciones de conmutación para reescribir la fórmula totalmente simétrica para el caso de en términos de los operadores , , y y verificar la primera expresión en la fórmula de McCoy con .) ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}q^{2}}$ ${\displaystyle P^{2}Q^{2}}$ ${\displaystyle QP^{2}Q}$ ${\displaystyle Q^{2}P^{2}}$ ${\displaystyle m=n=2}$

Se cree ampliamente que la cuantificación de Weyl, entre todos los esquemas de cuantificación, se acerca lo más posible a mapear el corchete de Poisson en el lado clásico al conmutador en el lado cuántico. (Una correspondencia exacta es imposible, a la luz del teorema de Groenewold ). Por ejemplo, Moyal demostró que

Teorema : Si es un polinomio de grado como máximo 2 y es un polinomio arbitrario, entonces tenemos . ${\displaystyle f(q,p)}$ ${\displaystyle g(q,p)}$ ${\displaystyle \Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]}$

Cuantización de Weyl de funciones generales

• Si f es una función de valor real , entonces su imagen del mapa de Weyl Φ [ f ] es autoadjunta .
• Si f es un elemento del espacio de Schwartz , entonces Φ [ f ] es de clase traza .
• De manera más general, Φ [ f ] es un operador ilimitado densamente definido .
• La función Φ [ f ] es biunívoca en el espacio de Schwartz (como un subespacio de las funciones integrables al cuadrado).

Véase también

• Relación de conmutación canónica
• Cuantización de la deformación
• Grupo de Heisenberg
• Soporte Moyal
• Álgebra de Weyl
• Functor
• Operador pseudodiferencial
• Distribución de cuasi-probabilidad de Wigner
• Teorema de Stone-von Neumann
• Formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica
• Fórmula de cuantificación de Kontsevich
• Transformada de Gabor-Wigner
• Representación del oscilador

Referencias

1. Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Código Bib : 1927ZPhy...46....1W. doi :10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.
2. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7): 405–446. Bibcode :1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. Moyal, JE; Bartlett, MS (1949). "La mecánica cuántica como teoría estadística". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 45 (1): 99–124. Bibcode :1949PCPS...45...99M. doi :10.1017/S0305004100000487. S2CID  124183640.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). "Mecánica cuántica en el espacio de fases". Boletín de Física de Asia Pacífico . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi :10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
5. Folland, G. (1989). Análisis armónico en el espacio de fases . Anales de estudios matemáticos. Vol. 122. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08528-9.
6. Curtright, TL; Fairlie, DB; Zachos, CK (2014). Un tratado conciso sobre mecánica cuántica en el espacio de fases (PDF) . World Scientific . ISBN 9789814520430.
7. Hall 2013 Sección 13.3
8. Hall 2013 Definición 13.7
9. Wigner, E. (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico". Physical Review . 40 (5): 749–759. doi :10.1103/PhysRev.40.749.
10. Kubo, R. (1964). "Representación de Wigner de operadores cuánticos y sus aplicaciones a electrones en un campo magnético". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 19 (11): 2127–2139. Código Bibliográfico :1964JPSJ...19.2127K. doi :10.1143/JPSJ.19.2127.
11. Proposición 13.3 de Hall 2013
12. McCoy, Neal (1932). "Sobre la función en mecánica cuántica que corresponde a una función dada en mecánica clásica", Proc Nat Acad Sci USA 19 674, en línea .

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158

Lectura adicional

• Case, William B. (octubre de 2008). "Funciones de Wigner y transformadas de Weyl para peatones". American Journal of Physics . 76 (10): 937–946. Bibcode :2008AmJPh..76..937C. doi :10.1119/1.2957889.(Las secciones I a IV de este artículo proporcionan una descripción general de la transformada de Wigner-Weyl , la distribución de cuasiprobabilidad de Wigner , la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica y el ejemplo del oscilador armónico cuántico ).
• "Cuantización de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Notas de Terence Tao de 2012 sobre el ordenamiento de Weyl