Formulación en espacio de fases.

Formulación de la mecánica cuántica.

La formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica coloca las variables de posición y momento en pie de igualdad en el espacio de fases . Por el contrario, la imagen de Schrödinger utiliza representaciones de posición o momento (ver también espacio de posición y momento ). Las dos características clave de la formulación del espacio de fases son que el estado cuántico se describe mediante una distribución de cuasi probabilidad (en lugar de una función de onda , un vector de estado o una matriz de densidad ) y la multiplicación de operadores se reemplaza por un producto estrella .

La teoría fue desarrollada completamente por Hilbrand Groenewold en 1946 en su tesis doctoral, ^[1] e independientemente por Joe Moyal , ^[2] cada uno basándose en ideas anteriores de Hermann Weyl ^[3] y Eugene Wigner . ^[4]

La principal ventaja de la formulación del espacio de fases es que hace que la mecánica cuántica parezca lo más similar posible a la mecánica hamiltoniana evitando el formalismo del operador, "'liberando' así la cuantificación de la 'carga' del espacio de Hilbert ". ^[5] Esta formulación es de naturaleza estadística y ofrece conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica , permitiendo una comparación natural entre las dos (ver límite clásico ). La mecánica cuántica en el espacio de fases suele preferirse en ciertas aplicaciones de la óptica cuántica (ver espacio de fases óptico ), o en el estudio de la decoherencia y una variedad de problemas técnicos especializados, aunque por lo demás el formalismo se emplea con menos frecuencia en situaciones prácticas. ^[6]

Las ideas conceptuales que subyacen al desarrollo de la mecánica cuántica en el espacio de fases se han ramificado en ramas matemáticas como la deformación-cuantización de Kontsevich (ver fórmula de cuantificación de Kontsevich ) y la geometría no conmutativa .

Distribución del espacio de fases

La distribución del espacio de fases f ( x ,  p ) de un estado cuántico es una distribución de cuasi probabilidad. En la formulación del espacio de fases, la distribución del espacio de fases puede tratarse como la descripción primitiva y fundamental del sistema cuántico, sin ninguna referencia a funciones de onda o matrices de densidad. ^[7]

Hay varias formas diferentes de representar la distribución, todas interrelacionadas. ^{[8] [9]} La más notable es la representación de Wigner , W ( x ,  p ) , descubierta primero. ^[4] Otras representaciones (en orden aproximadamente descendente de prevalencia en la literatura) incluyen las representaciones de Glauber-Sudarshan P , ^{[10] [11]} Husimi Q , ^[12] Kirkwood-Rihaczek, Mehta, Rivier y Born-Jordan. ^{[13] [14]} Estas alternativas son más útiles cuando el hamiltoniano adopta una forma particular, como el orden normal de la representación P de Glauber-Sudarshan. Dado que la representación de Wigner es la más común, este artículo normalmente se atendrá a ella, a menos que se especifique lo contrario.

La distribución del espacio de fases posee propiedades similares a la densidad de probabilidad en un espacio de fases de 2 n dimensiones. Por ejemplo, tiene valor real , a diferencia de la función de onda generalmente de valor complejo. Podemos entender la probabilidad de estar dentro de un intervalo de posición, por ejemplo, integrando la función de Wigner sobre todos los momentos y sobre el intervalo de posición:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

Si  ( x ,  p ) es un operador que representa un observable, se puede asignar al espacio de fase como A ( x , p ) mediante la transformada de Wigner . Por el contrario, este operador puede recuperarse mediante la transformada de Weyl .

El valor esperado del observable con respecto a la distribución del espacio de fases es ^{[2] [15]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

Sin embargo, una cuestión de precaución: a pesar de la similitud en apariencia, W ( x ,  p ) no es una distribución de probabilidad conjunta genuina , porque las regiones bajo ella no representan estados mutuamente excluyentes, como lo exige el tercer axioma de la teoría de la probabilidad . Además, en general puede tomar valores negativos incluso para estados puros, con la única excepción de estados coherentes (opcionalmente comprimidos ) , en violación del primer axioma .

Se puede demostrar que las regiones de tal valor negativo son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidas por el principio de incertidumbre , que no permite una localización precisa dentro de regiones del espacio de fase más pequeñas que ħ , y por lo tanto hace que tales "probabilidades negativas" sean menos paradójicas. Si el lado izquierdo de la ecuación debe interpretarse como un valor esperado en el espacio de Hilbert con respecto a un operador, entonces en el contexto de la óptica cuántica esta ecuación se conoce como teorema de equivalencia óptica . (Para obtener detalles sobre las propiedades y la interpretación de la función Wigner, consulte su artículo principal ).

Un enfoque alternativo del espacio de fases a la mecánica cuántica busca definir una función de onda (no solo una densidad de cuasi probabilidad) en el espacio de fases, típicamente mediante la transformada de Segal-Bargmann . Para ser compatible con el principio de incertidumbre, la función de onda del espacio de fase no puede ser una función arbitraria, o podría localizarse en una región arbitrariamente pequeña del espacio de fase. Más bien, la transformada de Segal-Bargmann es una función holomorfa de . Existe una densidad de cuasi probabilidad asociada a la función de onda del espacio de fase; es la representación Husimi Q de la función de onda de posición. ${\displaystyle x+ip}$

Producto estrella

El operador binario no conmutativo fundamental en la formulación del espacio de fases que reemplaza la multiplicación del operador estándar es el producto estrella , representado por el símbolo ★ . ^[1] Cada representación de la distribución del espacio de fases tiene un producto estrella característico diferente . Para ser más concretos, restringimos esta discusión al producto estrella relevante para la representación Wigner-Weyl.

Por comodidad de notación, introducimos la noción de derivadas izquierda y derecha . Para un par de funciones f y g , las derivadas izquierda y derecha se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.\end{aligned}}}$

La definición diferencial del producto estrella es

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

donde el argumento de la función exponencial se puede interpretar como una serie de potencias . Relaciones diferenciales adicionales permiten escribir esto en términos de un cambio en los argumentos de f y g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

También es posible definir el producto ★ en forma integral de convolución, ^[16] esencialmente a través de la transformada de Fourier :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(Así, por ejemplo, ^[7] los gaussianos componen hiperbólicamente :

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

etc.)

Las distribuciones de estados propios de energía se conocen como stargenstates, ★-genstates , stargenfunctions o ★ -genfunctions , y las energías asociadas se conocen como stargenvalues ​​o ★ -genvalues . Estos se resuelven, de manera análoga a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , mediante la ecuación ★ -genvalue, ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

donde H es el hamiltoniano, una simple función de espacio de fases, casi siempre idéntica al hamiltoniano clásico.

Evolución del tiempo

La evolución temporal de la distribución del espacio de fases viene dada por una modificación cuántica del flujo de Liouville . ^{[2] [9] [19]} Esta fórmula resulta de aplicar la transformación de Wigner a la versión de matriz de densidad de la ecuación cuántica de Liouville , la ecuación de von Neumann .

En cualquier representación de la distribución del espacio de fases con su producto estrella asociado, esto es

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

o, para la función Wigner en particular,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

donde {{, }} es el corchete de Moyal , la transformada de Wigner del conmutador cuántico, mientras que {,} es el corchete de Poisson clásico . ^[2]

Esto produce una ilustración concisa del principio de correspondencia : esta ecuación se reduce manifiestamente a la ecuación clásica de Liouville en el límite ħ  → 0. Sin embargo, en la extensión cuántica del flujo, la densidad de puntos en el espacio de fases no se conserva ; el fluido de probabilidad parece "difusivo" y compresible. ^[2] Por lo tanto, el concepto de trayectoria cuántica es aquí un tema delicado. ^[20] Vea la película sobre el potencial de Morse, a continuación, para apreciar la no localidad del flujo de fase cuántica.

NB: Dadas las restricciones impuestas por el principio de incertidumbre a la localización, Niels Bohr negó enérgicamente la existencia física de tales trayectorias a escala microscópica. Mediante trayectorias formales de espacio de fase, el problema de la evolución temporal de la función de Wigner se puede resolver rigurosamente utilizando el método de trayectoria integral ^[21] y el método de características cuánticas ^[22] , aunque existen serios obstáculos prácticos en ambos casos.

Ejemplos

Oscilador armónico simple

La distribución de cuasiprobabilidad de Wigner F _n ( u ) para el oscilador armónico simple con a) n = 0 , b) n = 1 , c) n = 5

El hamiltoniano para el oscilador armónico simple en una dimensión espacial en la representación de Wigner-Weyl es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

La ecuación ★ -genvalue para la función estática de Wigner lee entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}$

Considere, primero, la parte imaginaria de la ecuación ★ -genvalue,

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}$

Esto implica que se pueden escribir los ★ -genstates como funciones de un solo argumento:

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

Con este cambio de variables, es posible escribir la parte real de la ecuación ★ -genvalue en forma de una ecuación de Laguerre modificada (¡no la ecuación de Hermite !), cuya solución involucra los polinomios de Laguerre como ^[18]

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}$

introducido por Groenewold, ^[1] con valores ★ -gen asociados

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

Para el oscilador armónico, la evolución temporal de una distribución de Wigner arbitraria es simple. Una W ( x ,  p ;  t = 0) = F ( u ) inicial evoluciona mediante la ecuación de evolución anterior impulsada por el oscilador hamiltoniano dado, simplemente rotando rígidamente en el espacio de fase , ^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).}$

Normalmente, un "golpe" (o estado coherente) de energía E ≫ ħω puede representar una cantidad macroscópica y aparecer como un objeto clásico que gira uniformemente en el espacio de fase, un simple oscilador mecánico (ver las figuras animadas). Al integrar todas las fases (posiciones iniciales en t  = 0) de dichos objetos, una "empalizada" continua, se obtiene una configuración independiente del tiempo similar a los ★ -genstates estáticos F ( u ) anteriores , una visualización intuitiva del límite clásico para grandes -sistemas de acción. ^[6]

Momento angular de partícula libre

Supongamos que una partícula se encuentra inicialmente en un estado gaussiano mínimamente incierto , con los valores esperados de posición y momento ambos centrados en el origen en el espacio de fase. La función de Wigner para tal estado que se propaga libremente es

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

donde α es un parámetro que describe el ancho inicial del gaussiano y τ = m / α ² ħ .

Inicialmente, la posición y los momentos no están correlacionados. Por lo tanto, en 3 dimensiones, esperamos que los vectores de posición y momento tengan el doble de probabilidades de ser perpendiculares entre sí que paralelos.

Sin embargo, la posición y el impulso se correlacionan cada vez más a medida que evoluciona el estado, porque las porciones de la distribución más alejadas del origen en posición requieren que se alcance un impulso mayor: asintóticamente,

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(Esta "compresión" relativa refleja la dispersión del paquete de ondas libres en el espacio de coordenadas).

De hecho, es posible demostrar que la energía cinética de la partícula se vuelve asintóticamente radial únicamente, de acuerdo con la noción mecánico-cuántica estándar del momento angular distinto de cero del estado fundamental que especifica la independencia de orientación: ^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

potencial morse

El potencial Morse se utiliza para aproximar la estructura vibratoria de una molécula diatómica.

La función de Wigner evolución temporal del potencial Morse U ( x ) = 20(1 − e ^{−0,16 x} ) ² en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ^2/2 + U ( x ) .

Túnel cuántico

El túnel es un efecto cuántico característico en el que una partícula cuántica, al no tener suficiente energía para volar por encima, aún atraviesa una barrera. Este efecto no existe en la mecánica clásica.

La función de Wigner para hacer un túnel a través de la barrera de potencial U ( x ) = 8 e ^{−0,25 x 2} en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ).

potencial cuartico

La evolución temporal de la función Wigner para el potencial U ( x ) = 0,1 x ⁴ en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ).

Estado del gato de Schrödinger

Función de Wigner de dos estados coherentes que interfieren y que evolucionan a través del SHO Hamiltoniano. Las proyecciones de momento y coordenadas correspondientes se trazan a la derecha y debajo del gráfico del espacio de fase.

Referencias

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