Función de distribución de Wigner

Análisis de distribución de tiempo-frecuencia del banco WDF (en rojo y amarillo) vs FIR (en verde).

La función de distribución de Wigner (WDF) se utiliza en el procesamiento de señales como una transformación en el análisis de tiempo-frecuencia .

La WDF fue propuesta por primera vez en física para dar cuenta de las correcciones cuánticas a la mecánica estadística clásica en 1932 por Eugene Wigner , y es importante en la mecánica cuántica en el espacio de fases (ver, a modo de comparación: distribución de cuasi-probabilidad de Wigner , también llamada función de Wigner o distribución de Wigner–Ville ).

Dada la estructura algebraica compartida entre pares conjugados de posición-momento y tiempo-frecuencia , también sirve de manera útil en el procesamiento de señales, como una transformación en el análisis de tiempo-frecuencia, el tema de este artículo. En comparación con una transformada de Fourier de tiempo corto , como la transformada de Gabor , la función de distribución de Wigner proporciona la mayor resolución temporal vs. frecuencia posible, lo cual es matemáticamente posible dentro de las limitaciones del principio de incertidumbre. La desventaja es la introducción de grandes términos cruzados entre cada par de componentes de la señal y entre frecuencias positivas y negativas, lo que hace que la formulación original de la función no se ajuste bien a la mayoría de las aplicaciones de análisis. Se han propuesto modificaciones posteriores que preservan la nitidez de la función de distribución de Wigner pero suprimen en gran medida los términos cruzados.

Definición matemática

Existen varias definiciones diferentes para la función de distribución de Wigner. La definición que se da aquí es específica para el análisis de tiempo-frecuencia. Dada la serie temporal , su función de autocovarianza no estacionaria viene dada por ${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

donde denota el promedio de todas las posibles realizaciones del proceso y es la media, que puede ser o no una función del tiempo. La función de Wigner se obtiene expresando primero la función de autocorrelación en términos del tiempo promedio y el desfase temporal y luego transformando el desfase mediante la transformación de Fourier. ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Entonces, para una única serie temporal (media cero), la función de Wigner se da simplemente por

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

La motivación de la función de Wigner es que se reduce a la función de densidad espectral en todo momento para procesos estacionarios, pero es totalmente equivalente a la función de autocorrelación no estacionaria. Por lo tanto, la función de Wigner nos dice (aproximadamente) cómo cambia la densidad espectral en el tiempo. ${\displaystyle t}$

Ejemplo de análisis de tiempo y frecuencia

A continuación se muestran algunos ejemplos que ilustran cómo se utiliza el WDF en el análisis de tiempo-frecuencia.

Señal de entrada constante

Cuando la señal de entrada es constante, su distribución de tiempo-frecuencia es una línea horizontal a lo largo del eje del tiempo. Por ejemplo, si x ( t ) = 1, entonces

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

Señal de entrada sinusoidal

Cuando la señal de entrada es una función sinusoidal, su distribución tiempo-frecuencia es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, desplazada respecto de éste por la frecuencia de la señal sinusoidal. Por ejemplo, si x ( t ) = e ^{i2π kt} , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}$

Señal de entrada de chirrido

Cuando la señal de entrada es una función de chirrido lineal , la frecuencia instantánea es una función lineal. Esto significa que la distribución de frecuencia temporal debe ser una línea recta. Por ejemplo, si

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$,

entonces su frecuencia instantánea es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

y su WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

Señal de entrada delta

Cuando la señal de entrada es una función delta, dado que solo es distinta de cero en t=0 y contiene componentes de frecuencia infinitos, su distribución de frecuencia-tiempo debe ser una línea vertical que cruce el origen. Esto significa que la distribución de frecuencia-tiempo de la función delta también debe ser una función delta. Por WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}$

La función de distribución de Wigner es la más adecuada para el análisis de tiempo-frecuencia cuando la fase de la señal de entrada es de segundo orden o inferior. Para esas señales, la función de distribución de Wigner puede generar exactamente la distribución de tiempo-frecuencia de la señal de entrada.

Función de vagón de carga

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$,

la función rectangular ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Propiedad de término cruzado

La función de distribución de Wigner no es una transformación lineal. Un término cruzado ("pulsaciones de tiempo") ocurre cuando hay más de un componente en la señal de entrada, análogo en el tiempo a las pulsaciones de frecuencia . ^[1] En la distribución de cuasi-probabilidad de Wigner de la física ancestral , este término tiene consecuencias físicas importantes y útiles, requeridas para valores de expectativa fieles. Por el contrario, la transformada de Fourier de corto tiempo no tiene esta característica. Las características negativas de la WDF reflejan el límite de Gabor de la señal clásica y no están relacionadas físicamente con ninguna posible base de estructura cuántica.

Los siguientes son algunos ejemplos que exhiben la característica de término cruzado de la función de distribución de Wigner.

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

Para reducir la dificultad entre términos, se han propuesto varios enfoques en la literatura, ^{[2] [3]} algunos de ellos conducen a nuevas transformaciones como la función de distribución de Wigner modificada , la transformada de Gabor-Wigner , la función de distribución de Choi-Williams y la distribución de clases de Cohen .

Propiedades de la función de distribución de Wigner

La función de distribución de Wigner tiene varias propiedades evidentes enumeradas en la siguiente tabla.

Propiedad de proyección

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Propiedad energética

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

Propiedad de recuperación

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

Frecuencia de condición media y tiempo de condición media

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Propiedades del momento

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

Propiedades inmobiliarias

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

Propiedades de la región

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

Teorema de multiplicación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

Teorema de convolución

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

Teorema de correlación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

Covarianza de desplazamiento temporal

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

Covarianza de modulación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

Covarianza de escala

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

Función de distribución de Wigner con ventana

Cuando una señal no está limitada en el tiempo, su función de distribución de Wigner es difícil de implementar. Por lo tanto, agregamos una nueva función (máscara) a su parte de integración, de modo que solo tengamos que implementar parte de la función original en lugar de integrar todo el camino desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Función original: Función con máscara: es real y limitada en el tiempo ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Implementación

Según la definición:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Supongamos que para y ${\displaystyle w(t)=0}$ ${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$ ${\displaystyle p<-Q}$ ${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Tomamos como ejemplo ${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

¿Dónde está una función real? ${\displaystyle w(\tau )}$

Y luego comparamos la diferencia entre dos condiciones.

Ideal: ${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

Cuando la función de máscara , lo que significa que no hay función de máscara. ${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$ ${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

3 Condiciones

Luego consideramos la condición con función de máscara:

Podemos ver que tienen valor solo entre –B y B, por lo que al realizar con podemos eliminar el término cruzado de la función. Pero si x(t) no es una función Delta ni una función de frecuencia estrecha, sino que es una función con frecuencia amplia u ondulación. El borde de la señal puede seguir existiendo entre –B y B, lo que sigue provocando el problema del término cruzado. ${\displaystyle w(\tau )}$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Por ejemplo:

Véase también

• Representación tiempo-frecuencia
• Transformada de Fourier de corta duración
• Espectrograma
• Transformación de Gabor
• Autocorrelación
• Transformada de Gabor-Wigner
• Función de distribución de Wigner modificada
• Teorema de equivalencia óptica
• Distribución polinómica de Wigner-Ville
• Función de distribución de clases de Cohen
• Distribución de cuasi-probabilidad de Wigner
• Transformación entre distribuciones en el análisis tiempo-frecuencia
• Distribución bilineal de tiempo y frecuencia

Referencias

1. F. Hlawatsch y P. Flandrin, "La estructura de interferencia de la distribución de Wigner y representaciones de señales de tiempo-frecuencia relacionadas", en W. Mecklenbräuker y F. Hlawatsch, La distribución de Wigner: teoría y aplicaciones en el procesamiento de señales
2. B. Boashah (Ed.), Análisis y procesamiento de señales de tiempo y frecuencia , Elsevier, 2003
3. P. Flandrin, Análisis de escala de tiempo y frecuencia de tiempo , Elsevier, 1998

Lectura adicional

• Wigner, E. (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico" (PDF) . Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl :10338.dmlcz/141466.
• J. Ville, 1948. "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Câbles et Transmission , 2 , 61–74.
• TACM Classen y WFG Mecklenbrauker, 1980. "La distribución de Wigner: una herramienta para el análisis de señales de tiempo-frecuencia; Parte I", Philips J. Res., vol. 35, págs. 217–250.
• L. Cohen (1989): Actas del IEEE 77 pp. 941–981, Distribuciones de tiempo-frecuencia: una revisión
• L. Cohen, Análisis de tiempo-frecuencia , Prentice-Hall, Nueva York, 1995. ISBN 978-0135945322 
• S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto de tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones , cap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
• B. Boashash, "Nota sobre el uso de la distribución de Wigner para el análisis de señales de frecuencia temporal", IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 36 , n.º 9, págs. 1518-1521, septiembre de 1988. doi :10.1109/29.90380. B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de frecuencia temporal: una referencia completa , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• F. Hlawatsch, GF Boudreaux-Bartels : "Representación de señales tiempo-frecuencia lineal y cuadrática", IEEE Signal Processing Magazine, págs. 21–67, abril de 1992.
• RL Allen y DW Mills, Análisis de señales: tiempo, frecuencia, escala y estructura , Wiley-Interscience, NJ, 2004.
• Jian-Jiun Ding, Notas de clase sobre análisis de frecuencia de tiempo y transformada wavelet, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2015.
• Kakofengitis, D., y Steuernagel, O. (2017). "Corriente cuántica del espacio de fase de Wigner en sistemas de dos estados débilmente anarmónicos y débilmente excitados" European Physical Journal Plus 14.07.2017

Enlaces externos

• Sonogram Visible Speech Bajo licencia GPL Freeware para la extracción visual de la Distribución Wigner.