Cuantización canónica

Proceso de conversión de una teoría física clásica en una compatible con la mecánica cuántica

En física , la cuantificación canónica es un procedimiento para cuantificar una teoría clásica , intentando preservar la estructura formal, como las simetrías , de la teoría clásica en la mayor medida posible.

Históricamente, esta no fue exactamente la ruta de Werner Heisenberg para obtener la mecánica cuántica , pero Paul Dirac la introdujo en su tesis doctoral de 1926, el "método de analogía clásica" para la cuantificación, ^[1] y la detalló en su texto clásico Principios de la mecánica cuántica . ^[2] La palabra canónico surge del enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica, en el que la dinámica de un sistema se genera a través de corchetes de Poisson canónicos , una estructura que solo se conserva parcialmente en la cuantificación canónica.

Este método fue utilizado posteriormente por Paul Dirac en el contexto de la teoría cuántica de campos , en su construcción de la electrodinámica cuántica . En el contexto de la teoría de campos, también se denomina segunda cuantificación de campos, en contraste con la primera cuantificación semiclásica de partículas individuales.

Historia

Cuando se desarrolló por primera vez, la física cuántica se ocupó únicamente de la cuantificación del movimiento de partículas, dejando el campo electromagnético clásico , de ahí el nombre de mecánica cuántica . ^[3]

Más tarde, el campo electromagnético también fue cuantificado, e incluso las propias partículas pasaron a representarse mediante campos cuantificados, lo que dio lugar al desarrollo de la electrodinámica cuántica (EDQ) y de la teoría cuántica de campos en general. ^[4] Así, por convención, la forma original de la mecánica cuántica de partículas se denota primera cuantificación , mientras que la teoría cuántica de campos se formula en el lenguaje de segunda cuantificación .

Primera cuantificación

Sistemas de partículas individuales

La siguiente exposición se basa en el tratado de Dirac sobre mecánica cuántica. ^[2] En la mecánica clásica de una partícula, existen variables dinámicas que se denominan coordenadas ( x ) y momentos ( p ). Estas especifican el estado de un sistema clásico. La estructura canónica (también conocida como estructura simpléctica ) de la mecánica clásica consiste en corchetes de Poisson que encierran estas variables, como { x , p } = 1 . Todas las transformaciones de variables que conservan estos corchetes se permiten como transformaciones canónicas en la mecánica clásica. El movimiento en sí mismo es una de esas transformaciones canónicas.

En cambio, en la mecánica cuántica , todas las características significativas de una partícula están contenidas en un estado , llamado estado cuántico . Los observables están representados por operadores que actúan en un espacio de Hilbert de dichos estados cuánticos . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

El valor propio de un operador que actúa sobre uno de sus estados propios representa el valor de una medida sobre la partícula así representada. Por ejemplo, la energía se lee mediante el operador hamiltoniano que actúa sobre un estado , dando como resultado donde E _n es la energía característica asociada a este estado propio . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$ ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

Cualquier estado podría representarse como una combinación lineal de estados propios de energía; por ejemplo, donde a _n son coeficientes constantes. $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

Al igual que en la mecánica clásica, todos los operadores dinámicos pueden representarse mediante funciones de posición y momento, y , respectivamente. La conexión entre esta representación y la representación de función de onda más habitual está dada por el estado propio del operador de posición que representa una partícula en la posición , que se denota por un elemento en el espacio de Hilbert, y que satisface . Entonces, . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

Del mismo modo, los estados propios del operador de momento especifican la representación del momento : . ${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }$

La relación central entre estos operadores es un análogo cuántico del corchete de Poisson anterior de la mecánica clásica, la relación de conmutación canónica . $${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}$$

Esta relación codifica (y conduce formalmente a) el principio de incertidumbre , en la forma Δ x Δ p ≥ ħ /2 . Esta estructura algebraica puede considerarse, por tanto, como el análogo cuántico de la estructura canónica de la mecánica clásica.

Sistemas de muchas partículas

Cuando se trata de sistemas de N partículas, es decir, sistemas que contienen N partículas idénticas (partículas caracterizadas por los mismos números cuánticos , como masa , carga y espín ), es necesario extender la función de estado de una sola partícula a la función de estado de N partículas . Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica se refiere al concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Por tanto, en la física cuántica sólo son posibles dos especies de partículas, los llamados bosones y fermiones , que obedecen a las siguientes reglas para cada tipo de partícula: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

• Para bosones: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$
• Para fermiones: $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$

donde hemos intercambiado dos coordenadas de la función de estado. La función de onda habitual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de partículas idénticas . Sobre esta base, es posible resolver diversos problemas de muchas partículas. ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

Problemas y limitaciones

Paréntesis clásica y cuántica

El libro de Dirac ^[2] detalla su popular regla de sustituir los corchetes de Poisson por conmutadores :

${\displaystyle \{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.}$

Se podría interpretar esta propuesta como si dijera que deberíamos buscar un "mapa de cuantificación" que asigne una función en el espacio de fase clásico a un operador en el espacio cuántico de Hilbert tal que Ahora se sabe que no existe un mapa de cuantificación razonable que satisfaga la identidad anterior exactamente para todas las funciones y . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Q_{f}}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Teorema de Groenewold

Una versión concreta de la afirmación de imposibilidad anterior es el teorema de Groenewold (en honor al físico teórico holandés Hilbrand J. Groenewold ), que describimos para un sistema con un grado de libertad para simplificar. Aceptemos las siguientes "reglas básicas" para la función . Primero, debe enviar la función constante 1 al operador identidad. Segundo, debe tomar y a los operadores de posición y momento habituales y . Tercero, debe tomar un polinomio en y a un "polinomio" en y , es decir, una combinación lineal finita de productos de y , que puede tomarse en cualquier orden deseado. En su forma más simple, el teorema de Groenewold dice que no hay ninguna función que satisfaga las reglas básicas anteriores y también la condición de corchete para todos los polinomios y . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En realidad, la inexistencia de tal función ocurre ya en el momento en que llegamos a polinomios de grado cuatro. Nótese que el corchete de Poisson de dos polinomios de grado cuatro tiene grado seis, por lo que no tiene mucho sentido exigir que una función en polinomios de grado cuatro respete la condición del corchete. Sin embargo, podemos exigir que la condición del corchete se cumpla cuando y tienen grado tres. El teorema de Groenewold ^[5] puede enunciarse de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Teorema  :  No existe un mapa de cuantificación (siguiendo las reglas básicas anteriores) para polinomios de grado menor o igual a cuatro que satisfaga siempre que y tengan grado menor o igual a tres. (Obsérvese que en este caso, tiene grado menor o igual a cuatro). ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$

La prueba puede resumirse de la siguiente manera. ^{[6] [7]} Supongamos que primero tratamos de encontrar un mapa de cuantificación en polinomios de grado menor o igual a tres que satisfaga la condición de corchete siempre que tenga grado menor o igual a dos y tenga grado menor o igual a dos. Entonces hay precisamente un mapa de este tipo, y es la cuantificación de Weyl . El resultado de imposibilidad ahora se obtiene escribiendo el mismo polinomio de grado cuatro como un corchete de Poisson de polinomios de grado tres de dos maneras diferentes . Específicamente, tenemos Por otro lado, ya hemos visto que si va a haber un mapa de cuantificación en polinomios de grado tres, debe ser la cuantificación de Weyl; es decir, ya hemos determinado la única cuantificación posible de todos los polinomios cúbicos anteriores. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}}$$

El argumento se termina calculando por fuerza bruta que no coincide con Por lo tanto, tenemos dos requisitos incompatibles para el valor de . $${\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].}$$ ${\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}$

Axiomas para cuantificación

Si Q representa el mapa de cuantificación que actúa sobre funciones f en el espacio de fases clásico, entonces las siguientes propiedades suelen considerarse deseables: ^[8]

1. ${\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }$y   (operadores elementales de posición/momento) ${\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~}$
2. ${\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~}$   es un mapa lineal
3. ${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~}$   (Corchete de Poisson)
4. ${\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~}$   (regla de von Neumann).

Sin embargo, no sólo son estas cuatro propiedades mutuamente inconsistentes, ¡ cualquiera tres de ellas también son inconsistentes! ^[9] Resulta que los únicos pares de estas propiedades que conducen a soluciones no triviales y autoconsistentes son 2 y 3, y posiblemente 1 y 3 o 1 y 4. Aceptar las propiedades 1 y 2, junto con una condición más débil de que 3 sea verdadera sólo asintóticamente en el límite ħ →0 (ver corchete de Moyal ), conduce a la cuantificación de la deformación , y se debe proporcionar alguna información extraña, como en las teorías estándar utilizadas en la mayor parte de la física. Aceptar las propiedades 1, 2 y 3 pero restringir el espacio de observables cuantificables para excluir términos como los cúbicos en el ejemplo anterior equivale a la cuantificación geométrica .

Segunda cuantificación: teoría de campos

La mecánica cuántica logró describir sistemas no relativistas con un número fijo de partículas, pero se necesitaba un nuevo marco para describir sistemas en los que las partículas pueden crearse o destruirse, por ejemplo, el campo electromagnético, considerado como una colección de fotones. Finalmente, se comprendió que la relatividad especial era incompatible con la mecánica cuántica de partículas individuales, de modo que ahora todas las partículas se describen relativísticamente mediante campos cuánticos .

Cuando se aplica el procedimiento de cuantificación canónica a un campo, como el campo electromagnético, las variables clásicas del campo se convierten en operadores cuánticos . Así, los modos normales que comprenden la amplitud del campo son osciladores simples, cada uno de los cuales se cuantifica en la primera cuantificación estándar, arriba, sin ambigüedad. Los cuantos resultantes se identifican con partículas o excitaciones individuales. Por ejemplo, los cuantos del campo electromagnético se identifican con fotones. A diferencia de la primera cuantificación, la segunda cuantificación convencional es completamente inequívoca, en efecto un funtor , ya que el conjunto constituyente de sus osciladores se cuantifica de forma inequívoca.

Históricamente, la cuantificación de la teoría clásica de una sola partícula dio lugar a una función de onda. Las ecuaciones clásicas de movimiento de un campo suelen ser idénticas en forma a las ecuaciones (cuánticas) para la función de onda de uno de sus cuantos . Por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon es la ecuación clásica de movimiento para un campo escalar libre, pero también la ecuación cuántica para la función de onda de una partícula escalar. Esto significaba que la cuantificación de un campo parecía ser similar a la cuantificación de una teoría que ya estaba cuantificada, lo que llevó al término fantasioso de segunda cuantificación en la literatura temprana, que todavía se usa para describir la cuantificación de campo, aunque la interpretación moderna detallada es diferente.

Una desventaja de la cuantificación canónica para un campo relativista es que al depender del hamiltoniano para determinar la dependencia temporal, la invariancia relativista ya no es manifiesta. Por lo tanto, es necesario verificar que la invariancia relativista no se pierda. Alternativamente, el enfoque integral de Feynman está disponible para cuantificar campos relativistas y es manifiestamente invariante. Para las teorías de campos no relativistas, como las que se usan en la física de la materia condensada , la invariancia de Lorentz no es un problema.

Operadores de campo

En mecánica cuántica, las variables de un campo (como la amplitud del campo en un punto dado) se representan mediante operadores en un espacio de Hilbert . En general, todos los observables se construyen como operadores en el espacio de Hilbert, y la evolución temporal de los operadores está gobernada por el hamiltoniano , que debe ser un operador positivo. Un estado aniquilado por el hamiltoniano debe identificarse como el estado de vacío , que es la base para construir todos los demás estados. En una teoría de campo no interactuante (libre), el vacío normalmente se identifica como un estado que contiene cero partículas. En una teoría con partículas interactuantes, la identificación del vacío es más sutil, debido a la polarización del vacío , lo que implica que el vacío físico en la teoría cuántica de campos nunca está realmente vacío. Para una mayor elaboración, consulte los artículos sobre el vacío mecánico cuántico y el vacío de la cromodinámica cuántica . Los detalles de la cuantificación canónica dependen del campo que se está cuantificando y de si es libre o interactuante. ${\displaystyle |0\rangle }$

Campo escalar real

Una teoría de campos escalares proporciona un buen ejemplo del procedimiento de cuantificación canónica. ^[10] Clásicamente, un campo escalar es una colección de una infinidad de modos normales del oscilador . Basta con considerar un espacio-tiempo de dimensión 1+1 en el que la dirección espacial se compactifica a un círculo de circunferencia 2 π , lo que hace que los momentos sean discretos. ${\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}$

La densidad lagrangiana clásica describe una infinidad de osciladores armónicos acoplados , etiquetados por x que ahora es una etiqueta (y no la variable dinámica de desplazamiento a cuantificar), denotados por el campo clásico φ , donde V ( φ ) es un término potencial, a menudo tomado como un polinomio o monomio de grado 3 o superior. El funcional de acción es El momento canónico obtenido a través de la transformación de Legendre usando la acción L es , y se encuentra que el hamiltoniano clásico es $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$$ $${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}$$ ${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }$ $${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}$$

La cuantificación canónica trata las variables φ y π como operadores con relaciones de conmutación canónicas en el tiempo t = 0, dadas por Los operadores construidos a partir de φ y π pueden entonces definirse formalmente en otros tiempos a través de la evolución temporal generada por el hamiltoniano, $${\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).}$$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}$$

Sin embargo, como φ y π ya no conmutan, esta expresión es ambigua a nivel cuántico. El problema es construir una representación de los operadores relevantes en un espacio de Hilbert y construir un operador positivo H como operador cuántico en este espacio de Hilbert de tal manera que dé esta evolución para los operadores como se da por la ecuación precedente, y mostrar que contiene un estado de vacío en el que H tiene valor propio cero. En la práctica, esta construcción es un problema difícil para las teorías de campos interactuantes, y se ha resuelto completamente solo en unos pocos casos simples a través de los métodos de la teoría cuántica de campos constructiva . Muchos de estos problemas se pueden eludir utilizando la integral de Feynman como se describe para un V ( φ ) particular en el artículo sobre teoría de campos escalares . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$

En el caso de un campo libre, con V ( φ ) = 0 , el procedimiento de cuantificación es relativamente sencillo. Es conveniente realizar la transformada de Fourier de los campos, de modo que La realidad de los campos implica que El hamiltoniano clásico puede expandirse en modos de Fourier como donde . $${\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.}$$ $${\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}$$ $${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],}$$ ${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

Este hamiltoniano es, por tanto, reconocible como una suma infinita de excitaciones del oscilador de modo normal clásico φ _k , cada una de las cuales se cuantifica de la manera estándar , por lo que el hamiltoniano cuántico libre parece idéntico. Son los φ _k los que se han convertido en operadores que obedecen las relaciones de conmutación estándar, [ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħ , con todos los demás desapareciendo. El espacio de Hilbert colectivo de todos estos osciladores se construye así utilizando operadores de creación y aniquilación construidos a partir de estos modos, para los cuales [ a _k , a _k ^† ] = 1 para todos los k , con todos los demás conmutadores desapareciendo. $${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$$

Se supone que el vacío es aniquilado por todos los a _k , y es el espacio de Hilbert construido aplicando cualquier combinación de la colección infinita de operadores de creación a _k ^† a ​​. Este espacio de Hilbert se llama espacio de Fock . Para cada k , esta construcción es idéntica a un oscilador armónico cuántico . El campo cuántico es una matriz infinita de osciladores cuánticos. El hamiltoniano cuántico asciende entonces a donde N _k puede interpretarse como el operador numérico que da el número de partículas en un estado con momento k . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ $${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}$$

Este hamiltoniano difiere de la expresión anterior por la sustracción de la energía del punto cero ħω _k /2 de cada oscilador armónico. Esto satisface la condición de que H debe aniquilar el vacío, sin afectar la evolución temporal de los operadores a través de la operación de exponenciación anterior. Esta sustracción de la energía del punto cero puede considerarse una resolución de la ambigüedad del ordenamiento de operadores cuánticos, ya que es equivalente a exigir que todos los operadores de creación aparezcan a la izquierda de los operadores de aniquilación en la expansión del hamiltoniano. Este procedimiento se conoce como ordenamiento de Wick u ordenamiento normal .

Otros campos

Todos los demás campos se pueden cuantificar mediante una generalización de este procedimiento. Los campos vectoriales o tensoriales simplemente tienen más componentes, y se deben introducir operadores de creación y destrucción independientes para cada componente independiente. Si un campo tiene alguna simetría interna , entonces se deben introducir operadores de creación y destrucción para cada componente del campo relacionado con esta simetría también. Si hay una simetría de calibre , entonces se debe analizar cuidadosamente el número de componentes independientes del campo para evitar contar en exceso las configuraciones equivalentes, y se puede aplicar la fijación de calibre si es necesario.

Resulta que las relaciones de conmutación son útiles solo para cuantificar bosones , para los cuales el número de ocupación de cualquier estado es ilimitado. Para cuantificar fermiones , que satisfacen el principio de exclusión de Pauli , se necesitan anticonmutadores. Estos se definen por { A , B } = AB + BA .

Al cuantificar fermiones, los campos se expanden en operadores de creación y aniquilación, θ _k ^† , θ _k , que satisfacen $${\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}$$

Los estados se construyen en un vacío aniquilado por θ _k , y el espacio de Fock se construye aplicando todos los productos de los operadores de creación θ _k ^† a ​​|0⟩ . El principio de exclusión de Pauli se satisface, porque , en virtud de las relaciones de anticonmutación. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}$

Condensados

La construcción de los estados de campo escalar anteriores asumió que el potencial se minimizaba en φ = 0, de modo que el vacío que minimiza el hamiltoniano satisface ⟨ φ ⟩ = 0 , lo que indica que el valor esperado de vacío (VEV) del campo es cero. En los casos que involucran ruptura espontánea de simetría , es posible tener un VEV distinto de cero, porque el potencial se minimiza para un valor φ = v . Esto ocurre, por ejemplo, si V ( φ ) = gφ ⁴ − 2 m ² φ ² con g > 0 y m ² > 0 , para el cual la energía mínima se encuentra en v = ± m / √ g . El valor de v en uno de estos vacíos puede considerarse como condensado del campo φ . La cuantificación canónica puede entonces llevarse a cabo para el campo desplazado φ ( x , t ) − v , y los estados de las partículas con respecto al vacío desplazado se definen cuantificando el campo desplazado. Esta construcción se utiliza en el mecanismo de Higgs en el modelo estándar de física de partículas .

Cuantización matemática

Cuantización de la deformación

La teoría clásica se describe utilizando una foliación espacial del espacio-tiempo , en la que el estado en cada porción se describe mediante un elemento de una variedad simpléctica , con la evolución temporal dada por el simplectomorfismo generado por una función hamiltoniana sobre la variedad simpléctica. El álgebra cuántica de "operadores" es una ħ - deformación del álgebra de funciones suaves sobre el espacio simpléctico, de modo que el término principal en la expansión de Taylor sobre ħ del conmutador [ A , B ] expresado en la formulación del espacio de fases es iħ { A , B } . (Aquí, las llaves indican el corchete de Poisson . Los términos secundarios están todos codificados en el corchete de Moyal , la deformación cuántica adecuada del corchete de Poisson). En general, para las cantidades (observables) involucradas, y proporcionando los argumentos de dichos corchetes, las ħ -deformaciones son altamente no únicas: la cuantificación es un "arte" y está especificada por el contexto físico. (Dos sistemas cuánticos diferentes pueden representar dos deformaciones diferentes, no equivalentes, del mismo límite clásico , ħ → 0 ).

Ahora, se buscan representaciones unitarias de esta álgebra cuántica. Con respecto a dicha representación unitaria, un simplectomorfismo en la teoría clásica se deformaría ahora en una transformación unitaria (metapléctica) . En particular, el simplectomorfismo de evolución temporal generado por el hamiltoniano clásico se deforma en una transformación unitaria generada por el hamiltoniano cuántico correspondiente.

Una generalización adicional es considerar una variedad de Poisson en lugar de un espacio simpléctico para la teoría clásica y realizar una ħ -deformación del álgebra de Poisson correspondiente o incluso de las supervariedades de Poisson .

Cuantización geométrica

A diferencia de la teoría de cuantificación de deformación descrita anteriormente, la cuantificación geométrica busca construir un espacio de Hilbert real y operadores en él. Comenzando con una variedad simpléctica , primero se construye un espacio de Hilbert precuántico que consiste en el espacio de secciones integrables al cuadrado de un fibrado de líneas apropiado sobre . En este espacio, se pueden mapear todos los observables clásicos a operadores en el espacio de Hilbert precuántico, con el conmutador correspondiente exactamente al corchete de Poisson. El espacio de Hilbert precuántico, sin embargo, es claramente demasiado grande para describir la cuantificación de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

A continuación, se procede a elegir una polarización, es decir (a grandes rasgos), una elección de variables en el espacio de fases de dimensión α. El espacio cuántico de Hilbert es entonces el espacio de secciones que dependen únicamente de las variables elegidas, en el sentido de que son covariantemente constantes en las otras direcciones. Si las variables elegidas son reales, obtenemos algo así como el espacio tradicional de Hilbert de Schrödinger. Si las variables elegidas son complejas, obtenemos algo así como el espacio de Segal-Bargmann . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Principio de correspondencia
• Operadores de creación y aniquilación
• Soporte de Dirac
• Soporte Moyal
• Formulación del espacio de fases (de la mecánica cuántica)
• Cuantización geométrica

Referencias

1. Dirac, PAM (1925). "Las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 109 (752): 642–653. Bibcode :1925RSPSA.109..642D. doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
2. Dirac, PAM (1982). Principios de mecánica cuántica . Estados Unidos: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5.
3. van der Waerden, BL (1968). Fuentes de la mecánica cuántica . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0486618811.
4. Schweber, SS (1983). QED y los hombres que la crearon . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691033277.
5. Hall 2013 Teorema 13.13
6. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Physica . 12 (7). Elsevier BV: 405–460. Bibcode :1946Phy....12..405G. doi :10.1016/s0031-8914(46)80059-4. ISSN  0031-8914.
7. Hall 2013 Sección 13.4
8. Shewell, John Robert (1959). "Sobre la formación de operadores mecánicos cuánticos". Revista estadounidense de física . 27 (1). Asociación estadounidense de profesores de física (AAPT): 16–21. Código Bibliográfico :1959AmJPh..27...16S. doi :10.1119/1.1934740. ISSN  0002-9505.
9. ALI, S. TWAREQUE; Engliš, MIROSLAV (2005). "Métodos de cuantificación: una guía para físicos y analistas". Reseñas en Física matemática . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . doi :10.1142/s0129055x05002376. ISSN  0129-055X. S2CID  119152724.
10. Este tratamiento se basa principalmente en el capítulo 1 de Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Geometría no conmutativa, campos cuánticos y motivos (PDF) . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4210-2Archivado desde el original (PDF) el 29 de diciembre de 2009. Consultado el 16 de mayo de 2010 .

Referencias históricas

• Silvan S. Schweber : QED y los hombres que lo hicieron , Princeton Univ. Press, 1994, ISBN 0-691-03327-7 

Referencias técnicas generales

• Alexander Altland, Ben Simons: Teoría de campos de materia condensada , Cambridge Univ. Press, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3 
• James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Mecánica cuántica relativista , Nueva York, McGraw-Hill, 1964
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158.
• Una introducción a la teoría cuántica de campos , por ME Peskin y HD Schroeder, ISBN 0-201-50397-2 
• Franz Schwabl: Mecánica cuántica avanzada , Berlín y otros lugares, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8 

Enlaces externos

• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en los enlaces de los capítulos 1 y 2 de este sitio para encontrar una introducción extensa y simplificada a la segunda cuantificación. Consulte la sección 1.5.2 en el capítulo 1. Consulte la sección 2.7 y el resumen del capítulo en el capítulo 2.