Distribución polinómica de Wigner-Ville

En el procesamiento de señales, la distribución polinómica de Wigner-Ville es una distribución de cuasi probabilidad que generaliza la función de distribución de Wigner . Fue propuesto por Boualem Boashash y Peter O'Shea en 1994.

Introducción

Muchas señales en la naturaleza y en aplicaciones de ingeniería se pueden modelar como , donde es una fase polinómica y . ${\displaystyle z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

Por ejemplo, es importante detectar señales de una fase polinómica arbitraria de alto orden. Sin embargo, la distribución convencional de Wigner-Ville tiene la limitación de basarse en estadísticas de segundo orden. Por lo tanto, la distribución polinómica de Wigner-Ville se propuso como una forma generalizada de la distribución convencional de Wigner-Ville, que es capaz de tratar señales con fase no lineal.

Definición

La distribución polinómica de Wigner-Ville se define como ${\displaystyle W_{z}^{g}(t,f)}$

${\displaystyle W_{z}^{g}(t,f)={\mathcal {F}}_{\tau \to f}\left[K_{z}^{g}(t,\tau )\right]}$

donde denota la transformada de Fourier con respecto a y es el núcleo polinómico dado por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau \to f}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )}$

${\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=-{\frac {q}{2}}}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}}$

donde es la señal de entrada y es un número par. La expresión anterior para el núcleo se puede reescribir en forma simétrica como ${\displaystyle z(t)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}}$

La versión en tiempo discreto de la distribución polinómica de Wigner-Ville viene dada por la transformada discreta de Fourier de

${\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(n+c_{k}m\right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(n+c_{-k}m\right)\right]^{-b_{-k}}}$

donde y es la frecuencia de muestreo. La distribución convencional de Wigner-Ville es un caso especial de la distribución polinómica de Wigner-Ville con ${\displaystyle n=t{f}_{s},m={\tau }{f}_{s},}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle q=2,b_{-1}=-1,b_{1}=1,b_{0}=0,c_{-1}=-{\frac {1}{2}},c_{0}=0,c_{1}={\frac {1}{2}}}$

Ejemplo

Una de las generalizaciones más simples del núcleo de distribución habitual de Wigner-Ville se puede lograr tomando . Se debe encontrar el conjunto de coeficientes y para especificar completamente el nuevo núcleo. Por ejemplo, configuramos ${\displaystyle q=4}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle b_{1}=-b_{-1}=2,b_{2}=b_{-2}=1,b_{0}=0}$

${\displaystyle c_{1}=-c_{-1}=0.675,c_{2}=-c_{-2}=-0.85}$

El núcleo de tiempo discreto resultante viene dado por

${\displaystyle K_{z}^{g}(n,m)=\left[z\left(n+0.675m\right)z^{*}\left(n-0.675m\right)\right]^{2}z^{*}\left(n+0.85m\right)z\left(n-0.85m\right)}$

Diseño de un núcleo polinomial práctico

Dada una señal , donde es una función polinómica, su frecuencia instantánea (IF) es . ${\displaystyle z(t)=e^{j2\pi \phi (t)}}$ ${\displaystyle \phi (t)=\sum _{i=0}^{p}a_{i}t^{i}}$ ${\displaystyle \phi '(t)=\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}}$

Para un núcleo polinomial práctico , el conjunto de coeficientes y debe elegirse adecuadamente de modo que ${\displaystyle K_{z}^{g}(t,\tau )}$ ${\displaystyle q,b_{k}}$ ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{z}^{g}(t,\tau )&=\prod _{k=0}^{\frac {q}{2}}\left[z\left(t+c_{k}\tau \right)\right]^{b_{k}}\left[z^{*}\left(t+c_{-k}\tau \right)\right]^{-b_{-k}}\\&=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1}\tau )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{z}^{g}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-j2\pi (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\tau )d\tau \\&\cong \delta (f-\sum _{i=1}^{p}ia_{i}t^{i-1})\end{aligned}}}$

• Cuando , ${\displaystyle q=2,b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{1}=1,p=2}$

${\displaystyle z\left(t+c_{1}\tau \right)z^{*}\left(t+c_{-1}\tau \right)=\exp(j2\pi \sum _{i=1}^{2}ia_{i}t^{i-1}\tau )}$

${\displaystyle a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Rightarrow c_{1}-c_{-1}=1,c_{1}+c_{-1}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow c_{1}={\frac {1}{2}},c_{-1}=-{\frac {1}{2}}}$

• Cuando ${\displaystyle q=4,b_{-2}=b_{-1}=-1,b_{0}=0,b_{2}=b_{1}=1,p=3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{3}(t+c_{1})^{3}+a_{2}(t+c_{1})^{2}+a_{1}(t+c_{1})\\&a_{3}(t+c_{2})^{3}+a_{2}(t+c_{2})^{2}+a_{1}(t+c_{2})\\&-a_{3}(t+c_{-1})^{3}-a_{2}(t+c_{-1})^{2}-a_{1}(t+c_{-1})\\&-a_{3}(t+c_{-2})^{3}-a_{2}(t+c_{-2})^{2}-a_{1}(t+c_{-2})\\&=3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau \end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\begin{cases}c_{1}+c_{2}-c_{-1}-c_{-2}=1\\c_{1}^{2}+c_{2}^{2}-c_{-1}^{2}-c_{-2}^{2}=0\\c_{1}^{3}+c_{2}^{3}-c_{-1}^{3}-c_{-2}^{3}=0\end{cases}}}$

Aplicaciones

Las señales de FM no lineales son comunes tanto en la naturaleza como en aplicaciones de ingeniería. Por ejemplo, el sistema de sonar de algunos murciélagos utiliza señales de FM hiperbólica y FM cuadrática para localizar el eco. En el radar, ciertos esquemas de compresión de pulsos emplean señales FM lineales y cuadráticas. La distribución de Wigner-Ville tiene una concentración óptima en el plano tiempo-frecuencia para señales moduladas en frecuencia lineal. Sin embargo, para señales moduladas en frecuencia no lineales, no se obtiene la concentración óptima y se obtienen representaciones espectrales borrosas. La distribución polinómica de Wigner-Ville puede diseñarse para hacer frente a este problema.

Referencias

• Boashash, B.; O'Shea, P. (1994). "Distribuciones polinómicas de Wigner-Ville y su relación con espectros de orden superior que varían en el tiempo" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 42 (1): 216–220. Código Bib : 1994ITSP...42..216B. doi : 10.1109/78.258143. ISSN  1053-587X.
• Luk, Franklin T.; Benidir, Messaoud; Boashash, Boualem (junio de 1995). Distribuciones polinomiales de Wigner-Ville . Procedimientos SPIE. Procedimientos . vol. 2563. San Diego, CA. págs. 69–79. doi :10.1117/12.211426. ISSN  0277-786X.
• “Distribuciones polinómicas de Wigner-Ville y espectros superiores variables en el tiempo”, en Proc. Tiempo-Frec. Time-Scale Anal., Victoria, BC, Canadá, octubre de 1992, págs. 31–34.