Transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia

En el campo del análisis de tiempo-frecuencia , se utilizan varias formulaciones de señales para representar la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia. ^[1]

Existen varios métodos y transformaciones denominadas "distribuciones de tiempo-frecuencia" (TFD), cuyas interconexiones fueron organizadas por Leon Cohen. ^{[2] [3] [4] [5]} Los métodos más útiles y populares forman una clase denominada distribuciones de tiempo-frecuencia "cuadráticas" o bilineales . Un miembro central de esta clase es la distribución de Wigner-Ville (WVD), ya que todas las demás TFD pueden escribirse como versiones suavizadas o convolucionadas de la WVD. Otro miembro popular de esta clase es el espectrograma, que es el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT). El espectrograma tiene la ventaja de ser positivo y fácil de interpretar, pero también tiene desventajas, como ser irreversible, lo que significa que una vez que se calcula el espectrograma de una señal, la señal original no se puede extraer del espectrograma. La teoría y la metodología para definir una TFD que verifique ciertas propiedades deseables se dan en la "Teoría de las TFD cuadráticas". ^[6]

El objetivo de este artículo es ilustrar algunos elementos del procedimiento para transformar una distribución en otra. El método utilizado para transformar una distribución se toma prestado de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica , aunque el tema de este artículo es el "procesamiento de señales". Teniendo en cuenta que se puede recuperar una señal de una distribución particular en determinadas condiciones, dado un determinado TFD ρ ₁ ( t , f ) que representa la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia, se puede obtener otro TFD ρ ₂ ( t , f ) diferente de la misma señal para calcular cualquier otra distribución, mediante un simple suavizado o filtrado; algunas de estas relaciones se muestran a continuación. Se puede dar un tratamiento completo de la cuestión en el libro de Cohen.

Clase general

Si utilizamos la variable ω = 2 πf , entonces, tomando prestadas las notaciones utilizadas en el campo de la mecánica cuántica, podemos demostrar que la representación tiempo-frecuencia, como la función de distribución de Wigner (WDF) y otras distribuciones tiempo-frecuencia bilineales , se pueden expresar como

donde es una función bidimensional llamada kernel, que determina la distribución y sus propiedades (para una terminología de procesamiento de señales y el tratamiento de esta cuestión, el lector puede consultar las referencias ya citadas en la introducción). ${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$

El núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) es uno. Sin embargo, no se le debe dar ninguna importancia particular a esto, ya que es posible escribir la forma general de modo que el núcleo de cualquier distribución sea uno, en cuyo caso el núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) sería algo diferente.

Formulación de función característica

La función característica es la doble transformada de Fourier de la distribución. Mediante la inspección de la ecuación ( 1 ), podemos obtener que

dónde

y donde es la función de ambigüedad simétrica. La función característica puede llamarse apropiadamente función de ambigüedad generalizada. ${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$

Transformación entre distribuciones

Para obtener esa relación supongamos que existen dos distribuciones, y , con núcleos correspondientes, y . Sus funciones características son ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

Divida una ecuación por la otra para obtener

Esta es una relación importante porque conecta las funciones características. Para que la división sea correcta, el núcleo no puede ser cero en una región finita.

Para obtener la relación entre las distribuciones tome la transformada doble de Fourier de ambos lados y utilice la ecuación. ( 2 )

Ahora exprese en términos de para obtener ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Esta relación se puede escribir como

con

Relación del espectrograma con otras representaciones bilineales

Ahora nos especializamos en el caso en el que se transforma de una representación arbitraria al espectrograma. En la ecuación ( 9 ), tanto ser el espectrograma como ser arbitrario están establecidos. Además, para simplificar la notación, , y están establecidos y escritos como ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1},\phi =\phi _{2}}$ ${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$

El núcleo del espectrograma con ventana, es y por lo tanto ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle A_{h}(-\theta ,\tau )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}}){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{aligned}}}$$

Si sólo consideramos los núcleos para los que se cumple entonces y por lo tanto ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$ $${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta =C_{h}(t,-\omega )}$$ $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t'-t,\omega '-\omega )\,dt'\,d\omega '}$$

Esto lo demostró Janssen. ^[4] Cuando no es igual a uno, entonces donde ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$ $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t'',\omega '')C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t''+t'-t,-\omega ''+\omega -\omega ')\,dt'\,dt''\,d\omega '\,d\omega ''}$$ $${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$$

Referencias

1. L. Cohen, "Análisis de tiempo y frecuencia", Prentice-Hall , Nueva York, 1995. ISBN  978-0135945322
2. L. Cohen, "Funciones de distribución generalizadas en el espacio de fases", J. Math. Phys. , 7 (1966) págs. 781–786, doi:10.1063/1.1931206
3. L. Cohen, "Problema de cuantificación y principio variacional en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica", J. Math. Phys. , 7 págs. 1863–1866, 1976.
4. AJEM Janssen, "Sobre la ubicación y la dispersión de funciones de pseudodensidad en el plano tiempo-frecuencia", Philips Journal of Research , vol. 37, págs. 79-110, 1982.
5. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Representación de características de tiempo-frecuencia usando concentración de energía: una descripción general de los avances recientes”, Digital Signal Processing , vol. 19, núm. 1, págs. 153-183, enero de 2009.
6. B. Boashash, “Teoría de TFD cuadráticos”, Capítulo 3, págs. 59–82, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4 .