Transformada de Gabor-Wigner

La transformada de Gabor , que lleva el nombre de Dennis Gabor , y la función de distribución de Wigner , que lleva el nombre de Eugene Wigner , son herramientas para el análisis tiempo-frecuencia . Dado que la transformada de Gabor no tiene una gran claridad y la función de distribución de Wigner tiene un "problema de términos cruzados" (es decir, no es lineal), un estudio de 2007 realizado por SC Pei y JJ Ding propuso una nueva combinación de las dos transformadas que tiene una alta claridad. claridad y sin problemas de términos cruzados. ^[1] Dado que el término cruzado no aparece en la transformada de Gabor, la distribución de frecuencia temporal de la transformada de Gabor se puede utilizar como filtro para filtrar el término cruzado en la salida de la función de distribución de Wigner.

Definición matemática

• transformación de gabor

${\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )\,d\tau }$

• Función de distribución de Wigner

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

• Transformada de Gabor-Wigner

Existen muchas combinaciones diferentes para definir la transformada de Gabor-Wigner. Aquí se dan cuatro definiciones diferentes.

1. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}(t,f)\times W_{x}(t,f)}$
2. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=\min \left\{|G_{x}(t,f)|^{2},|W_{x}(t,f)|\right\}}$
3. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=W_{x}(t,f)\times \{|G_{x}(t,f)|>0.25\}}$
4. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}^{2.6}(t,f)W_{x}^{0.7}(t,f)}$

Personaje

1. Problema entre términos :

   La definición de la función de distribución de Wigner (WDF) es ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

   ${\displaystyle x}$es la señal de entrada, el eje de tiempo después de la transformación, es el eje de frecuencia después de la transformación. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$

   Si diseñamos nuestra señal de entrada como: y su WDF se presenta a continuación: ${\displaystyle x(t)=\alpha g(t)+\beta s(t)}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}})+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}{\big [}\alpha ^{*}g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}|\alpha |^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+|\beta |^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})\\&\quad +\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=|\alpha |^{2}W_{g}(t,f)+|\beta |^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle W_{g}}$y se denominan "término automático", y otros componentes son "término cruzado", que no es la información correcta de la señal original. ${\displaystyle W_{s}}$

   La transformada de Gabor (GT) puede evitar el problema de términos cruzados, mientras que la función de distribución de Wigner (WDF) tiene una gran claridad. Al combinar los dos, la Transformada Gabor-Wigner (GWT) logra una alta claridad y la capacidad de evitar el problema de términos cruzados. En la siguiente imagen se muestran ejemplos.

   

   時頻分析2

2. Relación de rotación :

   El GWT tiene una relación de rotación con el FRFT, lo que lo hace útil para el diseño, muestreo y multiplexación de filtros en el dominio FRFT.

Solicitud

La transformada Gabor-Wigner funciona bien en procesamiento de imágenes, diseño de filtros, muestreo de señales, modulación, demodulación, procesamiento del habla e ingeniería biomédica.

Diseño de filtro

El objetivo del diseño de filtros es eliminar partes no deseadas de la señal preservando al mismo tiempo las partes necesarias. Al utilizar la transformada de Gabor-Wigner, podemos considerar simultáneamente filtros tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, lo que representa una forma de análisis tiempo-frecuencia. El concepto principal se ilustra a continuación.

Filtrar fraccionario

Modulación de señal

El propósito de la modulación es colocar una señal dentro de un rango de tiempo o frecuencia específico. Utilizando la transformada de Gabor-Wigner, podemos considerar simultáneamente cómo introducir patrones de señal más o más adecuados tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Debido a la ausencia de problemas entre términos, funciona mejor que la transformada de Wigner.

mod múltiple

En la figura (WDF) anterior, también se puede observar que cuando se utiliza la transformada de Wigner (WDF), los términos cruzados generados tienen un impacto severo en la modulación.

Técnica para la implementación rápida de la Transformada Gabor-Wigner

1. Debido a la menor complejidad de la transformada de Gabor en comparación con la transformada de Wigner, la transformada de Gabor generalmente tiene prioridad para el cálculo. Al calcular la transformada de Wigner, sólo es necesario calcular la transformada de Gabor en regiones distintas de cero, ya que los valores en otras regiones se acercan a cero. Matemáticamente, esto se puede expresar como

   ${\displaystyle G_{X}(t,f)\approx 0,D_{x}(t,f)=G_{x}^{\alpha }(t,f)W_{x}^{\beta }(t,f)\approx 0}$

2. Cuando es una función real, para la transformada de Gabor , Esto permite una reducción significativa en el área de memoria requerida al diseñar la memoria. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f)=X^{*}(-f)}$

Comparación

Ver también

• Representación tiempo-frecuencia
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• transformación de gabor
• Función de distribución de Wigner

Referencias

1. SC Pei y JJ Ding, “Relaciones entre las transformadas de Gabor y las transformadas fraccionarias de Fourier y sus aplicaciones para el procesamiento de señales”, IEEE Trans. Proceso de señal., vol. 55, núm. 10, págs. 4839–4850, octubre de 2007.