Función de distribución de Wigner modificada

Nota: la función de distribución de Wigner se abrevia aquí como WD en lugar de WDF como se usa en la función de distribución de Wigner.

Una función de distribución de Wigner modificada es una variación de la función de distribución de Wigner (WD) con términos cruzados reducidos o eliminados.

La distribución de Wigner (WD) fue propuesta por primera vez para corregir la mecánica estadística clásica en 1932 por Eugene Wigner . La función de distribución de Wigner , o distribución de Wigner-Ville (WVD) para señales analíticas, también tiene aplicaciones en el análisis de frecuencia temporal. La distribución de Wigner proporciona una mejor localización automática de términos en comparación con el espectrograma borroso (SP). Sin embargo, cuando se aplica a una señal con componentes multifrecuencia, aparecen términos cruzados debido a su naturaleza cuadrática. Se han propuesto varios métodos para reducir los términos cruzados. Por ejemplo, en 1994 Ljubiša Stanković propuso una técnica novedosa, ahora conocida principalmente como método S, que resulta en la reducción o eliminación de términos cruzados. El concepto del método S es una combinación entre el espectrograma y la Pseudo Distribución Wigner (PWD), la versión en ventana del WD.

El WD original, el espectrograma y los WD modificados pertenecen a la clase de Cohen de representaciones bilineales de tiempo-frecuencia:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}$

¿Dónde está la función del núcleo de Cohen , que suele ser una función de paso bajo y normalmente sirve para enmascarar la interferencia en la representación original de Wigner? ${\displaystyle \Pi \left(t,f\right)}$

Definición matemática

• Distribución Wigner

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Función del núcleo de Cohen: ${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}$

• espectrograma

${\displaystyle SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}$

¿Dónde está la transformada de Fourier de corto tiempo ? ${\displaystyle ST_{x}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

Función del núcleo de Cohen: que es el WD de la función de ventana en sí. Esto se puede verificar aplicando la propiedad de convolución de la función de distribución de Wigner . ${\displaystyle \Pi (t,f)=W_{h}(t,f)}$

El espectrograma no puede producir interferencias ya que es una distribución cuadrática de valores positivos.

• Formulario I modificado

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

No se puede resolver el problema de términos cruzados, sin embargo, puede resolver el problema de la diferencia de tiempo de 2 componentes mayor que el tamaño de ventana B.

• Formulario modificado II

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }$

• Forma modificada III (Distribución Pseudo L-Wigner)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(r+\tau /2L){\overline {x^{*L}(t-\tau /2L)}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Donde L es cualquier número entero mayor que 0

Aumentar L puede reducir la influencia del término cruzado (sin embargo, no se puede eliminar por completo)

Por ejemplo, para L=2, el tercer término dominante se divide por 4 (lo que equivale a 12dB).

Esto supone una mejora significativa con respecto a la Distribución Wigner.

Propiedades de la distribución L-Wigner:

1. La distribución L-Wigner siempre es real.
2. Si la señal está desplazada en el tiempo , entonces su LWD también está desplazada en el tiempo, ${\displaystyle x(t-t0)}$ ${\displaystyle LWD:W_{x}(t-t0,f)}$
3. El LWD de una señal modulada tiene un desplazamiento de frecuencia. ${\displaystyle x(t)\exp(j\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f-f0)}$
4. ¿La señal tiene un límite de tiempo, es decir, entonces la distribución L-Wigner tiene un límite de tiempo? ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,}$ ${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T}$
5. Si la señal está limitada en banda con ( ), entonces también está limitada en el dominio de la frecuencia por . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f_{m}}$ ${\displaystyle F(f)=0}$ ${\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}}$ ${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle f_{m}}$
6. La integral de la distribución L-Wigner sobre la frecuencia es igual a la potencia de la señal generalizada: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}}$
7. La integral de tiempo y frecuencia es igual a la potencia de la norma de la señal : ${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle 2L^{th}}$ ${\displaystyle 2L^{th}}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}$

1. La integral en el tiempo es:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}$

1. Para un valor grande de podemos descuidar todos los valores de , comparándolos con el de los puntos donde la distribución alcanza su supremo esencial: ${\displaystyle L(L\rightarrow \infty )}$ ${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle (t_{m},f_{m})}$

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}}$

• Forma modificada IV (Función de distribución polinómica de Wigner)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Cuando y , se convierte en la función de distribución de Wigner original. ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}$

Puede evitar el término cruzado cuando el orden de fase de la función exponencial no es mayor que ${\displaystyle q/2+1}$

Sin embargo, el término cruzado entre dos componentes no se puede eliminar.

${\displaystyle d_{l}}$debe elegirse adecuadamente de manera que

${\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau }$

${\displaystyle \cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}$

Si ${\displaystyle x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}}$

cuando , ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}$

${\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}$

• Distribución pseudo Wigner

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

Función del núcleo de Cohen: que se concentra en el eje de frecuencias. ${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}$

Tenga en cuenta que la pseudo Wigner también se puede escribir como la transformada de Fourier de la "correlación espectral" de la STFT.

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

• Distribución pseudo Wigner suavizada  :

En el pseudo Wigner, la ventana de tiempo actúa como un suavizado de la dirección de la frecuencia. Por lo tanto, suprime los componentes de interferencia de la distribución de Wigner que oscilan en la dirección de la frecuencia. El suavizado de la dirección del tiempo se puede implementar mediante una convolución temporal del PWD con una función de paso bajo  : ${\displaystyle q}$

${\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}$

Función del núcleo de Cohen: ¿dónde está la transformada de Fourier de la ventana ? ${\displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle w}$

Por tanto, el núcleo correspondiente a la pseudo distribución de Wigner suavizada tiene una forma separable. Tenga en cuenta que incluso si tanto el SPWD como el método S suavizan el WD en el dominio del tiempo, no son equivalentes en general.

• método S

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

Función del núcleo de Cohen: ${\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}$

El método S limita el rango de la integral de la PWD con una función de ventana de paso bajo de la transformada de Fourier . Esto da como resultado la eliminación de términos cruzados, sin desdibujar los términos automáticos que están bien concentrados a lo largo del eje de frecuencia. El método S logra un equilibrio en el suavizado entre la distribución pseudo-Wigner [ ] y el espectrograma de potencia [ ]. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle G(f)}$ ${\displaystyle PW_{x}}$ ${\displaystyle g(t)=1}$ ${\displaystyle SP_{x}}$ ${\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}$

Tenga en cuenta que en el artículo original de 1994, Stankovic define el método S con una versión modulada de la transformada de Fourier de corto tiempo:

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu }$

dónde

${\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}$

Incluso en este caso todavía tenemos

${\displaystyle \Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}$

Ver también

• Representación tiempo-frecuencia
• Función de distribución de Wigner
• Distribución bilineal tiempo-frecuencia
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• transformación de gabor

Referencias

• P. Gonçalves y R. Baraniuk, “Distribuciones pseudoafines de Wigner: definición y formulación del núcleo”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 46, núm. 6 de junio de 1998
• L. Stankovic, “Un método para el análisis de tiempo-frecuencia”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, núm. 1 de enero de 1994
• LJ Stankovic, S. Stankovic y E. Fakultet, “Un análisis de la representación de frecuencia instantánea utilizando distribuciones de frecuencia temporal: distribución de Wigner generalizada”, IEEE Trans. sobre procesamiento de señales, págs. 549-552, vol. 43, núm. 2 de febrero de 1995