Teorema de equivalencia óptica

El teorema de equivalencia óptica en óptica cuántica afirma una equivalencia entre el valor esperado de un operador en el espacio de Hilbert y el valor esperado de su función asociada en la formulación del espacio de fase con respecto a una distribución de cuasiprobabilidad . El teorema fue informado por primera vez por George Sudarshan en 1963 para operadores normalmente ordenados ^[1] y generalizado más tarde esa década a cualquier orden. ^{[2] [3] [4] [5]}

Sea Ω un ordenamiento de los operadores de creación y aniquilación no conmutativos , y sea un operador que se pueda expresar como una serie de potencias en los operadores de creación y aniquilación que satisface el ordenamiento Ω. Entonces el teorema de equivalencia óptica se expresa sucintamente como ${\displaystyle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })}$

${\displaystyle \langle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })\rangle =\langle g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\rangle .}$

Aquí, se entiende que α es el valor propio del operador de aniquilación en estados coherentes y se reemplaza formalmente en la expansión en serie de potencias de g . El lado izquierdo de la ecuación anterior es un valor esperado en el espacio de Hilbert, mientras que el lado derecho es un valor esperado con respecto a la distribución de cuasi probabilidad.

Podemos escribir cada uno de estos explícitamente para mayor claridad. Sea el operador de densidad y el recíproco de orden a Ω. La distribución de cuasi probabilidad asociada con Ω viene dada, entonces, al menos formalmente, por ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{\pi }}\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .}$

La ecuación enmarcada arriba se convierte en

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

Por ejemplo, sea Ω el orden normal . Esto significa que g se puede escribir en una serie de potencias de la siguiente forma:

${\displaystyle g_{N}({\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}})=\sum _{n,m}c_{nm}{\hat {a}}^{\dagger n}{\hat {a}}^{m}.}$

La distribución de cuasiprobabilidad asociada con el orden normal es la representación P de Glauber-Sudarshan . En estos términos llegamos a

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{N}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int P(\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

Este teorema implica la equivalencia formal entre los valores esperados de operadores normalmente ordenados en óptica cuántica y los correspondientes números complejos en óptica clásica.

Referencias

1. ECG Sudarshan "Equivalencia de descripciones mecánicas cuánticas y semiclásicas de haces de luz estadísticos", Phys. Rev. Lett. ,10 (1963) págs. 277–279. doi :10.1103/PhysRevLett.10.277
2. KE Cahill y RJ Glauber "Expansiones ordenadas en operadores de amplitud de bosones", Phys. Rev. , 177 (1969) págs. 1857–1881. doi : 10.1103/PhysRev.177.1857
3. KE Cahill y RJ Glauber "Operadores de densidad y distribuciones de cuasiprobabilidad", Phys. Rev. , 177 (1969) págs. 1882-1902. doi :10.1103/PhysRev.177.1882
4. GS Agarwal y E. Wolf "Cálculo de funciones de operadores no conmutantes y métodos generales de espacio de fase en mecánica cuántica. I. Teoremas de mapeo y ordenamiento de funciones de operadores no conmutantes", Phys. Rev. D , 2 (1970) págs. 2161–2186. doi :10.1103/PhysRevD.2.2161
5. GS Agarwal y E. Wolf "Cálculo de funciones de operadores no conmutantes y métodos generales de espacio de fase en mecánica cuántica. II. Mecánica cuántica en espacio de fase", Phys. Rev. D , 2 (1970) págs. 2187–2205. doi :10.1103/PhysRevD.2.2187